2025年中考数学专题复习：几何模型专题九：布洛卡点、主从联动、12345模型

编号： 15 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 拓展模型2 教学内容 【模型预览】 模型1：“布洛卡点”模型 模型2：“主从联动”模型 模型3：“12345”模型 模型1：“布洛卡点”模型 【模型展现】 基础模型 图示 条件 点P为△ABC内部一点,连接AP,BP,CP,则∠1=∠2=∠3 模型拓展 拓展方向:由一般三角形到特殊三角形. 类型 等腰三角形 直角三角形 图示 条件 在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC内部一点,连接AP,BP,CP,∠1=∠2=∠3 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点P为△ABC内部一点,连接AP,BP,CP,∠1=∠2=∠3 结论 1.△ABP∽△BCP; 2.PB2=PA·PC 1.△ABP∽△BCP; 2.∠APC=90°; 3.tan∠ACP=1/2,即CP=2AP; 4.若点P到三角形的边AB,BC,AC的距离分别是h1,h2,h3,则h2=h1·h3 【模型解题三步法】 例 如图① ，△ABC内有一点P，满足∠PAB＝∠CBP＝∠ACP，那么点P被称为△ABC的“布洛卡点”.如图② ，在△DEF中，DE＝DF，∠EDF＝90°，若点Q是△DEF的一个”布洛卡点“，DQ＝1，则EQ的长为_____. 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在等腰直角三角形: △DEF 三角形内是否存在“布洛卡点”: △DQF∽△FQE 点Q是△DEF的一个“布洛卡点”， ∠DEQ＝∠QFE＝∠QDF 【题以类解】 1.如图,在△ABC中,AC＝BC,∠ACB＝120°,P为△ABC内部一点,且∠APB＝∠BPC＝150°. （1）求证:PA＝3PC; （2）若AB＝10，求PA的长. 2.如图，点P在△ABC内，且满足∠APB＝∠APC,∠APB+∠BAC＝180°. （1）求证:△PAB∽△PCA; （2）若∠APB＝120°，∠ABC＝90°，求的值; （3）若∠BAC＝45°，且△ABC是等腰三角形,求tan∠PBC的值. 模型2：“主从联动”模型 【模型故事】 主从联动（瓜豆模型） “主从联动模型”也叫“瓜豆模型”，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”，这类动点问题中，一个动点随另一个动，点的运动而运动，我们把它们分别叫做从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）.解决这一类问题通常用到旋转和相似. 【模型展现】 基础模型一 直线轨迹 已知 定点A，动点P和Q，∠PAQ＝α，为定值k，点P在直线BC上运动 图示 A， Q，P三点共线 A， Q，P三点不共线 结论 当点P的轨迹在直线上时，点Q的轨迹在直线上: 1.P，Q两点轨迹所在直线的夹角等于α; 2.P，Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ 基础模型二 圆轨迹 已知 定点A,动点P和Q,∠PAQ=α,AP/AD为定值k,点P在⊙O上运动 图示 A, Q,P 三点不共线 结论 当点P的轨迹在圆上时,点Q的轨迹在圆上: 1.两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与定点连线的夹角,即∠OAM=∠PAQ; 2.主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比,也等于两圆半径之比,即AP:AQ＝AO:AM＝PO:QM 结论分析 直线轨迹结论:1.P，Q两点轨迹所在直线的夹角等于α; 2.P，Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ 以A，Q，P三点共线为例证明 证明:如图① ，连接AB，AC，过点O作BC的平行线，分别交AB，AC于点M，N， 根据平行线分线段成比例可得， ∵∠MAN＝∠BAC,∴△AMN∽△ABC,∴ ∵点P的轨迹为BC，点Q的轨迹为MN， ∴P，Q两点轨迹所在直线的夹角等于0°（结论1）; P，Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（结论2）. 注:若三点不共线，则考虑△APP′∽△AQQ′，则 圆轨迹结论:1.两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与定点连线的夹角，即∠OAM＝∠PAQ; 2.主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即AP:AQ ＝AO:AM＝PO:QM 以A，Q，P三点共线为例证明 证明:如图② ，连接AO，过点Q作OP的平行线，交AO于点M， 根据平行线分线段成比例可得， ∵∠PAO＝∠QAM,∴△AOP∽△AMQ,∴ ∵A，M，O三点共线， ∴P，Q两点轨迹所在圆的圆心与点A连线的夹角等于0°（结论1）; 主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即AP:AQ＝AO:AM＝PO:QM（结论2）. 注:若三点不共线，则考虑△APO∽△AQM，则 【模型解题三步法】 例1 如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连接AP，Q为AP的中点，若点P在⊙O上运动一周，则点O经过的路径长是______. 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 圆上是否存在一动点: 点P（主动点） 动点和定点的连线上是否存在另一动点: 点Q（从动点） 点Q在以AO为直径的圆上运动 例2 如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连 接CE，F是AC的中点，连接EF，若AB＝4，则EF的最小值是 . 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 三角形边上是否存在一动点: __________ 点E的运动轨迹在射线CE上 是否存在与动点和定点连线相关的 另一动点: __________ 【题以类解】 1.如图，在△ABC中，BC＝6，点P在线段BC上移动，点Q为AP上靠近点A的三等分点，当点P由点B移动到点C时，点Q的运动轨迹长为______. 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝11，BC＝6，E为AB上一点，且AE＝2，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰Rt△EFG,EF＝EG,连接CG,则CG的最小值为______. 3.（模型迁移）如图，正比例函数y＝-3x的图象与反比例函数（k＜0）的图象交于A，B两点，点P是以C（3，0）为圆心，2为半径的⊙C上一点，连接AP，点Q是AP的中点，若OQ长的最大值为，则k的值为______. 4.（模型迁移）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B两点，与 y 轴交于点C（0，5）. （1）求抛物线的解析式; （2）若点P在以点B为圆心，2为半径的⊙B上，⊙B与x轴交于D，E两点（点D在点E左侧），连接AP，以AP为边在AP下方作等腰Rt△APQ，且∠PAQ＝90°，连接EQ，求EQ长度的取值范围. 模型3：“12345”模型 “12345”模型为中考的考查模型，总结如下: 考法 图形背景 考查题型 解题原理 “12345”模型的相 关计算 三角形(5次)、二次函数图象(2次),图形如下: 1.在选择或填空题考查: (1)求三角函数值、求线段长; (2)与网格或坐标系结合考查; 2.在解答二次函数综合题中涉及考查 抽离或构造含45°的直角三角形,用三角函数求解 【模型解读】 为什么叫“12345”模型 何为“1，2，3”？ 如图，“tanα，tanβ”. 何为“4，5”？ 如图，当满足tanα，tanβ时，“α+β＝45°. 对于这里的数据，为了便于记忆，通常称为“12345”模型. 【模型展现】 基础模型 在如图所示的由大小相同的小正方形组成的网格内 图示 结论 图① 1.如图① ，若tan∠，tan∠，则∠DAF+∠BAE＝45°;（“”+ “”＝45°） 2.如图① ,若tan∠DFA＝3,tan∠AEB＝2,则∠DFA+∠AEB＝135°;（“3”+ “2”＝135°） 图② 3.如图② ，若tan∠，tan∠AEB＝2，则∠AEB-∠AFG＝45°;（“2”- “”＝45°） 图③ 4.如图③ ，若tan∠DFA＝3，tan∠，则∠DFA-∠AEH＝45°;（“3”- “＝45°） 结论分析 结论1:如图① ，若tan∠，tan∠，则∠DAF+∠BAE＝45°;（“”+“”＝45°） 证明:根据网格线计算，，AF＝0，AE2+EF2＝AF2， ∴△AEF是等腰直角三角形，且∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°，∵∠BAD＝90°，∴∠DAF+∠BAE＝45°. 结论2:如图① ，若tan∠DFA＝3，tan∠AEB＝2，则∠DFA+∠AEB＝135°;（“3”+“2”＝135°） 证明:∵△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AFE＝45°，∠AEF＝90°，∵∠AEB+∠FEC＝90°,∠FEC+∠EFC＝90°, ∴∠AEB＝∠EFC,∵∠DFA+∠EFC＝180°-∠AFE＝135°，∴∠DFA+∠AEB＝135°. 结论3:如图② ，若tan∠，tan∠AEB＝2，则∠AEB-∠AFG＝45°;（“2”-“”＝45°） 证明:∵△AEF是等腰直角三角形， ∴∠EAF＝45°， ∵AD∥BC, ∴∠AEB＝∠DAE,∠AFG＝∠DAF, ∴∠AEB-∠AFG＝∠DAE-∠DAF＝∠EAF＝45°.（结论4证明同结论3） 模型拓展 拓展方向:结论中未直接给出“12345”模型 图示 结论 图① 1.如图① ,若tan∠AEB＝2,tan∠,则∠AEB+∠FEC＝90°;（“2”+“”＝90°） 图② 2.如图② ,若tan∠AEB＝3,tan∠,则∠AEB+∠FEC＝90°;（“3”+“”＝90°） 图③ 3.如图③ ,若tan∠,tan∠,则tan（∠BDA+∠DBA）＝ tan∠; （“”+“”＝“”） 图④ 4.如图④ ,若tan∠,tan∠,则tan（∠BDA+∠DBA）＝ tan∠; （“”+“”＝“”） 【模型解题三步法】 例1 如图，在正方形网格中，点A，M，C，N，F都在格点上，AN与CM相交于点P，则∠APC为（ ） A.115° B.125° C.135° D.145° 例2 （模型构造）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE,延长EF交DC于点G,则DG的长为（ ） 【题以类解】 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点H，交AC于点G，交BC于点E，交AB的延长线于点F，连接AE，若AB＝8，BE＝6，则BF的长为______. 2.（模型构造）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AB上靠近点A的三等分点，连接DE，点F，G分别为BC，AD上一点，连接FG交DE于点P，且∠EPF＝45°，GF的长为______. 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6， AB＝8，以BC为直径作⊙O，D是AB的中点，连接CD，交AB于点E，则DE的长为_______. 4.（模型迁移）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，将直线AB则绕点B逆时针旋转45°，旋转后的直线交x轴于点C，则直线BC的解析式为_____. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$