第二十七章 相似（A卷·提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（广州专用，人教版）

第二十七章 相似 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若两个相似图形的相似比是，则它们的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线、、分别与直线、交于点、、、、、．已知直线，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，相似比为，则=（    ）     A． B． C． D．不能确定 4．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，，则长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 5．如图，在直角坐标系中，的顶点分别为，，以点为位似中心，在第三象限内作位似图形，与的位似比为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 7．如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（   ） A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s 9．如图，在中，，延长至点D，使，连接，作，垂足为点E，交于点P，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D． 10．如图，在矩形中，的平分线与交干E，点F在的延长线上，，连接与交于G．有以下结论：①；②；③；④若，，则．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如图，在中，点D、E分别在边上，若， ，cm，则的长为 12．如果两个相似三角形的对应中线的比是，那么它们的周长比是 ． 13．已知，且，则 ． 14．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的面积比值是 ． 15．如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 16．如图，在矩形中，点是对角线的中点，连接，将延翻折，得到，连接．若，，则 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）若，且，求a的值． 18．（4分）如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在坐标系内画，使它与位似，且位似比为． (1)画出； (2)请直接写出△DEF的顶点坐标． 20．（6分）已知：如图，在中，平分交于D． (1)求证：； (2)延长至点E，联结、，如果，求证：． 21．（8分）已知：如图，在中，点M、N分别在边上，点P是上一点，且． (1)求证：； (2)求证：． 22．（10分）如图，在中，，，，动点以2cm/s的速度从向移动，（不与B重合），动点以4cm/s的速度从向移动，（不与C重合），若、同时出发，设运动时间为t秒． (1)求当时，t的值； (2)经过几秒后，与相似？ 23．（10分）如图，在中，E是的中点，和相交于点F，过点F作，交于点G． (1)求证：； (2)若，求证：． 24．（12分）如图，中，，于点D，于点E，M为的中点，连接交于点F，连接交于点N． (1)求证：； (2)求证： (3)若，求的值（用含k的代数式表示）． 25．（12分）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． (3)有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长 （用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为   米/秒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若两个相似图形的相似比是，则它们的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵两个相似图形的相似比是， ∴它们的面积比是， 故选：D． 2．如图，直线、、分别与直线、交于点、、、、、．已知直线，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到即可得到结论． 【详解】解：直线，，， ， 故选：A． 3．如图，已知，相似比为，则=（    ）     A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的相似比为，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵已知，相似比为， ∴， ∴， 故选：A ． 4．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，，则长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意求出位似比，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴位似比为 ∴ ∵， ∴ 故选：D 5．如图，在直角坐标系中，的顶点分别为，，以点为位似中心，在第三象限内作位似图形，与的位似比为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标． 【详解】解：以点为位似中心，在第三象限内作位似图形，与的位似比为， 点的坐标为，即. 故选：D． 6．如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据同一时刻物体与影长成比例得到对应线段成比例解题即可． 【详解】解：∵同一时刻物体与影长成比例， ∴，即：， 解得：； 故选B． 7．如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出、、之间的关系．先过点作交于，由平行线分线段成比例可得，再根据，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于， 是边上中线， ， 即， 又， ， ， ； 故选：D 8．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（   ） A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形中的动点问题，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意，得：， ∴， 当时：则，即， 解得：； 当时：则，即， 解得：； 综上：或； 故选B． 9．如图，在中，，延长至点D，使，连接，作，垂足为点E，交于点P，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及相似三角形的判定与性质，先根据勾股定理求出，根据等积法求出，再证明，从而得到，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， 故选：B． 10．如图，在矩形中，的平分线与交干E，点F在的延长线上，，连接与交于G．有以下结论：①；②；③；④若，，则．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①只要证明为等腰直角三角形即可；②利用证明即可；③由，可证明，则，即；④由，可得，即可证明，则，进一步求得，和即可． 【详解】解：①∵四边形为矩形， ∴，， ∵平分，为直角， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则，故①正确； ②∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴ 在和中，，，， ∴ ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故③正确； ④∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 则，故④正确， 综上，正确的是有4个； 故选：D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如图，在中，点D、E分别在边上，若， ，cm，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得可推出，据此即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 12．如果两个相似三角形的对应中线的比是，那么它们的周长比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．先根据相似三角形的对应中线的比为得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为， ∴其相似比等于， ∴它们的周长比是． 故答案为：． 13．已知，且，则 ． 【答案】2 【分析】 本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：2． 14．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的面积比值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质、掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，根据相似多边形的性质计算即可． 【详解】解：四边形与四边形位似， ， 四边形四边形位似，， 四边形与四边形的面积之比， 故答案为： 15．如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，如图，过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，证明，设，证明；设，则，求出，可得结论 【详解】解：过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，如图， ∵平分 ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴, 设，则， ∵, ∴, ∴ ∴的周长， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，点是对角线的中点，连接，将延翻折，得到，连接．若，，则 ． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，由勾股定理得，则，可证明，则，因此，则，再由三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点， ∵四边形是矩形 ∴， ∴在，由勾股定理得：， ∵点为中点， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）若，且，求a的值． 【答案】 【分析】此题考查了比例性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由已知可设，，代入，求出即可求出a的值． 【详解】解： ∵，设，， 则， ∴， ∴ 18．（4分）如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在坐标系内画，使它与位似，且位似比为． (1)画出； (2)请直接写出△DEF的顶点坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)D的坐标为，E的坐标为，F的坐标为 【分析】 （1）根据位数定义，及位似比即可作图； （2）的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，位似比为，由此可求出对应点的坐标． 【详解】（1）解：原点为位似中心，位似比为， ∴如图所示， 和即为所求． （2）解：的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，位似比为， ∴，，，， ，． 【点睛】本题主要考查图形的位似，掌握位似图形的定义及位似比的计算是解题的关键． 20．（6分）已知：如图，在中，平分交于D． (1)求证：； (2)延长至点E，联结、，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点C作交的延长线于点H，证明得到，再利用平行线和角平分线得到，得出，即可得出结论； （2）根据条件先得出 ，再利用对应边成比例及其夹角相等得出 ，即可得出，，根据等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点C作交的延长线于点H， ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 21．（8分）已知：如图，在中，点M、N分别在边上，点P是上一点，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解题的关键． （1）由可证得，然后由相似三角形的对应边成比例即可证明结论； （2）由可证得可得，又由可得，则可证得，最后根据相似三角形的对应角相等即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（10分）如图，在中，，，，动点以2cm/s的速度从向移动，（不与B重合），动点以4cm/s的速度从向移动，（不与C重合），若、同时出发，设运动时间为t秒． (1)求当时，t的值； (2)经过几秒后，与相似？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式是解答此题的关键． （1）求出运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：由题可得：， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当t的值为秒时，； （2）解：设秒后与相似，则，，， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 即经过秒或秒后，与相似． 故答案为：或． 23．（10分）如图，在中，E是的中点，和相交于点F，过点F作，交于点G． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定； （1）先由平行四边形的性质得到，再证明，得到，根据线段中点的定义推出，进而得到，再证明，得到，则，即； （2）根据已知条件可以设，，则，．通过证，得到对应角．然后易证，所以，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：设，，则，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，； ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 24．（12分）如图，中，，于点D，于点E，M为的中点，连接交于点F，连接交于点N． (1)求证：； (2)求证： (3)若，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明，可得，证明，可得； （2）证明，，，可得，证明，可得，即可得到结论； （3）连接交于点G．证明为的垂直平分线，，，可得，求解，可得，再证明，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，M为的中点， ∴， ∴ 又，， ∴，， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴，， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； （3）解：连接交于点G． ∵， ∴， ∴ 又， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∵，， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识并灵活应用是解本题的关键． 25．（12分）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． (3)有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长 （用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为   米/秒． 【答案】(1)米 (2)4或14 (3)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的应用，能根据题意列出比例式是解题的关键； （1）根据题意表示出，，长度，设米，则米，由可得，代入计算即可； （2）设，由可得，，由可得，再由是影子与的比例中项，可求t； （3）设O是小明在路灯下影子的起止位置，根据求出即可得出影子的速度． 【详解】（1）解：由题意得米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：路灯的高度为米； （2）由题意可知：， ∵， ∴， 设，则有， 解得： ， ∵， ∴， 设，则有， 解得， ∵是影子与的比例中项， ∴，即， 化简得：， 解得：，， ∴t的值为：4或14； （3）①∵， ， ∴， ②如图设O是小明在路灯下影子的起止位置，小明由B到P则影子有O到B，影子交于点G， 有（1）得， ， ， ， ， ， 移动的速度为（米/秒） 故答案为：①；②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$