第一章 三角形的证明 同步习题 2024—2025学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明 同步习题 一．选择题（共5小题） 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，则△BCD和△ACD的面积之比为（　　） A．1：4 B．1：16 C．1：3 D．1：9 2．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC是直角．点C在数轴上对应的数为﹣2，AC＝3，AB＝1，若以点C为圆心，CB为半径画弧，交数轴于点M，则M点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 3．对于命题“如果x2＞0，那么x＞0．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝0.5 4．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝4∠A，则∠A的度数为（　　） A．21° B．18° C．15° D．11.25° 5．下列说法正确的是（　　） A．△ABC中，AB＝5，AC＝12，则BC＝13 B．Rt△ABC中，a＝6，b＝8，则c＝10 C．Rt△ABC中，a＝3，b＝4，则△ABC的面积S＝6 D．等边△ABC的边长为2，则高AD＝ 二．填空题（共5小题） 6．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D在OB上，PC＝3，则PD的取值范围是 　 　． 7．如图，在△ABC中，AC＝6cm，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，连接AE．若△ABE的周长为14cm，则△ABC的周长为 　 　cm． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，则∠C＝ 　 　°． 9．如图，以Rt△ABC的各边为斜边分别向外作等腰直角三角形，已知点E在线段DF上，BC＝1，AC＝2，记△AEF面积为S1，△BDE面积为S2，则 S1+S2的值为 　 　． 10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于E，若AE＝12，则BE的长为 　 　． 三．解答题（共4小题） 11．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝17，BC＝30．求： （1）BC边上的中线AD的长． （2）△ABC的面积． 13．如图，5×5方格中每个小正方形的边长都为1． （1）图①中正方形ABCD的面积为 　 　，边长为 　 　； （2）在图②的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点P的位置． 14．等腰三角形的周长为21cm． （1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长； （2）若已知一边长为6cm，求其他两边长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，则△BCD和△ACD的面积之比为（　　） A．1：4 B．1：16 C．1：3 D．1：9 【分析】设BD＝a，根据垂直定义可得：∠CDB＝90°，从而可得∠BCD＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得BC＝2a，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠A＝30°，从而可得AB＝4a，进而可得AD＝3a，最后进行计算即可解答． 【解答】解：设BD＝a， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°， ∴BC＝2BD＝2a， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝30°， ∴AB＝2BC＝4a， ∴AD＝AB﹣BD＝3a， ∴△BCD和△ACD的面积之比＝BD：AD＝a：3a＝1：3， 故选：C． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC是直角．点C在数轴上对应的数为﹣2，AC＝3，AB＝1，若以点C为圆心，CB为半径画弧，交数轴于点M，则M点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】由勾股定理求出CB的长，再由题意可知，CM＝CB＝，则AM＝CM﹣AC＝﹣3，即可解决问题． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝1， ∴CB＝＝＝， 由题意可知，CM＝CB＝， ∴AM＝CM﹣AC＝﹣3， ∵点C在数轴上对应的数为﹣2， ∴M点所表示的数是﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理以及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．对于命题“如果x2＞0，那么x＞0．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝0.5 【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例． 【解答】解：当x＝﹣1时，满足条件x2＞0，但不能得出x＞0的结论， 故能说明命题“如果x2＞0，那么x＞0”是假命题的反例是x＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 4．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝4∠A，则∠A的度数为（　　） A．21° B．18° C．15° D．11.25° 【分析】直接利用三角形内角和定理即可得到结论． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠B＝4∠A， ∴∠A+∠B＝∠A+4∠A＝90°， ∴∠A＝18°， 故选：B． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键． 5．下列说法正确的是（　　） A．△ABC中，AB＝5，AC＝12，则BC＝13 B．Rt△ABC中，a＝6，b＝8，则c＝10 C．Rt△ABC中，a＝3，b＝4，则△ABC的面积S＝6 D．等边△ABC的边长为2，则高AD＝ 【分析】根据勾股定理逆定理及等边三角形的性质判断求解即可． 【解答】解：△ABC中，AB＝5，AC＝12，则7＜BC＜17， 故A不符合题意； Rt△ABC中，a＝6，b＝8，则c＝10或3， 故B不符合题意； Rt△ABC中，a＝3，b＝4，则△ABC的面积S＝6或， 故C不符合题意； 等边△ABC的边长为2，则高AD＝， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了勾股定理逆定理、等边三角形的性质等知识，熟记勾股定理逆定理及等边三角形的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D在OB上，PC＝3，则PD的取值范围是 　PD≥3　． 【分析】根据垂线段最短可知，当PD⊥OB时最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PD＝PC，进而求解． 【解答】解：过点P作PD′⊥OB，垂足为点D′． ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD′⊥OB， ∴PD′＝PC， ∵PC＝3， ∴PD′＝PC＝3， 即当点D运动到点D′的位置时，PD长度最短，最小值为3， ∴PD≥3． 故答案为：PD≥3． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出PD最小时的位置是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，AC＝6cm，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，连接AE．若△ABE的周长为14cm，则△ABC的周长为 　20　cm． 【分析】先根据线段垂直平分线性质得AE＝CE，进而根据△ABE的周长为14cm得AB+BC＝14cm，据此可得△ABC的周长． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∵△ABE的周长为14cm， ∴AB+BE+AE＝14cm， ∴AB+BE+AE＝14cm， 即AB+BC＝14cm， 又∵AC＝6cm， ∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝14+6＝20（cm）． 故答案为：20． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，理解线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等是解决问题的关键． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，则∠C＝ 　72　°． 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°， ∴∠C＝×（180°﹣36°）＝72°， 故答案为：72． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 9．如图，以Rt△ABC的各边为斜边分别向外作等腰直角三角形，已知点E在线段DF上，BC＝1，AC＝2，记△AEF面积为S1，△BDE面积为S2，则 S1+S2的值为 　1　． 【分析】根据勾股定理得到AB＝＝，根据等腰直角三角形的性质得到AF＝CF＝AC＝，CD＝BD＝BC＝AE＝BE＝AB＝，根据梯形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1， ∴AB＝＝， ∵△ACF，△ABE，△BCD是等腰直角三角形， ∴AF＝CF＝AC＝，CD＝BD＝BC＝AE＝BE＝AB＝， ∴S1+S2的值＝S梯形ABDF﹣S△ABE＝（AF+BD）•DF﹣×＝﹣×＝﹣＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形和梯形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于E，若AE＝12，则BE的长为 　12　． 【分析】直接由线段垂直平分线的性质得出答案． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 三．解答题（共4小题） 11．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【分析】（1）根据已知条件得到∠C＝30°﹣15°＝15°，求得∠BAC＝∠C，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得∠BAC＝90°﹣75°＝15°，∠CBE＝90°﹣60°＝30°，AB＝15×2＝30（海里）， ∴∠C＝30°﹣15°＝15°， ∴∠BAC＝∠C， ∴BC＝AB＝30（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为30海里； （2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D， ∵∠CBD＝30°，BC＝30（海里）， ∴CD＝BC＝15（海里）， ∵15＜16， ∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝17，BC＝30．求： （1）BC边上的中线AD的长． （2）△ABC的面积． 【分析】（1）求出BD＝15，由勾股定理可求出答案； （2）由三角形面积可得出答案． 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴BD＝CD＝BC＝×30＝15， 在Rt△ABD中，AB＝17，AD2+BD2＝AB2， ∴AD＝＝＝8； （2）∵BC＝30，AD＝8， ∴△ABC的面积＝BC•AD＝×30×8＝120． 【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，根据题意证明∠ADC＝90°是解决问题的关键． 13．如图，5×5方格中每个小正方形的边长都为1． （1）图①中正方形ABCD的面积为 　17　，边长为 　　； （2）在图②的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点P的位置． 【分析】（1）由勾股定理可求正方形的边长，即可求正方形的面积； （2）连接OE，由勾股定理求出OE＝，再以点O为圆心，OE长为半径画弧，交数轴于点P，即可得解． 【解答】解：（1）由勾股定理得：AB＝＝， ∴正方形ABCD的面积为＝AB2＝17， 故答案为：17，； （2）如图②，连接OE， 由勾股定理得：OE＝＝， 以点O为圆心，OE＝为半径画弧，交数轴于点P， 点P即为所求． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，实数与数轴以及尺规作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 14．等腰三角形的周长为21cm． （1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长； （2）若已知一边长为6cm，求其他两边长． 【分析】（1）设底边BC＝a cm，则AC＝AB＝3a cm，代入求出即可； （2）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意． 【解答】解：（1）如图，设底边BC＝a cm，则AC＝AB＝3a cm， ∵等腰三角形的周长是21cm， ∴3a+3a+a＝21， ∴a＝3， ∴3a＝9， ∴等腰三角形的三边长是3cm，9cm，9cm； （2）①当等腰三角形的底边长为6cm时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm）； 则等腰三角形的三边长为6cm、7.5cm、7.5cm，能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为6cm时，底边长＝21﹣2×6＝9； 则等腰三角形的三边长为6cm，6cm、9cm，能构成三角形． 故等腰三角形其他两边的长为7.5cm，7.5cm或6cm、9cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/21 15:12:21；用户：资源；邮箱：13851372384；学号：59917209 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$