专题20圆的有关压轴问题（精选23题）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（江苏专用）

专题20圆的有关压轴问题（精选23题） 一、单选题 1．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰中，，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ． 4．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 ．（结果保留根号）    5．（2023·江苏·中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．    6．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝ °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ． 7．（2022·江苏泰州·中考真题）如图上，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为 . 三、解答题 8．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G． (1)求证． (2)若点E在的延长线上，且，求的度数． (3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由． 9．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 10．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在 上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 11．（2023·江苏泰州·中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．    知识回顾 (1)如图①，中，B、C位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 (2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用 (3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 12．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．      (1)求点的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 13．（2023·江苏扬州·中考真题）【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设． 【操作探究】 如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．    (1)当时，________；当时，________； (2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； (3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________． 14．（2022·江苏常州·中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、． (1)沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由． 15．（2022·江苏盐城·中考真题）【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上． (1)【分析问题】 小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________． (2)【解决问题】 请帮助小明验证他的猜想是否成立． (3)【深度思考】 小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 16．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点. (1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长； (2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由. 17．（2022·江苏连云港·中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，． 【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转． (1)如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长． (2)若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离． (3)连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长． (4)如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_____． 18．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，． (1)如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形． ①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ②直接写出的长． 19．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 20．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 21．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． (1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； (2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 22．（2022·江苏泰州·中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒    (1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值. 23．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点． 【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整： 解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE． 在Rt△ABC中， 在Rt△CDE中， ， 所以． 所以∠=∠． 因为∠ ∠ =∠ =90°， 所以∠ +∠ =90°， 所以∠ =90°， 即⊥． (1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使=，写出作法，并给出证明： (2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使=·，写出作法，不用证明． 试卷第4页，共26页 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20圆的有关压轴问题（精选23题） 一、单选题 1．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案． 【详解】解：如图，过作于，    ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 2．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰中，，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案． 【详解】解：如图： 作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆 ∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ ∴AO平分∠PAQ ∵∠CAB=120° ∴∠PAO=30° ∵OP=3 ∴AO= =6 ∵∠BAC=120°，AB=AC   ∴∠ACB=30°，CD= BC= ∴AD= =3 ∴⊙A的半径为3, ∴⊙O与⊙A的半径和为6 ∵AO=6 ∴⊙O与⊙A相切 ∵AD⊥BC ∴BC所在的直线是⊙A的切线 ∴BC所在的直线与⊙O相切 ∴当=360°时，BC所在的直线与⊙O相切 同理可证明当=180°时，所在的直线与⊙O相切． 当⊥AO时，即=90°时，所在的直线与⊙O相切． ∴当为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键． 二、填空题 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果． 【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B， ∴点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹． 4．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 ．（结果保留根号）    【答案】/ 【分析】由，，，，，，，，求解，，证明，可得，再分别计算圆锥的底面半径即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键． 5．（2023·江苏·中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．    【答案】 【分析】连接，根据轴对称的性质可得，进而可得在半径为的上，证明是等边三角形，当取得最大值时，面积最大，根据圆的直径最大，进而得出最大值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵点关于的对称点为， ∴， ∵， ∴在半径为的上， 在优弧上任取一点，连接, 则， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 当取得最大值时，面积最大， ∵在上运动，则最大值为， 则面积的最大值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，得出最大值为是解题的关键． 6．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝ °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ． 【答案】 80 / 【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°， 即∠DCB =∠ECA， 在△BCD和△ACE中，， ∴△ACE≌△BCD（ SAS）， ∴∠EAC=∠DBC， ∵∠DBC=20°， ∴∠EAC=20°， ∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°； 设BF与AC相交于点H，如图： ∵△ACE≌△BCD ∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC， ∴∠AFB=∠ACB=60°， ∴A、B、C、F四个点在同一个圆上， ∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小， ∴此时线段AF长度有最小值， 在Rt△BCD中，BC=5，CD=3， ∴BD=4，即AE=4， ∴∠FDE=180°-90°-60°=30°， ∵∠AFB=60°， ∴∠FDE=∠FED=30°， ∴FD=FE， 过点F作FG⊥DE于点G， ∴DG=GE=， ∴FE=DF==， ∴AF=AE-FE=4-， 故答案为：80；4-． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 7．（2022·江苏泰州·中考真题）如图上，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为 . 【答案】2或/或2 【分析】分析判断出符合题意的DE的情况，并求解即可； 【详解】解：①如图，作，，连接OB，则OD⊥AC， ∵， ∴ ∵O为的内心， ∴， ∴ ∴， 同理，， ∴DE=CD+BE， ∵O为的内心， ∴， ∴ ∴ ∴ ②如图，作， 由①知，，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：2或． 【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键． 三、解答题 8．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G． (1)求证． (2)若点E在的延长线上，且，求的度数． (3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，，随增大，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时，，随增大，从0附近开始逐渐增大． 【分析】（1）连接并延长交于点H, 连接，根据线段垂直平分线判断垂直平分，得到，结合，，即得； （2）连接，设，得，得，根据， 垂直平分，得到，得到，根据垂径定理推出，得到，在中，推出, 得到，即得； （3）在和中，根据，得，得，结合，得，当时， ，随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时， ，随增大而增大，从0附近开始逐渐增大． 【详解】（1）连接并延长交于点H, 连接， ∵， ∴ 垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴；　 （2）连接，设， 由（1）知，， ∴， ∵, 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ， ∴， 随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0； 当时， ， ∴， 随增大而增大，从0附近开始逐渐增大． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形结合．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形外角性质，线段垂直平分线的判定和性质，正弦定义，分类讨论，是解决问题的关键 ． 9．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)图见解析（答案不唯一） (3)或 【分析】（）根据平移的性质，进行求解即可； （）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是线段的四等分点．， ∴， ∴， ∴线段的平移图形是，； 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求； 由作图可知：， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴即为所求； （3）∵点的坐标分别是、、， ∴， ∵对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且， ∴， 当在圆外，点在轴上，时， ∴，， ∴， 当在圆内，点在轴上，时， ∴，， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查图形的平移，点到圆上一点的最值，坐标与图形，勾股定理，菱形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键． 10．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在 上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键． 11．（2023·江苏泰州·中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．    知识回顾 (1)如图①，中，B、C位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 (2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用 (3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 【答案】(1)①；②； (2)见解析； (3)见解析 【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形； （2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可； （3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等． 【详解】（1）解：①，， ， ． ②连接，过作，垂足为，   ，， 是等腰直角三角形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角三角形中，， ． （2）证明：延长交圆于点，则，   ， ， ， ， ， ， ， 为该圆的圆心． （3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，   ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 必有一个点的位置始终不变，点即为所求． 【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键． 12．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．      (1)求点的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）令求得点的横坐标即可解答； （2）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点P作轴，垂足为H，可得；由题意可得，解得；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：令，则有：，解得：或， ∴． （2）解：∵抛物线过 ∴抛物线的对称轴为， 设， ∵， ∴, 如图：连接，则， ∴， ∴切线为边长的正方形的面积为， 过点P作轴，垂足为H，则：， ∴ ∵， ∴，      假设过点,则有以下两种情况： ①如图1：当点M在点N的上方，即      ∴，解得：或， ∵ ∴； ②如图2：当点M在点N的下方，即    ∴，解得：， ∵ ∴； 综上，或． ∴当不经过点时，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 13．（2023·江苏扬州·中考真题）【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设． 【操作探究】 如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．    (1)当时，________；当时，________； (2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； (3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________． 【答案】(1)2；30或210 (2)画图见解析； (3) 【分析】（1）当时，与重合，证明为等边三角形，得出；当时，根据勾股定理逆定理得出，两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可； （2）证明四边形是正方形，得出， 求出，得出，求出，根据求出两块三角板重叠部分图形的面积即可； （3）根据等腰三角形的性质，得出，即，确定将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，求出圆的周长即可． 【详解】（1）解：∵和中， ∴， ∴当时，与重合，如图所示：连接，    ∵，， ∴为等边三角形， ∴； 当时， ∵， ∴当时，为直角三角形，， ∴， 当在下方时，如图所示：    ∵， ∴此时； 当在上方时，如图所示：    ∵， ∴此时； 综上分析可知，当时，或； 故答案为：2；30或210． （2）解：当时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 即两块三角板重叠部分图形的面积为． （3）解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∴将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动， ∵ ∴点F运动的路径长为． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 14．（2022·江苏常州·中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、． (1)沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由． 【答案】(1)直角 (2)见详解 (3)小明的猜想正确，理由见详解 【分析】（1）AB是圆的直径，根据圆周角定理可知∠ACB=90°，即可作答； （2）以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可； （3）当点C靠近点A时，设，，可证,推出，分别以M，N为圆心，MN为半径作弧交AB于点P，Q，可得，进而可证四边形MNQP是菱形；当点C靠近点B时，同理可证． 【详解】（1）解：如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB是直角， 即△ABC是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可， 作图如下： 由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6， 即四边形EFHG是边长为6cm的菱形； （3）解：小明的猜想正确，理由如下： 如图，当点C靠近点A时，设，， ∴ , ∴ , ∴ , ∴ ． 分别以M，N为圆心，MN为半径作弧交AB于点P，Q，作于点D，于点E， ∴ ． ∵ ,，， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 四边形MNQP是平行四边形， 又∵ ， ∴ 四边形MNQP是菱形； 同理，如图，当点C靠近点B时，采样相同方法可以得到四边形MNQP是菱形， 故小明的猜想正确． 【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质与判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用上述知识解决问题． 15．（2022·江苏盐城·中考真题）【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上． (1)【分析问题】 小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________． (2)【解决问题】 请帮助小明验证他的猜想是否成立． (3)【深度思考】 小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或 (2)成立，理由见解析 (3)存在，4 【分析】（1）先画出图形，再结合实际操作可得再利用勾股定理求解AC，BC，从而可得答案； （2）解法1：设半径为的圆与直线的交点为 ．利用勾股定理可得，即，可得，可得上，从而验证猜想； 解法2：设半径为的圆与直线交点为，可得，解方程可得．则，再消去，可得，从而验证猜想； （3）如图，设所描的点在上，由， 建立方程，整理得结合，都是正整数，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图， ∴ ∴ 故答案为：或 （2）小明的猜想成立． 解法1：如图，设半径为的圆与直线的交点为 ． 因为，所以，即， 所以， 所以上，小明的猜想成立． 解法2：设半径为的圆与直线交点为， 因为，所以，解得，所以． ，消去，得， 点在抛物线上，小明的猜想成立． （3）存在所描的点在上，理由： 如图，设所描的点在上， 则，因为， 所以， 整理得， 因为，都是正整数， 所以只有，满足要求． 因此，存在唯一满足要求的，其值是4． 【点睛】本题考查的是切线的性质，垂径定理的应用，坐标与图形，二次函数的图像与性质，勾股定理的应用，方程的正整数解问题，理解题意，建立几何模型与函数模型是解本题的关键． 16．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点. (1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长； (2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)2 (2)图见详解 (3)直线BC与⊙F相切，理由见详解 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求； （3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵DE∥AB， ∴， ∴， ∵AB=5，BD=9，DC=6， ∴， ∴； （2）解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求； 如图所示：点F即为所求， （3）解：直线BC与⊙F相切，理由如下： 作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图， ∵∠DFA=∠A， ∴四边形ABRF是等腰梯形， ∴， ∵△FBC的面积等于， ∴， ∴CD⊥DF， ∵FD是⊙F的半径， ∴直线BC与⊙F相切． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键． 17．（2022·江苏连云港·中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，． 【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转． (1)如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长． (2)若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离． (3)连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长． (4)如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_____． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）在Rt△BEF中，根据余弦的定义求解即可； （2）分点在上方和下方两种情况讨论求解即可； （3）取的中点，连接，从而求出OG=，得出点在以为圆心，为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解； （4）由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，过O作OH⊥AB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点到直线的距离的最大，在Rt△BOH中求出OH，进而可求GH. 【详解】（1）解：由题意得，， ∵在中，，，． ∴． （2）①当点在上方时， 如图一，过点作，垂足为， ∵在中，，，， ∴， ∴． ∵在中，，， ，， ∴． ∵点、、在同一直线上，且， ∴． 又∵在中，，，， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． ②当点在下方时， 如图二， 在中，∵，，， ∴． ∴． 过点作，垂足为． 在中，， ∴． 综上，点到直线的距离为． （3）解：如图三，取的中点，连接，则． ∴点在以为圆心，为半径的圆上． 当三角板绕点B顺时针由初始位置旋转到点、B、首次在同一条直线上时，点所经过的轨迹为所对的圆弧，圆弧长为． ∴点所经过的路径长为． （4）解：由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上， 如图四，过O作OH⊥AB于H， 当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点到直线的距离的最大， 在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，， ∴， ∴， 即点到直线的距离的最大值为. 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点在上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键. 18．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，． (1)如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形． ①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ②直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，，进而作出图形； （2）根据和位似，与位似得出，，，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形； （3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法． 【详解】（1）解：如图1， 1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； （2）证明：和位似，与位似， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得：， 四边形是平行四边形； （3）解：如图2， 1．以为边在上方作等边三角形， 2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接， 3．作，，延长，交于，连接，， 则四边形是正方形， 证明：由上知：，， ，，，， ， 要使是正方形，应使，， ，， ， ， ， 作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法； ，，， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图等知识，解决问题的关键是较强的分析能力． 19．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 【答案】（1）2（2）（3）（4） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可. 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使与重合，如图，得， 由（2）可得：， ∴当三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴； ∴的最小值为； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 20．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． （3）①当时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形， 此时， ∵，且，， 在中，， 在中，， ； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键． 21．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． (1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； (2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 【答案】(1) (2)①符合，图见详解；②图见详解 【分析】（1）根据圆环面积可进行求解； （2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图． 【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为， ∴它们的面积之比为； 故答案为； （2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可    由作图可知满足比例关系为的关系； ②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：    【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键． 22．（2022·江苏泰州·中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒    (1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值. 【答案】(1) (2)8或9秒 【分析】(1)通过计算当t=2.5时EB=BO，进而得到△MBE≌△MBO，判断出△MEO为等边三角形得到∠EOM=60°，然后根据弧长公式求解； (2)通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解． 【详解】（1）解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：      当t=2.5时，BE=2.5， ∵EF=10， ∴OE=EF=5， ∴OB=2.5， ∴EB=OB， 在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB， ∴△MBE≌△MBO(SAS)， ∴ME=MO， ∴ME=EO=MO， ∴△MOE是等边三角形， ∴∠EOM=60°， ∴． （2）解：连接GO和HO，如下图所示：      ∵∠GOH=90°， ∴∠AOG+∠BOH=90°， ∵∠AOG+∠AGO=90°， ∴∠AGO=∠BOH， 在△AGO和△OBH中，， ∴△AGO≌△BOH(AAS)， ∴AG=OB=BE-EO=t-5， ∵AB=7， ∴AE=BE-AB=t-7， ∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t， 在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2， ∴(t-5)2+(12-t)2=52， 解得：t1=8，t2=9， 即t的值为8或9秒． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定(一线三垂直模型)，结合勾股定理列方程是解题关键． 23．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点． 【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整： 解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE． 在Rt△ABC中， 在Rt△CDE中， ， 所以． 所以∠=∠． 因为∠ ∠ =∠ =90°， 所以∠ +∠ =90°， 所以∠ =90°， 即⊥． (1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使=，写出作法，并给出证明： (2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使=·，写出作法，不用证明． 【答案】(1)；见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点，作射线交于点P，则根据垂径定理可知，点P即为所求作； （2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得∠FMI=∠MNA，利用圆周角定理证得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可证明结论． 【详解】（1）解：【操作探究】在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE． 在Rt△ABC中， 在Rt△CDE中，， 所以． 所以∠=∠． 因为∠ ∠ =∠ =90°， 所以∠ +∠ =90°， 所以∠ =90°， 即⊥． 故答案为：； 取格点，作射线交于点P，点P即为所求作； （2）解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作； 证明：作直径AN，连接BM、MN， 在Rt△FMI中，， 在Rt△MNA中，， 所以． ∴∠FMI=∠MNA， ∵∠B=∠MNA， ∴∠AMP=∠B， ∵∠PAM=∠MAB， ∴△PAM∽△MAB， ∴， ∴=·． 【点睛】 本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 试卷第4页，共26页 56 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$