精品解析：四川省德阳市东汽八一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

四川省东汽八一中学2024年秋高三上9月月考试题 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 3. 有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 288种 D. 576种 4. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 5. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 6. 如图为函数的部分图象，则（ ） A. 函数的周期为 B. 对任意的，都有 C. 函数在区间上恰好有三个零点 D. 函数是偶函数 7. 在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点分别于A，B两点，且直线AB的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论中，所有正确的结论是（    ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 命题的否定是： D. 若，则实数 11. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（   ） A. 点是函数的一个对称中心 B. C. 函数恰有6个零点 D. 当时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.） 12. 已知，，则________. 13. 已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为________． 14. 设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知是等差数列的前项和，且. （1）求； （2）若，记数列前项和为，求 16. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 18. 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表： 近视情况 每天看电子产品的时间 合计 超过一小时 一小时内 近视 10人 5人 15人 不近视 10人 25人 35人 合计 20人 30人 50人 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ． （1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关； （2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？ （3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值． 19. 定义运算：，已知函数． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）若函数存在两个极值点，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省东汽八一中学2024年秋高三上9月月考试题 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 2. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，解得. 因此，的展开式中的常数项为. 故选：A. 3. 有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 288种 D. 576种 【答案】C 【解析】 【分析】首先将名老师排在中间个位置中的个位置，再将其余名学生全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】首先将名老师排在中间个位置中的个位置，再将其余名学生全排列， 故不同排列方式共有（种）. 故选：C 4. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式运算. 【详解】因为，根据等和性可得， 则， 故选：B 5. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用对数的运算法则可得，再由符号说明表达式即可求得. 【详解】易知， 由可得； 所以，解得. 故选：B 6. 如图为函数的部分图象，则（ ） A. 函数的周期为 B. 对任意的，都有 C. 函数在区间上恰好有三个零点 D. 函数是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，利用函数图象求出函数解析式，利用正弦函数的周期性得到A错误； B选项，计算，B错误； C选项，整体法得到，计算出，C正确； D选项，计算出为奇函数，D错误. 【详解】从图象可看出的最小正周期为， 因为，所以，解得：， 故A错误； ，代入， ， 因为，所以， 故， ， 故不满足对任意的，都有，B错误； ，则， 由可得：，可得：， 故函数在区间上恰好有三个零点，C正确； ，为奇函数，D错误. 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点分别于A，B两点，且直线AB的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设C为AB的中点，利用，可求，倍角公式求． 【详解】不妨设且，C为AB的中点，直线AB与轴相交于点D， ，，， . 故选：C 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到的奇偶性和单调性，从而令，若仅有一个实数根，则，，此时推出只有两个根，不合要求，若有两个实数根，由对称性可知，故和均有两个解，有根的判别式得到且，结合函数单调性和奇偶性得到. 【详解】的定义域为R，且， 故为偶函数， 且当时，恒成立， 故在上单调递增， 由对称性可知在上单调递减，， 令，若仅有一个实数根，则，， 此时，解得或，仅有2个实数根，不合要求，舍去； 若有两个实数根，由对称性可知， 需要满足和均有两个解， 即和均有两个解， 由，解得， 又，故且， 即. 故选：A 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出角的正弦，余弦，正切值，可判断A,B项正误；再运用诱导公式即可判断C,D项正误. 【详解】角的终边经过点，， 则，， ， ，， 故A，B正确，C，D错误. 故选：AB 10. 下列结论中，所有正确的结论是（    ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 命题的否定是： D. 若，则实数 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，根据不等式的性质推导即可，对B，利用作差法判断即可，对C，根据特称命题的否定为全称命题判断即可，对D，举反例判断即可. 【详解】对A，，则，又，则，，故A正确； 对B，，因为且，故，即，故B错误； 对C，命题的否定是：，故C正确； 对D，当，时，不成立，故D错误； 故选：AC 11. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（   ） A. 点是函数的一个对称中心 B. C. 函数恰有6个零点 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得关于轴，对称，且，由函数的对称性即可判断AD，由函数的周期性即可判断B，结合函数的图象可判断C. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且对任意的，都有 所以可知图象关于轴对称，关于中心对称， 由可得，又函数为偶函数， 所以，所以， 即函数周期为， 令，则，所以， 当，且，故， 对于A，由为一个对称中心，周期，可知对称中心横坐标相差半周期的整数倍，即对称中心为，所以不是函数的一个对称中心，故A错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，由上面分析，作与图象，如图， 因为，，， 由图象可知函数与函数至少有7个交点，故C错误； 对于D，函数在和上的图象关于点中心对称， 当时，， 故D正确； 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.） 12. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可知，再结合，及，可求出答案. 【详解】因为，所以，所以， 所以． 故答案为：. 13. 已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到，求出答案. 【详解】正数，满足， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 则只需，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 14. 设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据题意和导数求得函数在上单调递减，再由，得到为偶函数，结合对称性得到在上单调递增，把不等式，转化为，即可求解. 【详解】令函数， 因为，时，所以， 所以函数在上单调递减， 又因为， 所以函数，所以为偶函数， 根据偶函数的对称性，可得在上单调递增， 若 则， 整理得，所以， 两边平方可得，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知是等差数列的前项和，且. （1）求； （2）若，记数列前项和为，求 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而写； （2）应用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设公差为，结合题设有，解得. 故. 【小问2详解】 由（1）有， 故， 即. 16. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间； （2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得. 【小问1详解】 . 由， 解得 即时，函数单调递减， 所以函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象， 所以. 若，则， . 由，得，又， 所以，则， 故 . 故的值为. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）转化为的图象有2个交点，令，利用导数求出值域，结合图象可得答案. 【小问1详解】 当时，，所以, ，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ， 由得， 的图象有2个交点， 令， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以， 且时，，， 所以时，，所以的大致图象如下， 所以若函数有两个零点， 则， 所以实数的取值范围为. 18. 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表： 近视情况 每天看电子产品的时间 合计 超过一小时 一小时内 近视 10人 5人 15人 不近视 10人 25人 35人 合计 20人 30人 50人 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ． （1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关； （2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？ （3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值． 【答案】（1）认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）假设为：学生眼睛近视与长时间使用电子产品无关，求得，再根据小概率值判断； （2）根据给定条件，利用组合计数问题及互斥事件的概率公式计算即得. （3）分别求得，，，再将概率相加即可求解． 【小问1详解】 零假设为：学生眼睛近视与长时间使用电子产品无关． 计算可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为眼睛近视与长时间使用电子产品有关． 【小问2详解】 每天看电子产品超过一小时的人数为， 则， 所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是． 【小问3详解】 依题意，, , , . 则， ， 事件包含两种情况： ①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时； ②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时， 于是， 所以． 19. 定义运算：，已知函数． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）若函数存在两个极值点，证明： 【答案】（1）1 （2） ， ， “函数存在两个极值点，”等价于 “方程有两个不相等的正实数根”； 故，解得． ， 要证，即证， ，不妨令，故， 由得，令， 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． 【解析】 【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a的值即可； （2）条件等价于有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a的范围，要证，即证，令求导确定函数的单调性，证明结论． 【小问1详解】 由题意知：， ， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为． ， ． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $