精品解析：福建省龙岩市非一级达标校联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年第一学期半期考 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第一册第一章至第三章3.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的焦距为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 2. 已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（ ） A. 100项 B. 101项 C. 199项 D. 200项 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 相离 D. 内切 4. 罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（ ） A. 3.1米 B. 3.8米 C. 4.4米 D. 5米 5. 已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线及两点，，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆：，下列结论正确的是（ ） A. 过点且与圆相切的直线的方程为 B. 过点且与圆相切的直线的方程为 C. 直线：与圆交于，两点，则 D. 直线：与圆交于，两点，则 10. 已知数列的前项和为，，则（ ） A. B. C. D. 的前项积 11. 已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 的最小值为1 D. 记的内心为，的右顶点为，则轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，且，则______. 13. 已知椭圆：（）的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为______． 14. 在数列中，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. （1）求直线的方程； （2）若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程. 16. 已知单调递增的等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）求的前项和，并求的最小值及此时的值； （3）求使成立的的最小值. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，C的右顶点D在圆上，且 （1）求C的方程； （2）点P在C上，且轴，过点P作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求. 18. 已知数列满足，；数列满足，. （1）求，的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. （1）求的方程； （2）若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期半期考 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第一册第一章至第三章3.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的焦距为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用双曲线方程，结合焦距概念计算. 【详解】双曲线,则则则.则焦距为. 故选：B. 2. 已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（ ） A. 100项 B. 101项 C. 199项 D. 200项 【答案】C 【解析】 【分析】由数列中的数字规律可知每一组由两项组成，计算可得结果. 【详解】根据该数列的规律可将数列进行分组，每一组含有两个互为相反数的组合， 因此100即为第100组的第一个数，其前面有99组，每一组有两项， 因此100是该数列的第项. 故选：C 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 相离 D. 内切 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径的关系判断位置关系. 【详解】由，知，半径， 由，知，半径， 所以，即两圆外切. 故选：B 4. 罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（ ） A. 3.1米 B. 3.8米 C. 4.4米 D. 5米 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求第七层的底面直径即可. 【详解】由题意，从第一层到顶层的底面直径构成首项为8，公差为的等差数列， 所以米. 故选：C 5. 已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设写出焦点坐标、渐近线方程，应用点线距离公式求距离. 【详解】由题设，渐近线为，则点到的渐近线的距离. 故选：A 6. 若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求的取值范围. 【详解】由可得， 故，故或， 故选：D. 7. 已知直线及两点，，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线过定点以及两点间斜率公式计算可得结果. 【详解】易知直线过定点，如下图所示： 易知当直线与线段相交时，直线需处在直线与直线之间； 且，， 又易知可化为，其斜率为， 因此可得，解得. 即的取值范围是. 故选：C 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆：，下列结论正确的是（ ） A. 过点且与圆相切的直线的方程为 B. 过点且与圆相切的直线的方程为 C. 直线：与圆交于，两点，则 D. 直线：与圆交于，两点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】通过计算点到直线距离判断直线与圆的相切关系，根据弦长公式计算直线与圆相交时弦的长度. 【详解】对于A、B选项，首先，点到圆的圆心的距离为，刚好等于圆的半径，所以点在圆上. 显然斜率不存在时不满足题意，则设过点的切线方程为， 即. 根据圆心到切线的距离等于半径，由点到直线距离公式则， 即. 两边平方，解得. 所以切线方程为，即，A选项正确，B选项错误. 对于C、D选项，对于直线，圆心到直线的距离 . 根据弦长公式， 则，C选项正确，D选项错误. 故选：AC. 10. 已知数列的前项和为，，则（ ） A. B. C. D. 的前项积 【答案】AB 【解析】 【分析】将代入判断A；关系及等比数列定义求通项，并确定前n项和判断B、C；根据分析及等差数列前n项和公式判断D. 【详解】A：令，则，对； B：因为，所以当时，，作差可得， 又，所以是首项为，公比为2的等比数列，则，对； C：由B分析知，，错； D：由上知，，错. 故选：AB 11. 已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 的最小值为1 D. 记的内心为，的右顶点为，则轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用椭圆与双曲线的定义、离心率、焦点三角形等知识，通过利用椭圆和双曲线的定义以及勾股定理求出相关量，再根据离心率的定义对各选项进行判断. 【详解】对于选项A，根据椭圆定义，已知，， 则，所以. 根据双曲线定义，则， 所以. 因为，根据勾股定理，将， 代入得，即，，解得. 双曲线的离心率，因为，，所以，故选项A正确. 对于选项B，设，，由椭圆定义，由双曲线定义， 解得，. 因为，所以，即，化简得. 已知，设，，代入得，解得. 双曲线的离心率，故选项B正确. 对于选项C，由，则. 根据均值不等式，所以，当且仅当时取等号， ，椭圆和双曲线离心率不可能取等，故选项C错误. 对于选项D，设的内切圆半径为. 根据三角形面积公式，. 又，，可得，，. ，. 设，的横坐标为，（，为，的横坐标）， 因为，，，所以轴，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线垂直的判定即可得答案. 【详解】由，则，即. 故答案为： 13. 已知椭圆：（）的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率可得的值，根据通径可得的值，求出后可得椭圆的标准方程. 【详解】由题设有，故，解得，故，故 故椭圆的标准方程为：， 故答案为：. 14. 在数列中，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用递推关系式证得是等差数列，从而求得，再利用裂项相消法求得，根据恒成立求得的范围. 【详解】由，得，即. 因为，所以，则， 则. 要使恒成立，则，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. （1）求直线的方程； （2）若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，设直线的截距式方程，再把已知点代入方程求出的值，从而得到直线方程. （2）先设圆的标准方程，根据圆经过原点和点以及圆心在直线上这三个条件列出方程组，然后求解方程组得到、、的值，进而得到圆的方程. 【小问1详解】 设直线的方程为（）， 因为直线过点，将点的坐标代入直线方程可得， 化简方程即，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设圆的标准方程为， 因为圆经过原点和点， 将原点坐标代入圆的方程可得， 将点代入圆的方程可得， 又因为圆心在直线上，所以， 由和相减可得： ，即， 联立方程，解得，， 把，代入得， 所以圆的方程为. 16. 已知单调递增的等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）求的前项和，并求的最小值及此时的值； （3）求使成立的的最小值. 【答案】（1）； （2）或3时最小为； （3）7. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程求基本量，即可得通项公式； （2）根据等差数列前n项和的二次函数的性质求最值，并确定对应n值； （3）由题设可得，结合求最小值. 【小问1详解】 令的公差为，且，则， 所以，可得（负值舍），则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以，当或3时最小为. 【小问3详解】 由（1）（2）有，则， 又，故时成立，故的最小值为7. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，C的右顶点D在圆上，且 （1）求C的方程； （2）点P在C上，且轴，过点P作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，由可得，进而得到，即可确定双曲线方程； （2）由（1）有，令、渐近线为，应用点线距离公式求距离，即可得结果. 【小问1详解】 由题意，即，又， 则，， 则，即， 则，即. 【小问2详解】 由（1）知：，将代入双曲线，得， 不妨令，又双曲线渐近线为，如下图示， 所以，，则. 18. 已知数列满足，；数列满足，. （1）求，的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由累加法求的通项公式，由等比数列定义求的通项公式； （2）由等比数列求和公式、错位相减法即可求解； （3）求得，注意到，故可由作商法得的单调性，结合已知即可得解. 【小问1详解】 ，时， ，所以， 而， 综上所述的通项公式为， 因为，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，从而； 【小问2详解】 由题意，所以， 所以， 所以； 【小问3详解】 令，则， 从而，注意到， 因为满足不等式的正整数的个数为3， 所以当且仅当的取值范围. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. （1）求的方程； （2）若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）. （2）证明：根据圆的对称性，不妨设. 设，则， 所以直线HE的方程为，直线HF的方程为. 设. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 当时，， 所以直线MN的方程为，化简得， 所以直线MN过定点; 当时，，此时直线MN过定点. 综上，直线MN过定点. 【解析】 【分析】（1）设，用坐标表示已知条件化简后可得； （2）不妨设. 设，设，由直线与圆相交求得的坐标（用表示），求出直线方程，观察方程得定点． 【小问1详解】 设，根据，得， 即，所以的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解析几何中直线过定点问题，用参数设出动点坐标或动直线方程等，设交点坐标为，由直线与曲线方程联立方程组消元应用韦达定理得或者直线解出，写出两交点所在直线方程（韦达定理的结论需代入），化简后观察可得定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $