4.1 比例线段（3） 课件 2024--2025学年浙教版九年级数学上册

4.1 比例线段（3） 第4章 相似三角形 浙教版 九年级上册 学习目标 学习目标 1.了解比例中项和黄金分割的概念，会求已知线段的比例中项，能利用黄金分割进行简单的计算. 2.通过动手找到黄金分割点与制作图形，认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史的作用. 复习回顾 【1】 【2】 【3】 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 复习回顾 【练习】已知线段a＝4，b＝6，c＝2，请另确定一条线段d的长，使a，b，c，d为成比例线段． 解：∵线段a，b，c，d为成比例线段， 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 新知学习 a b b c 【探究1】取一张长为 ，宽为1的长方形，将它对折，请判断图中两个长方形长与宽这４条线段是否成比例，如果成比例，请写出比例式. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知学习 一般地，如果三个数a，b，c满足比例式 = （或a∶b=b∶c)，则b就叫做a，c的比例中项. b2=ac = 【新知1】比例中项的定义 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知学习 【例1】 (1)已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值． (2)已知线段MN是线段AB，CD的比例中项，AB＝4 cm，CD＝5 cm，求MN的长，并思考(1)(2)有何区别． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知学习 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 新知学习 【探究2】下图是意大利著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》. 画面中脸部被围在矩形ABCD内，图中四边形BCEF 为正方形. 量一量点F到点A，B的距离. 问 成立吗? 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 新知学习 如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP >PB，且 = ，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比. A P B 【新知2】黄金分割 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 【探究3】应用一元二次方程的知识，求出黄金比的数值. 新知学习 A P B 黄金分割点 如图，设 =x，则PB=AB－AP=AB－AB·x. 由 = ，得 = ， 即 = . 化简，得x2+x－1=0. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 【探究3】应用一元二次方程的知识，求出黄金比的数值. 新知学习 A P B 黄金分割点 解得x1= , x2= （不合题意，含去） . 所以 = ≈0.618 . 黄金比 的近似值 【新知3】黄金比的值等于 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 新知学习 【知识拓展】历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和图案设计等方面. 古代希腊的帕特农神庙 右图中所示的框住古希腊神庙图形的长方形，它的宽与长之比就等于黄金比. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 新知学习 【例2】如图，已知线段AB= ，点P是它的黄金分割点，AP >PB.分别求AP，BP的长. A P B 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 新知学习 【点评】本题考查了利用黄金分割比求线段的长，由于有AP>PB的限制，从而只有一个解；否则，有两个解. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 新知学习 【例3】 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2( －1)，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，试证明D是线段AC的黄金分割点． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 新知学习 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 新知学习 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 新知学习 【例5】上海东方明珠电视塔高468m，上球体是塔身的黄金分割点，它到塔底部的距离大约是多少米(精确到0.1m)? 468m ? 468×0.618≈289.2m 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 学以致用 D 【1】若x是a，b的比例中项，则下列式子中，不一定成立的是(　　) 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 学以致用 【2】已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列等式不成立的是(　　) A．AP2＝PB·AB B．AP∶AB＝PB∶AP C．BP2＝AB·AP D．AP∶PB＝AB∶AP C 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 学以致用 【3】若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于_______________． 【解析】 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 22 学以致用 【4】“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D，E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比的值是________． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 23 学以致用 【解析】 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 24 学以致用 【5】如图，直线y ＝ 3x ＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA，OB，OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，求点P的坐标． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 25 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 26 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 27 学以致用 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 28 学以致用 【问题解决】 (1)图③中AB＝________(保留根号)； (2)如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由； 解：四边形BADQ是菱形．理由如下： 由折叠可知AB＝AD，BQ＝QD，∠BAQ＝∠DAQ. ∵BQ∥AD，∴∠AQB＝∠DAQ. ∴∠AQB＝∠BAQ. ∴AB＝BQ.∴AD＝AB＝BQ＝QD. ∴四边形BADQ是菱形． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 29 学以致用 (3)请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 30 课堂总结 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 31 ∴＝. 又∵a＝4，b＝6，c＝2， ∴d＝＝＝3， ∴线段d的长为3. 【解析】 (1)∵b是a，c的比例中项， ∴a∶b＝b∶c，∴b2＝ac，∴b＝±eq \r(ac). 又∵a＝4，c＝9，∴b＝±eq \r(36)＝±6. (2)∵线段MN是线段AB，CD的比例中项， ∴AB∶MN＝MN∶CD，∴MN2＝AB·CD， ∴MN＝eq \r(AB·CD)(负值舍去)． 又∵AB＝4 cm，CD＝5 cm， ∴MN＝2eq \r(5) cm. 通过解答(1)(2)发现，b，MN同时作为比例中项出现，b可以取负值，而MN具有实际意义，不可以取负值． 解 因为点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB， ∴ ， ∴ ， BP =AB－AP = . 【解析】 ∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝eq \f(180°－36°,2)＝72°. ∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝36°， ∴∠CDB＝180°－72°－36°＝72°＝∠C，∠A＝∠ABD＝36°， ∴BC＝BD＝AD＝2(eq \r(5)－1)，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(2（\r(5)－1）,4)＝eq \f(\r(5)－1,2)， ∴D是线段AC的黄金分割点． 【例4】 如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2. (1)求∠B的度数． (2)我们把一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比eq \f(\r(5)－1,2). ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由． ②求AD的长． 【解析】 (1)∵DB＝DC＝AC， ∴∠B＝∠DCB，∠CDA＝∠A. 设∠B＝x°，则∠DCB＝x°，∠CDA＝∠A＝2x°. 又∵∠ACE＝108°，∴∠B＋∠A＝108°， 即x＋2x＝108，解得x＝36，∴∠B＝36°. (2)①有三个：△BDC，△ADC，△BAC.理由如下： ∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△BDC是黄金三角形． 或∵CD＝CA，∠ACD＝180°－∠CDA－∠A＝180°－4x＝36°， ∴△ADC是黄金三角形． 或∵∠ACE＝108°，∴∠ACB＝72°. 又∵∠A＝2x＝72°，∴∠A＝∠ACB， ∴BA＝BC. 又∵∠B＝36°，∴△BAC是黄金三角形． ②∵△BAC是黄金三角形，∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(\r(5)－1,2). ∵BC＝2，∴AC＝eq \r(5)－1. ∵BA＝BC＝2，BD＝AC＝eq \r(5)－1， ∴AD＝BA－BD＝2－(eq \r(5)－1)＝3－eq \r(5).　 A．x2＝ab B．＝ C．＝ D．ab＝ －1或3－ 当AC＜BC时，BC＝AB＝－1； 当AC＞BC时，BC＝2－(－1)＝3－. 此题易忽视黄金分割点C的位置而漏解． －2 过点A作AH⊥BC于点H. ∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点， ∴BE＝CD＝BC. ∴BD＝BC－CD＝BC－BC＝BC. ∴DE＝BE－BD＝BC－BC＝(－2)BC. ∴＝＝＝＝－2. 解：易知点A的坐标是(－1，0)，点B的坐标是(0，3)， ∴OA＝1，OB＝3. ∵点P在x轴正半轴上，∴设点P的坐标是(x，0)． ∴OP＝x. 当线段OA的长是其他两条线段长度的比例中项时，则 OA2＝ OB·OP，∴1＝3·x，解得x＝.∴点P的坐标是. 当线段OB的长是其他两条线段长度的比例中项时，则OB2＝OA·OP，∴9＝1·x，解得x＝9. ∴点P的坐标是(9，0)． 当线段OP的长是其他两条线段长度的比例中项时，则OP2＝OB·OA，∴x2＝3×1，解得x＝(负值已舍去)． ∴点P的坐标是(，0)． 综上，点P的坐标是或(9，0)或(，0)． 【6】阅读理解：宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．(提示：MN＝2) 解：图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE. 理由：易知AC＝NC＝MN＝1，BC＝MN＝2， AD＝AB＝，∴CD＝－1.∴＝. ∴矩形BCDE是黄金矩形． 同理可得＝＝，∴矩形MNDE是黄金矩形．(选择一个说明理由即可) $$