第二十七章 相似（B卷·培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（广州专用，人教版）

第二十七章 相似 （B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如果，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质， ，据此可得答案． 【详解】解：由比例的性质可得， ，则四个选项中，只有A选项符合题意， 故选：A． 2．如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：， , 又，，， ， ， ∴， 故选：B． 3．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为1，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 故选C． 4．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A． 5．如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A 6．如图，D，E分别是的边，上的点，，，，且，则的长（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得出，证明，得出，代入计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．如图，四边形和均为正方形，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，连接，证明，可得的值，从而可得结论． 【详解】解：连接，如图，    则， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8．如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用．熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键． 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9．如图，在中，，，，为上一点，连接，为线段上一点，作，作，若，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 设，则，延长交于点，证明，从而得到，再证明，得到，从而得出，，证明，得出．从而得出，再根据，即可求解． 【详解】解：∵， 设，则， 如图，延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ，即， ， ， ， 在和中 ， ， ，即， ， ，     ， 在和中 ∴， ．即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】证明，可得，可判断结论①；由，可判断结论②；由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可推出，可判断结论③；证明，可判断结论④；即可得解． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论①错误； 在中，， ∴， ∴，故结论②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，故结论④正确， ∴正确结论的个数是个． 故选：B． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，根据外项积等于内项积，列出等式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 13．在中，点、分别在边、上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用面积比和相似比的关系．首先证明∽，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ∽， 而， ． 故答案为：． 14．如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入的值求解即可． 【详解】解：∵线 ， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 15．如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】30 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，连结，延长交于H，先证，再根据相似三角形对应边成比例进行求解． 【详解】解：连结，延长交于H，如图， 在中，， 铁夹的剖面图是轴对称图形， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 16．如图，在矩形中，，，垂足为E，，点P、Q分别在，上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据，，证明，表示出、的长，设点A关于的对称点为，连接，，可证明为等边三角形，当时，则最小，所以当时最小，从而可求得的最小值等于的长． 【详解】（2） 设，则， 四边形为矩形，， ， ， ， ， ，即，， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， 解得， ，， 如图，设点A关于的对称点为，连接，， 则，， 是等边三角形， ， 当、P、Q三点在一条线上时，最小， 又垂线段最短可知当时，最小， ， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）已知，求的值． 【答案】2 【分析】根据比例的性质化简得，即可得出答案． 【详解】解：由，得， 化简，得， ∴． 【点睛】本题考查比例的性质，正确变形是解题的关键． 18．（4分）如图所示，点，分别在的边，上，．若，四边形的面积为，试求的面积． 【答案】 【分析】平行线分线段成比例，相似三角形的面积比是相似比的平方，且四边形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴．即的面积为． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方，掌握相似图形对应边成比例，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 19．（6分）如图是一个的正方形网格和平面直角坐标系，网格的每个小正方形边长为l，顶点都为格点的三角形我们称作格点三角形．如图是格点三角形． (1)将绕点顺时针旋转90°，得到对应图形； (2)在网格中，以为位似中心，同侧将按2:1放大，对应得到，画出，直接写出点坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，点C2坐标为 【分析】（1）将线段AB、AC分别绕点A顺时针旋转90°，然后连接成线，得到对应图形． （2）根据位似比将线段AB、BC进行同侧放大，进而连接成线即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：如图所示 由图可知点C2的坐标为 【点睛】本题考查了旋转图形以及位似图形，能够根据变换规则画出对应后的图形是解决本题的关键． 20．（6分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD． (1)求证：△ABC∽△ACD； (2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2)AC的长为． 【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD； （2）利用相似三角形的性质，可求出AC的长． 【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD； （2）解：∵△ABC∽△ACD， ∴，即， ∴AC=(负值已舍)． ∴AC的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC的长． 21．（8分）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有1700多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物．某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 【答案】47米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题．先证明，利用相似比得到，再证明，利用相似比得到，利用等量代换得到，进而得到，解得的长，据此求解即可求出的长． 【详解】解：由题知，，， ， ． 由题知，，， ， ． ， ． 米，米，米， ， 米． ， ， 米， 答：真身宝塔的高度为47米． 22．（10分）已知：如图，在中，点M、N分别在边上，点P是上一点，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解题的关键． （1）由可证得，然后由相似三角形的对应边成比例即可证明结论； （2）由可证得可得，又由可得，则可证得，最后根据相似三角形的对应角相等即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（10分）如图，的直径，弦，的平分线交于． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点到弦的距离． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定与性质．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，是解题的关键． （1）根据圆周角定理，得到，角平分线推出，进而得到，即可得出结论； （2）过O作于E，易得，利用三角形相似的性质即可求出的长，即可得到答案． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵是的直径， ∴， ∵的平分线交于D， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：过O作于E， 是的直径，， ， ， ， ， ，，， ， 点到弦的距离为． 24．（12分）已知 是的三边长，且， 求： (1)的值． (2)若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 【答案】(1) (2),是直角三角形 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各边长是解题关键． （1）直接设，，，进而代入求出答案； （2）直接设，，，利用周长建立等式求解，进而代入求出答案． 【详解】（1）解：， 设，，， ； （2）解：设，，， 的周长为24， 可得， 解得， ， ， 是直角三角形． 25．（12分）如图所示，已知在梯形中，，，点为边上一点，且，，连接、交于点，已知，过点作的平行线交于点，连接交于点． (1)求证：点是的中点； (2)如果，求的长； (3)如图所示，如果与互补，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，得，求出，延长交于点，证明四边形为平行四边形，设，则，证明，得，，推出，求解后可求出，，即可得证； （2）根据推出，证明得，证明得，设，，则，代入，得：，求出，即可得解；（3）延长，交于点，证明得，证明得，推出，，代入，得：，解得：，根据勾股定理得，解得，作，垂足为点，证明，得，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 延长交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴，即点是的中点； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，，则， ∴代入，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴的长为； （3）延长，交于点， ∵与互补，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，即， 代入，得：， 解得：， ∵， ∴，即：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 作，垂足为点， ∴， 在梯形中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查梯形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似 （B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如果，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 3．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为1，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，D，E分别是的边，上的点，，，，且，则的长（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，四边形和均为正方形，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 8．如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，为上一点，连接，为线段上一点，作，作，若，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 10．如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．若，则的值为 ． 12．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    13．在中，点、分别在边、上，且，若，则 ． 14．如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ． 15．如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为 ． 16．如图，在矩形中，，，垂足为E，，点P、Q分别在，上，则的最小值为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）已知，求的值． 18．（4分）如图所示，点，分别在的边，上，．若，四边形的面积为，试求的面积． 19．（6分）如图是一个的正方形网格和平面直角坐标系，网格的每个小正方形边长为l，顶点都为格点的三角形我们称作格点三角形．如图是格点三角形． (1)将绕点顺时针旋转90°，得到对应图形； (2)在网格中，以为位似中心，同侧将按2:1放大，对应得到，画出，直接写出点坐标． 20．（6分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD． (1)求证：△ABC∽△ACD； (2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长． 21．（8分）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有1700多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物．某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 22．（10分）已知：如图，在中，点M、N分别在边上，点P是上一点，且． (1)求证：； (2)求证：． 23．（10分）如图，的直径，弦，的平分线交于． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点到弦的距离． 24．（12分）已知 是的三边长，且， 求： (1)的值． (2)若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 25．（12分）如图所示，已知在梯形中，，，点为边上一点，且，，连接、交于点，已知，过点作的平行线交于点，连接交于点． (1)求证：点是的中点； (2)如果，求的长； (3)如图所示，如果与互补，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$