第五章 分式与分式方程 同步习题 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

分式与分式方程 同步习题 一．选择题（共5小题） 1．下列关于x的方程中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．对于两个不相等的数m、n，我们规定符号min{m，n}（m≠0）表示m，n中的较小值．例min{5，3}＝3，按照这个规定，方程min{，}＝的解为（　　） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 3．在代数式中，分式的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．0.3g/ml的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用0.75g/ml的蔗糖溶液40ml加入x ml蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（　　） A．40×0.3＝0.75x B．40×0.75＝0.3x C． D． 5．若把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 二．填空题（共5小题） 6．方程的解为 　 　． 7．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b满足．若，则x的值为 　 　． 8．若实数k使关于x的不等式组有解且至多有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数k的和为 　 　． 9．若x2+4x+1＝0，求＝ 　 　． 10．若分式有意义，则x的取值范围是 　 　． 三．解答题（共4小题） 11．对于实数a，b，c，给出如下定义：若，则把实数c叫作实数a，b的“友好数”． （1）已知a＝6，b＝2，求a，b的“友好数”c； （2）已知a＝m2+2m+1，b＝m2+m，c是a，b的“友好数”． ①用含m的式子表示c； ②若c是整数，直接写出整数m的值． 12．先化简，再代入求值：，其中． 13．贵成高铁开通后极大地方便了人们的出行，甲、乙两个城市相距450千米，加开高铁列车后，高铁列车行驶时间比原特快列车行驶时间缩短了3小时，已知高铁列车平均行驶速度是原特快列车平均行驶速度的3倍，求高铁列车的平均行驶速度． 14．已知a2+3a﹣1＝0，求代数式的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．下列关于x的方程中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分母中含有未知数的有理方程即为分式方程，据此进行判断即可． 【解答】解：A中方程的分母中不含未知数，则A不符合题意； B中方程的分母中不含未知数，则B不符合题意； C中方程不是有理方程，则C不符合题意； D中方程符合分式方程的定义，则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查分式方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．对于两个不相等的数m、n，我们规定符号min{m，n}（m≠0）表示m，n中的较小值．例min{5，3}＝3，按照这个规定，方程min{，}＝的解为（　　） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 【分析】利用分类讨论的思想方法依据新定义的规定将方程转化为分式方程，利用分式方程的解法解答即可． 【解答】解：∵x≠2， ∴． 当x＜2时，2﹣x＞0，， ∴min{，}＝， ∴原方程就是：， 去分母得：﹣1＝2﹣（x﹣2）， 去括号得：﹣1＝2﹣x+2， ∴x＝5， 经检验x＝5是原方程的根，但x＜2，所以x＝5不合题意舍去． 当x＞2时，2﹣x＜0，， ∴min{，}＝， ∴原方程就是：﹣1， 去分母得：﹣2＝2﹣（x﹣2）， 去括号得：﹣2＝2﹣x+2， ∴x＝6． 经检验x＝6是原方程的根，且6＞2． ∴方程min{，}＝的解为x＝6． 故选：B． 【点评】本题主要考查了分式方程的解法，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 3．在代数式中，分式的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此进行判断即可． 【解答】解：代数式，是分式，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．0.3g/ml的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用0.75g/ml的蔗糖溶液40ml加入x ml蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（　　） A．40×0.3＝0.75x B．40×0.75＝0.3x C． D． 【分析】由溶质的质量除以溶液的质量等于溶液浓度，建立方程即可． 【解答】解：． 故选：C． 【点评】本题考查的是分式方程的应用，理解题意是关键． 5．若把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【分析】根据分式的性质：分子分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，可得答案． 【解答】解：把分式中的x和y都扩大到原来的2倍， ＝×， 分式的值缩小为原来的， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键． 二．填空题（共5小题） 6．方程的解为 　x＝﹣2　． 【分析】先将分式方程化为整式方程，再解一元一次方程即可． 【解答】解：方程两边同乘x（x+1），得2（x+1）＝x， 解得x＝﹣2， 故答案为：x＝﹣2． 【点评】本题考查了解分式方程，关键是去分母的应用． 7．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b满足．若，则x的值为 　﹣2　． 【分析】根据题意列得方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：+＝， 整理得：＝， 去分母得：x＝2x+2， 解得：x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，x（x+1）≠0， 故原方程的解为x＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查解分式方程，根据题意列得正确的方程是解题的关键． 8．若实数k使关于x的不等式组有解且至多有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数k的和为 　3　． 【分析】先根据解一元一次不等式组的方法求出不等式组的解集为，再根据不等式组有解且至多有三个整数解，可得出，即2＜k≤8，由此得出k的值．再根据解分式方程的方法求出y＝，由关于y的分式方程有整数解，且y≠2，由此得出k≠8，把k＝3或4或5或6或7代入y＝判断，进而得出答案． 【解答】解：， 解不等式①，得x≥1， 解不等式②，得x＜， ∴不等式组解集为， ∵不等式组有解且至多有三个整数解， ∴，即2＜k≤8， ∴k＝3或4或5或6或7或8． 由分式方程， 去分母，得10﹣ky+6＝2（y﹣2）， 去括号，得10﹣ky+6＝2y﹣4 移项，得2y+ky＝10+6+4， 合并同类项，得（2+k）y＝20， ∴y＝， ∵关于y的分式方程有整数解，且y≠2， ∴k≠8， ∴k＝3或4或5或6或7， 当k＝3时，y＝，符合题意； 当k＝4时，，不符合题意； 当k＝5时，，不符合题意； 当k＝6时，y＝，不符合题意， 当k＝7时，，不符合题意， ∴满足条件的整数k只有3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，熟练掌握接分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 9．若x2+4x+1＝0，求＝ 　3　． 【分析】将x2+4x+1＝0的两边同时除以x，得x+＝﹣4；将分式的分子与分母同时除以x2，得，分子的前两项可以写成（x+）2的形式，最后将x+＝﹣4代入求值即可． 【解答】解：∵x≠0， ∴由x2+4x+1＝0得x+＝﹣4， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查分式的值，将x2+4x+1＝0的两边同时除以x，得x+＝﹣4；将分式的分子与分母同时除以x2，得并利用完全平方公式是解题的关键． 10．若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠﹣2　． 【分析】根据分式有意义的条件列出x+2≠0，即可得出结果． 【解答】解：∵分式有意义， ∴x+2≠0， 解得：x≠﹣2． 故答案为：x≠﹣2． 【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟记要使分式有意义，则分母不等于0． 三．解答题（共4小题） 11．对于实数a，b，c，给出如下定义：若，则把实数c叫作实数a，b的“友好数”． （1）已知a＝6，b＝2，求a，b的“友好数”c； （2）已知a＝m2+2m+1，b＝m2+m，c是a，b的“友好数”． ①用含m的式子表示c； ②若c是整数，直接写出整数m的值． 【分析】（1）根据新定义，把a＝6，b＝2代入即可求出c的值； （2）①根据新定义把a＝m2+2m+1，b＝m2+m代入即可求出c的值； ②根据c是整数，即可求出整数m的值． 【解答】解：（1）∵a＝6，b＝2， ∴； （2）①a＝m2+2m+1，b＝m2+m，c是a，b的“友好数”， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； ②∵是整数，且m是整数， ∴m＝±1． 【点评】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． 12．先化简，再代入求值：，其中． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解： ＝• ＝• ＝， 当时，原式＝＝＝． 【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．贵成高铁开通后极大地方便了人们的出行，甲、乙两个城市相距450千米，加开高铁列车后，高铁列车行驶时间比原特快列车行驶时间缩短了3小时，已知高铁列车平均行驶速度是原特快列车平均行驶速度的3倍，求高铁列车的平均行驶速度． 【分析】设原特快列车平均速度为x km/h，则高铁列车平均速度为3x km/h，根据现在乘高铁列车比以前乘特快列车少用3h列方程求解即可． 【解答】解：设原特快列车平均速度为x km/h，则高铁列车平均速度为3x km/h， 由题意得：+3＝， 解得：x＝100， 经检验：x＝100是原方程的解， 则3×100＝300（km/h）； 答：高铁列车平均速度为300km/h． 【点评】此题考查分式方程的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键． 14．已知a2+3a﹣1＝0，求代数式的值． 【分析】由已知条件得到a2+3a＝1，然后将其代入化简后的分式求值即可． 【解答】解：由a2+3a﹣1＝0得到a2+3a＝1， ＝• ＝• ＝a（a+3）． ＝a2+3a 所以，原式＝1． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/21 15:14:44；用户：资源；邮箱：13851372384；学号：59917209 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$