第4章一元一次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

第4章 一元一次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 细节剖析： 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如： 考点1：三个概念 概念1：方程 【例题1】（2024七年级上·江苏·专题练习）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【变式3】（2023七年级上·江苏·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 概念2：一元一次方程 【例题2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）下列方程中，是一元一次方程的有 ； ①；②；③；④；⑤；⑥ 概念3：方程的解 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列四个方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）已知关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则 ． 考点2：一个性质——等式的基本性质 【例题4】（24-25七年级上·北京·期中）下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．由，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列利用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．由，得 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）若，则 ；若，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1) (2) 考点3：一种解法——一元一次方程的解法 【例题5】（24-25九年级上·海南海口·期中）若代数式的值为3，则等于（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）对于两个非零有理数a、b， 规定，若， 则 ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期中）解方程 (1) (2) (3) (4) 考点4：一种应用——一元一次方程的应用 【例题6】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有一些相同的房间需要装修地面，每天4名A级工人可装修5个房间，结果还剩未能装修，每天6名B级工人除了能装修7个房间以外，还可以多装修，若一名A级工人每天比一名B级工人多装修，设每个房间的地面为，一名B级工人每天装修，下列方程中正确的是（  ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某服装商店一套西服的进价为元，若按标价的八折销售，则可获利元，该服装的标价为 元． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 考点5：两个技巧 技巧1：设辅助未知数 【例题7】（23-24七年级上·重庆渝中·期末）某条河道水流速度为每小时2千米，一艘渔船从地出发顺流航行到地，再调头逆流航行到、之间的地共用了6小时（掉头时间忽略不计），若渔船顺水速度是逆水速度的3倍，且、两地的距离为20千米，则、两地的距离为（   ） A．2千米 B．4千米 C．6千米 D．8千米 【变式1】（22-23七年级上·四川达州·期末）超市以390元卖出两台进价不同的复读机，一台盈利，另一台亏本，在这次买卖中超市（   ） A．不亏不盈 B．亏了元 C．盈了38元 D．盈了15元 【变式2】（23-24七年级上·云南红河·期末）某商场以每件720元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，该商场卖出这两件衣服共盈利 元． 【变式3】某校举行演讲比赛选拔赛，淘汰总参赛人数的 1/4 ，已知选拔赛的分数线比全部参赛学生的平均分少2分，比被选中的学生的平均分少11分，并等于被淘汰的学生的平均分的2倍，求该选拔赛的分数线。 技巧2：列表分析数量关系 【例题8】（23-24六年级上·山东烟台·期末）某柜台销售员的销售记录中有如下记录： 进价 标价 折扣 利润率 100元 八折 根据表中信息，可求出标价为 ． 【变式1】（23-24七年级上·江苏南通·期末）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地。现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下， 信息一： 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工面积（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二： 甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积为．该段时间内体育中心需要支付多少施工费用？ 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示，请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量 收费单价 第一阶梯 的部分 2.67元 第二阶梯 的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 备注：若家庭人口超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加 (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为______元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为______元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元，请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2023年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到）？ 【变式3】（2023七年级上·江苏·专题练习）某市居民用电收费标准按一二三档阶梯划分，具体如下：(设每月用电x度)例如：若某户某月用电500度，则缴纳电费元． 第一档 第二档 第三档 用电范围 收费标准 元/度 超出第一档的部分，每度电收费元 超出第二档的部分，每度电收费收费标准元 (1)若西西家该月用电160度，则该月该缴纳电费为 元．若该月用电为度，则该月该缴纳电费为 元(用含m的式子表达)． (2)若该月西西共缴纳电费元，则该月共用多少度电？ 考点6：三种思想 思想1：整体思想 【例题9】（2024七年级上·全国·专题练习）用整体思想解方程． 【变式1】（23-24七年级·山西长治·阶段练习）在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）整体思考是一种重要的解决数学问题的策略．例如：已知当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值是多少？ 解：∵当时，代数式 的值为2024， 当时， 请认真阅读上面例题的解答过程，完成下面问题． (1)若，则______． (2)已知，求的值． (3)A，B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少时间相距10千米． 【变式3】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】 ①已知，则 ； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】已知且，求的值． 思想2：分类讨论思想 【例题10】（2024七年级上·全国·专题练习）解关于的方程：． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）解绝对值方程：． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面的例题：解方程：． ①当时，原方程可化为一元一次方程，它的解是； ②当时，原方程可化为一元一次方程，它的解是． 故原方程的解是或． 依照以上例题，解方程：． 【变式3】（24-25七年级上·北京朝阳·期中）已知a，b，c是整数，满足，，求m的值． 思想3：数形结合思想 【例题11】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为，16，（规定数轴上两点A、B之间的距离记为）．若点C在A，B两点之间，且满足，则点C对应的数是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式1】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为30，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 【变式2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）点在数轴上分别表示有理数和两点之间的距离为，在数轴上两点之间的距离．例如点表示的数为，点到原点O的距离为；如图所示，点所表示的数为．点所表示的数为2．回答下列问题： (1)两点之间的距离______； (2)若动点分别从两点同时向左移动，点的速度分别为每秒2个单位长度和每秒4个单位长度，设移动时间为秒、秒后，点所表示的数为______，点所表示的数为______；（用含的代数式表示） (3)在运动过程中，试探究的值是否会随着的变化而改变？请说明理由． 【变式3】（24-25七年级上·广西柳州·期中）点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为，在数轴上A 、B 两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为 ； (2)若x与2的距离为3，则x的值为 ； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为 ； (4)假设，，有一点P由原点O开始以每秒1的速度向右运动，请你求出运动时间t是多少秒时，（点P到点A的距离是点P到点B的距离的2 倍） 一、单选题 1．（2022·海南·中考真题）若代数式的值为6，则x等于（    ） A．5 B． C．7 D． 2．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（   ） A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7 3．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．3 B． C．7 D． 4．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·四川宜宾·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（    ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 二、填空题 6．（2021·湖南张家界·中考真题）已知方程，则 ． 7．（2022·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为 ． 8．（2021·山东日照·中考真题）关于的方程（、为实数且），恰好是该方程的根，则的值为 ． 9．（2022·吉林长春·中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为 ． 三、解答题 10．（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？ 11．（2023·四川自贡·中考真题）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量． 12．（2022·湖南娄底·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为． (1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量； (2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？ 一、单选题 1．（24-25七年级上·天津·期中）若是关于x的一元一次方程，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列各数，是方程的解的是（   ） A．0 B．1 C． D． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 4．（23-24七年级上·河北保定·期末）下列选项中，方程的解不同于其他三个方程的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）下列变形正确的是（   ） A．将方程去括号，得 B．将方程去括号、移项、合并同类项，得 C．将方程去括号，得 D．将方程去括号，得 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）多项式是四次二项式，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列等式变形正确的是（  ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期中）“3·5”学雷锋日“献上一杯姜茶”活动中，小明为环卫工刘爷爷献上热茶并帮助刘爷爷打扫卫生，小明了解到，再过5年，刘爷爷的年纪正好是自己的4倍，小明今年13岁，设刘爷爷今年x岁，则可列方程为：（   ） A． B． C． D． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率，则该商品应打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 二、填空题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各变形中： ①由，可得到后； ②由，可得到； ③由，可得到； ④由，可得到．其中一定正确的有 （填序号）． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）列等式表示“x的3倍与5的和等于x的4倍与2的差”为 ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 14．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 15．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是关于的方程的解，则代数式的值为 ． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）若单项式与的和仍是单项式，则关于x的方程的解为 ． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）甲以的速度出门散步，后，乙沿着甲所走的路线以的速度追赶，则当乙追上甲时，乙走了 h． 18．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号） 三、解答题 19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程： (1)； (2)． 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程 (1) (2) 21．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程 (1)； (2)； (3) 22．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的方程的解，满足关系式，求的值． 23．（24-25七年级上·全国·阶段练习）已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求a的值； (2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值． 24．（24-25七年级上·广西贺州·期中）若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的“后移方程”． (1)方程________（填“是”或“不是”）方程的“后移方程”，并说明理由？ (2)若关于x的方程是方程的“后移方程”，试求m的值． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 26．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元一次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 细节剖析： 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如： 考点1：三个概念 概念1：方程 【例题1】（2024七年级上·江苏·专题练习）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，故不是方程，不符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【答案】②③④⑥ 【分析】本题考查了整式方程的定义，判断一个方程是否为整式方程，要看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据整式方程的定义：分母中不含未知数的方程叫做整式方程进行判断． 【详解】解：②0，③，④，⑥的分母中不含未知数，是整式方程；①和⑤分母中含未知数，是分式方程． 故答案为：②③④⑥． 【变式3】（2023七年级上·江苏·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查方程的定义：含有未知数的等式叫方程．根据方程的定义逐个判定即可． 【详解】解：①符合方程定义，故①是方程； ②没有未知数，故②不是方程； ③不是等式，故③不是方程； ④符合方程定义，故④是方程； ⑤符合方程定义，故⑤是方程； ∴是方程的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 概念2：一元一次方程 【例题2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且． 【详解】解：、含有未知数项的最高次数是2，它不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、它不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、含有2个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都是整式．根据一元一次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：A 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：A：含有两个未知数，不符合题意； B：为一元一次方程，符合题意； C：未知数的最高次数为，不符合题意； D：含有分式，不符合题意； 故选：B ． 【变式3】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）下列方程中，是一元一次方程的有 ； ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知： ①，是一元一次方程，符合题意； ②，含有两个未知数，是二元一次方程，不符合题意； ③，不是方程，不符合题意； ④，未知数的次数不都是1，是分式方程，不符合题意； ⑤，未知数的次数是2，是二元一次方程，不符合题意； ⑥，是一元一次方程，符合题意， 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键 概念3：方程的解 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列四个方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将分别代入选项中的方程验证即可． 【详解】解：A、将代入得， ，故A不符合题意； B、将代入得， ，故B不符合题意； C、将代入得， ，故C不符合题意； D、将代入得， ，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入各方程即可判断． 【详解】解：∵，故A不符合题意； ∵，故B符合题意； ∵，，故C不符合题意； ∵，，故D不符合题意； 故选：B 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）已知关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解；∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求得的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为： 考点2：一个性质——等式的基本性质 【例题4】（24-25七年级上·北京·期中）下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．由，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质．解决本题的关键是根据等式的两边同时加上或减去同一个数仍是等式；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数仍是等式． 【详解】解：A选项：已知，根据等式的基本性质两边同时减去可得：，故A选项正确； B选项：已知，根据等式的基本性质两边同时乘以可得：，故B选项错误； C选项：，把的两边同时除以可得：，故C选项正确； D选项：已知，移项可得：，故D选项正确． 故选：B 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列利用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．由，得 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质判断即可． 【详解】解：A、如果，那么等式两边同时加1可得，原变形错误，不符合题意； B、如果，那么等式两边同时除以可得，原变形错误，不符合题意； C、如果，那么等式两边同时加可得，原变形正确，符合题意； D、如果，那么等式两边同时除以可得，原变形错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）若，则 ；若，则 ． 【答案】 5 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：，5 【变式3】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）等式两边同时加上，之后等式两边同时除以即可得到答案； （2）等式两边同时加上，之后等式两边同时减去，最后等式两边同时除以即可得到答案 ． 【详解】（1）， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ． 考点3：一种解法——一元一次方程的解法 【例题5】（24-25九年级上·海南海口·期中）若代数式的值为3，则等于（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程．根据代数式的值为3列方程计算即可． 【详解】解：∵代数式的值为3， ∴，解得， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）对于两个非零有理数a、b， 规定，若， 则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解一元一次方程，根据新定义得出，即，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得：， 故答案为：4． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟记解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解决问题的关键． （1）移项、合并同类项即可得到答案； （2）去分母、合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得； （2）解：， 去分母得， 合并同类项得． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期中）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （3）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （4）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解∶原方程变形为， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 考点4：一种应用——一元一次方程的应用 【例题6】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有一些相同的房间需要装修地面，每天4名A级工人可装修5个房间，结果还剩未能装修，每天6名B级工人除了能装修7个房间以外，还可以多装修，若一名A级工人每天比一名B级工人多装修，设每个房间的地面为，一名B级工人每天装修，下列方程中正确的是（  ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设每个房间的地面为，分别表示出一名A级工人面条装修的面积和一名B级工人面条装修的面积，再由一名A级工人每天比一名B级工人多装修可得方程；设一名B级工人每天装修，则一名A级工人每天装修，分别根据A级工人和B级工人的装修面积情况表示出每个房间的面积可得方程． 【详解】解：设每个房间的地面为， ∵每天4名A级工人可装修5个房间，结果还剩未能装修， ∴一名A级工人每天装修， ∵每天6名B级工人除了能装修7个房间以外，还可以多装修， ∴一名B级工人每天装修， ∵一名A级工人每天比一名B级工人多装修， ∴； 设一名B级工人每天装修，则一名A级工人每天装修， ∴每个房间的面积为，， ∴， ∴正确的有②③， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某服装商店一套西服的进价为元，若按标价的八折销售，则可获利元，该服装的标价为 元． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解利润、售价、进价三者之间的关系是解题关键．首先理解题意找出题中存在的等量关系：利润售价进价，根据此等量关系列方程即可． 【详解】解：设该服装的标价为元， 则实际售价为元， 根据等量关系列方程得：， 解得：． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握航行问题的基本等量关系及找准题目中的等量关系进行列式求解是解决本题的关键． （1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为，进而列方程求解即可． （2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为，依题意得： ， 解得， ∴船在静水中的平均速度为； （2）解：依题意，船在静水中的平均速度为， ∴甲乙两码头之间的距离为， ∴甲乙两码头之间的距离． 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男25人，女23人 (2)3人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设女生人数为x人，则男生人数为人，根据七年级四班共有学生48人列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设a名男生去支援女生，根据每个盒身匹配2个盒底为等量关系，列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 根据题意可得：， 解得： 则， 答：七年级四班有男生25人，女生23人． （2）解：设a名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意有：， 整理得：， 解得：， 答：需要3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套 考点5：两个技巧 技巧1：设辅助未知数 【例题7】（23-24七年级上·重庆渝中·期末）某条河道水流速度为每小时2千米，一艘渔船从地出发顺流航行到地，再调头逆流航行到、之间的地共用了6小时（掉头时间忽略不计），若渔船顺水速度是逆水速度的3倍，且、两地的距离为20千米，则、两地的距离为（   ） A．2千米 B．4千米 C．6千米 D．8千米 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．先根据“渔船顺水速度是逆水速度的3倍”求出静水速度，再根据“从A地出发顺流航行到B地，再调头逆流航行到A、B之间的C地共用了6小时”列方程求解． 【详解】解：设船在静水中是速度为a千米/小时， 则， 解得：， 则，， 设B、C的距离为x千米， 则 ， 解得：， ∴、两地的距离为4千米； 故选：B． 【变式1】（22-23七年级上·四川达州·期末）超市以390元卖出两台进价不同的复读机，一台盈利，另一台亏本，在这次买卖中超市（   ） A．不亏不盈 B．亏了元 C．盈了38元 D．盈了15元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 盈利的一台的进价为元，利用利润率的意义列出方程，解得；再设亏本的一台的进价为元，同样列出方程，解得，即可求解． 【详解】解：设盈利的一台的进价为元， 根据题意得， 解得； 设亏本的一台的进价为元， 根据题意得， 解得； 因为（元）， 所以在这次买卖中超市亏了元． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·云南红河·期末）某商场以每件720元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，该商场卖出这两件衣服共盈利 元． 【答案】40 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，销售问题的数量关系进价利润率售价的运用，根据条件建立方程是解答的关键．设盈利的衣服的进价是x元，亏损的衣服的进价是y元，由进价利润率售价建立方程求出其解即可． 【详解】解：设盈利的衣服的进价是x元，亏损的衣服的进价是y元， 由题意，得 ，， 解得：，， ∴总共进价为元． ∵售价为：元． ∴元． ∴该商店卖出这两件衣服共盈利40元． 故答案为：40． 【变式3】某校举行演讲比赛选拔赛，淘汰总参赛人数的 1/4 ，已知选拔赛的分数线比全部参赛学生的平均分少2分，比被选中的学生的平均分少11分，并等于被淘汰的学生的平均分的2倍，求该选拔赛的分数线。 【答案】40 【详解】解：设盈利的衣服的进价是x元，亏损的衣服的进价是y元， 解：设该选拔赛的分数线为 x 分，则全部参赛学生的平均分为( x ＋2)分， 被选中的学生的平均分为( x ＋11)分，被淘汰的学生的平均分为 分， 设被淘汰的学生的人数为 y ( y 为正整数)， 则被选中的学生的人数为3 y ，总参赛人数为4 y ，根据题 意，得 y · ＋3 y ( x ＋11)＝4 y ( x ＋2)， 解得 x ＝50。所以该选拔赛的分数线为50分 技巧2：列表分析数量关系 【例题8】（23-24六年级上·山东烟台·期末）某柜台销售员的销售记录中有如下记录： 进价 标价 折扣 利润率 100元 八折 根据表中信息，可求出标价为 ． 【答案】元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设标价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设标价为元，根据题意得， 解得：， 故答案为：元． 【变式1】（23-24七年级上·江苏南通·期末）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地。现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下， 信息一： 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工面积（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二： 甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积为．该段时间内体育中心需要支付多少施工费用？ 【答案】(1)的值为600 (2)体育中心共支付施工费用元 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）根据“甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多”列出一元一次方程求解即可； （2）设甲工程队先单独施工天，则乙工程队先单独施工天，根据“两队共施工22天，且完成的施工面积为” 列出一元一次方程，求得甲工程队先单独施工天数，再结合每天的单价即可求解． 【详解】（1）解：由题意列方程，得， 解得：， 即：的值为600； （2）设甲工程队先单独施工天，则乙工程队先单独施工天， 由题意列方程，得， 解得：， 则体育中心共支付施工费用（元）， 答：体育中心共支付施工费用元． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示，请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量 收费单价 第一阶梯 的部分 2.67元 第二阶梯 的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 备注：若家庭人口超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加 (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为______元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为______元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元，请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2023年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到）？ 【答案】(1)534，1383 (2) (3)甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量约为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据收费标准代入求解； （2）根据收费标准计算求解； （3）根据“2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元”列方程求解． 【详解】（1）解：一户3人家庭， 若年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元； 若年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元； 故答案为∶534，1383； （2）， （3）若甲户年用气量为， 则燃气费用为， 甲户该年的用气量达到了第三阶梯， 由（2）得，当时，，解得， 甲户年用气量约为， 若乙户年用气量为，则燃气费用为， 乙户该年的用气量超过第一阶梯， 若乙户年用气量为， 则燃气费用为， 乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯， 设乙户年用气量为，则， 解得， 乙户年用气量为． 答：甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量约为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 【变式3】（2023七年级上·江苏·专题练习）某市居民用电收费标准按一二三档阶梯划分，具体如下：(设每月用电x度)例如：若某户某月用电500度，则缴纳电费元． 第一档 第二档 第三档 用电范围 收费标准 元/度 超出第一档的部分，每度电收费元 超出第二档的部分，每度电收费收费标准元 (1)若西西家该月用电160度，则该月该缴纳电费为 元．若该月用电为度，则该月该缴纳电费为 元(用含m的式子表达)． (2)若该月西西共缴纳电费元，则该月共用多少度电？ 【答案】(1)； (2)度 【分析】本题考查了一元一次方程在用电问题中的应用 （1）先判断出西西家用电量在哪一档，再按要求计算即可； （2）分别计算出第一档和第二档最高用电电费，再判断出电费元的用电量属于哪一档，从而列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ 西西家该月该缴纳电费为：(元)； ∵ ∴西西家该月该缴纳电费为： 故答案为：88； （2）解：第一档最多缴费额为， 第二档最多缴费额为． 故该月西西家用电量应为第三档． 设该月西西家用电量为n度， 则依题意，， 解得． 答：若该月西西共缴纳电费元，则该月共用度电 考点6：三种思想 思想1：整体思想 【例题9】（2024七年级上·全国·专题练习）用整体思想解方程． 【答案】 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，利用换元的思想计算即可． 【详解】， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 【变式1】（23-24七年级·山西长治·阶段练习）在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题， （1）根据解一元一次方程的法则解答即可， （2）利用换元的思想解答即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）整体思考是一种重要的解决数学问题的策略．例如：已知当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值是多少？ 解：∵当时，代数式 的值为2024， 当时， 请认真阅读上面例题的解答过程，完成下面问题． (1)若，则______． (2)已知，求的值． (3)A，B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少时间相距10千米． 【答案】(1)3 (2)2 (3)2.5，3.5 【分析】此题考查了整式的加减以及方程的应用，熟练掌握整体代入思想是解题的关键． （1）原式前两项提取2变形后，把已知等式代入计算即可求出值； （2）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值； （3）设甲、乙两人出发x小时相距10千米，根据题意求出的值，分2种情况：相遇前和相遇后分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴原式； 故答案为：3； （2）∵，， ∴； （3）设甲、乙两人出发x小时相距1千米， 根据题意得：，即， ①， 解得： ； ②， 解得：， 答：甲、乙两人出发2.5或3.5小时相距10千米． 【变式3】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】 ①已知，则 ； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】已知且，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，代数式的求值，整体代入是解题的关键； （1）把看作一个整体，合并同类项，即可进行化简； （2）①把看作一个整体进行化简，再代入求值即可， ②先把看作一个整体，合并同类项，再整体代入计算即可； （3）将方程化为，再将，代入求值即可． 【详解】（1）解：设， 原式 ； 当时， 原式 （2）①∵， ∴ 故答案为：． ②∵， ∴ （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ 即 解得： 思想2：分类讨论思想 【例题10】（2024七年级上·全国·专题练习）解关于的方程：． 【答案】当时，方程有无数解；当时，方程无解；当时，或 【分析】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，分三种情况：当时，当时，当时，根据绝对值的意义，分别化简，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当时，，解得：； 当时，，此时； 当时，，解得：； 综上，当时，方程有无数解；当时，方程无解；当时，或． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）解绝对值方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的意义分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，先化简绝对值，然后分别求出结果即可． 【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； ∴原方程无解． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面的例题：解方程：． ①当时，原方程可化为一元一次方程，它的解是； ②当时，原方程可化为一元一次方程，它的解是． 故原方程的解是或． 依照以上例题，解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、解一元二次方程等知识，正确理解题意是解题关键．分和两种情况，将原方程可化为一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：， ①当时，原方程可化为一元一次方程， 它的解是； ②当时，原方程可化为一元一次方程， 它的解是． 综上所述，原方程的解是或． 【变式3】（24-25七年级上·北京朝阳·期中）已知a，b，c是整数，满足，，求m的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值的非负性及一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键；由题意可分①当时和当时，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由且a，b，c是整数，可分： ①当时，即，， ∵， ∴， 假设时，则有，即， ∴， ∴， 解得：或4（都不符合题意，舍去）； ②当时，则有， ∴， ∴或，， 当时，则有，化简得：， 又分当时，则，解得：， 当时，则，所以此种情况不成立； 当时，则有，化简得：， 由可得，解得：； 综上所述：或． 思想3：数形结合思想 【例题11】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为，16，（规定数轴上两点A、B之间的距离记为）．若点C在A，B两点之间，且满足，则点C对应的数是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，设点C对应的数是，表示出和，再结合列方程求解即可． 【详解】解：设点C对应的数是， ∵点A、B表示的数分别为，16，点C在A，B两点之间 ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴点C对应的数是， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为30，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 【答案】2或10 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，解绝对值方程，设运动时间为t秒，则点M表示的数为，点N表示的数为，根据数轴上两点距离计算公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为t秒，则点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点M、点N分别到原点O的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 故答案为：2或10． 【变式2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）点在数轴上分别表示有理数和两点之间的距离为，在数轴上两点之间的距离．例如点表示的数为，点到原点O的距离为；如图所示，点所表示的数为．点所表示的数为2．回答下列问题： (1)两点之间的距离______； (2)若动点分别从两点同时向左移动，点的速度分别为每秒2个单位长度和每秒4个单位长度，设移动时间为秒、秒后，点所表示的数为______，点所表示的数为______；（用含的代数式表示） (3)在运动过程中，试探究的值是否会随着的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)不会随着的改变而变化，的值恒等于6 【分析】（1）利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据数轴上点的移动：左移减，右移加，列出代数式即可； （3）分别求出，，计算出，即可得出结论． 【详解】（1）解：点所表示的数为，点所表示的数为2， 由题意可得， 故答案为：6； （2）解：由题意得点所表示的数，点所表示的数， 故答案为：，； （3）解：不会改变， 理由如下： 由（2）知所表示的数，点所表示的数， 点所表示的数为2， ，， ， 的值不随的变化而变化，为定值6． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，列代数式，整式的加减，一元一次方程的应用，数形结合，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·广西柳州·期中）点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为，在数轴上A 、B 两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为 ； (2)若x与2的距离为3，则x的值为 ； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为 ； (4)假设，，有一点P由原点O开始以每秒1的速度向右运动，请你求出运动时间t是多少秒时，（点P到点A的距离是点P到点B的距离的2 倍） 【答案】(1)3 (2)或5 (3)或0或1或2 (4)或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，有理数的加减运算，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据数轴上两点之间的距离公式列式求解即可； （2）分x在2左边和x在2右边两种情况讨论，然后分别列式求解即可； （3）首先得到表示x到2的距离加上x到的距离等于3，然后结合（1）得到x在和2之间，进而求解即可； （4）首先得到点P表示的数为t，然后表示出，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴和2之间的距离为3； （2）解：若x与2的距离为3， ∴当x在2左边时，； 当x在2右边时，； （3）解：表示x到2的距离加上x到的距离等于3 ∵由（1）可得，和2之间的距离为3 ∴当x在和2之间时， ∴满足条件的所有整数x为或0或1或2； （4）解：根据题意得，点P表示的数为t ∵，，有一点P由原点O开始以每秒1的速度向右运动， ∴， ∵ ∴ ∴或 解得或． 一、单选题 1．（2022·海南·中考真题）若代数式的值为6，则x等于（    ） A．5 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据代数式的值为6列方程计算即可． 【详解】∵代数式的值为6 ∴，解得 故选：A 【点睛】此题考查了解一元一次方程，根据题意列方程是解本题的关键． 2．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（   ） A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7 【答案】C 【分析】先移项再合并同类项即可得结果； 【详解】解：3x＝2x＋7 移项得，3x-2x=7； 合并同类项得，x＝7； 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键． 3．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】把代入再进行求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤． 4．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出数量关系是解题关键．设清酒x斗，则醑酒斗，根据题意正确列方程即可． 【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗， 由题意可得：， 故选：A． 5．（2024·四川宜宾·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（    ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程，解出即可． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 据题题意：， 解得：． 答：快马20天可以追上慢马． 故选：D． 二、填空题 6．（2021·湖南张家界·中考真题）已知方程，则 ． 【答案】 【分析】直接移项求解一元一次方程的解． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的解，解题的关键是：掌握解一元一次方程的一般步骤． 7．（2022·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据“每人出100钱，则会多出100钱”用x表示出买猪需要的钱；根据“每人出90钱，恰好合适”用x表示出买猪需要的钱；二者相等，即可列方程. 【详解】依题意：. 故答案为：100x-100=90x. 【点睛】本题考查一元一次方程得实际应用，找到等量关系是本题解题关键. 8．（2021·山东日照·中考真题）关于的方程（、为实数且），恰好是该方程的根，则的值为 ． 【答案】-2 【分析】根据方程的解的概念，将代入原方程，然后利用等式的性质求解． 【详解】解：由题意可得， 把代入原方程可得：， 等式左右两边同时除以，可得：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查方程的解的概念及等式的性质，理解方程的解的定义，掌握等式的基本性质是解题关键． 9．（2022·吉林长春·中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为 ． 【答案】8 【分析】设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可． 【详解】设店中共有x间房， 由题意得，， 解得， 所以，店中共有8间房， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 三、解答题 10．（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？ 【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元． 【分析】设学生人数为x人，然后根据题意可得，进而问题可求解． 【详解】解：设学生人数为x人，由题意得： ， 解得：， ∴该书的单价为（元）， 答：学生人数为7人，该书的单价为53元． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 11．（2023·四川自贡·中考真题）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量． 【答案】该客车的载客量为40人 【分析】设该客车的载客量为人，由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：设该客车的载客量为人， 由题意知，， 解得，， ∴该客车的载客量为40人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程． 12．（2022·湖南娄底·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为． (1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量； (2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？ 【答案】(1)一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg，40mg． (2)这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克． 【分析】（1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为mg，由一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为列方程，再解方程即可； （2）列式进行计算，再把单位化为kg即可． 【详解】（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为mg，则 解得： 答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg，40mg． （2）50000（mg）， 而2000000mg=2000g=2kg， 答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，有理数的乘法运算，设出合适的未知数，确定相等关系是解本题的关键． 一、单选题 1．（24-25七年级上·天津·期中）若是关于x的一元一次方程，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查元一次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，且， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列各数，是方程的解的是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，把各个选项中的数代入计算逐一判断即可． 【详解】解：A、把代入得左边，不符合题意； B、把代入得左边，不符合题意； C、把代入得左边，符合题意； D、把代入得左边，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。 【详解】解：①符合方程的定义，故本小题正确； ②不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③不是等式，故本小题错误； ④符合方程的定义，故本小题正确； ⑤不是等式，故本小题错误； ⑥不是等式，故本小题错误． ⑦符合方程的定义，故本小题正确； ⑧ 符合方程的定义，故本小题正确． 故选C． 4．（23-24七年级上·河北保定·期末）下列选项中，方程的解不同于其他三个方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是正确解出各选项方程的解． 各自对四个选项的方程进行求解，然后比较结果即可． 【详解】A、∵ ∴ ∴ B、∵ ∴ ∴． C、∵ ∴ ∴ D、∵ ∴． 由上述所解可知，选项方程的解不同于其它三个选项方程的解， 故选：D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）下列变形正确的是（   ） A．将方程去括号，得 B．将方程去括号、移项、合并同类项，得 C．将方程去括号，得 D．将方程去括号，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤依次计算可得答案． 【详解】解：A． 将方程去括号，得，原式变形错误，不符合题意； B． 将方程去括号、移项、合并同类项，得，原式变形正确，符合题意； C． 将方程去括号，得，原式变形错误，不符合题意； D． 将方程去括号，得，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）多项式是四次二项式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的项数和次数，解一元一次方程，绝对值方程等知识点，熟练掌握多项式的次数和项数确定方法是解题的关键． 利用多项式的次数和项数确定方法即可得出一元一次方程及绝对值方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：多项式是四次二项式， ， 解得：， 故选：． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列等式变形正确的是（  ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． 根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．如果，那么，故选项错误； B．如果，那么，故选项正确； C．如果，那么或，故选项错误； D．如果，且，那么，故选项错误． 故选：B． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解能够使方程两边左右相等是解题关键．将分别代入方程计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期中）“3·5”学雷锋日“献上一杯姜茶”活动中，小明为环卫工刘爷爷献上热茶并帮助刘爷爷打扫卫生，小明了解到，再过5年，刘爷爷的年纪正好是自己的4倍，小明今年13岁，设刘爷爷今年x岁，则可列方程为：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设刘爷爷今年x岁，根据再过5年，刘爷爷的年纪正好是自己的4倍列方程即可． 【详解】解：设刘爷爷今年x岁， 根据题意得，． 故选：A． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率，则该商品应打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程是解答关键． 设该商品打折销售，利用，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该商品打折销售， 根据题意得：， 解得：， ∴该商品打8折销售． 故选：C． 二、填空题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各变形中： ①由，可得到后； ②由，可得到； ③由，可得到； ④由，可得到．其中一定正确的有 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】由，只有当时，等式的两边才能同时除以a得出，故①错误； 由的两边都减去3，得出，故②正确； 的两边都乘a得，故③正确； 由可得，故④错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③ 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）列等式表示“x的3倍与5的和等于x的4倍与2的差”为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，x的3倍与5的和可表示为，x的4倍与2的差可表示为，据此建立方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【答案】4 【分析】首先去绝对值符号得到，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：、、、，然后用含的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，或，求出或，再根据绝对值的非负性可得． 【详解】解：， ， 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 或或或， 方程有三个解， 或， 或4， ， ． 故本题答案为：4． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程． 14．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的概念， 只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此可得出关于m的方程，继而可求出m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，， 解得：． 故答案为：1． 15．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是关于的方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和代数式求值，熟练掌握解一元一次方程是解决问题的关键． 先根据一元一次方程的解求出与的关系，再代入求解即可； 【详解】解： 是关于的方程的解， 即， ， ， 故答案为： 16．（2024七年级上·全国·专题练习）若单项式与的和仍是单项式，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，合并同类项，解一元一次方程，根据题意可得单项式与是同类项，则由同类项的定义可得，可得，则原方程为，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴原方程即为， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）甲以的速度出门散步，后，乙沿着甲所走的路线以的速度追赶，则当乙追上甲时，乙走了 h． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设乙追上甲时，乙走了 x小时，根据相等关系即可列方程求解． 【详解】解：设乙追上甲时，乙走了 x小时，根据题意得， 解得，， 所以，乙追上甲时，乙走了小时， 故答案为：． 18．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ ③④⑤ ③④⑤ 【分析】根据等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含有未知数，②是等式进行判断即可． 【详解】解：由题意可得，含有未知数的等式是方程， ①是等式； ②是多项式，既不是等式也不是方程； ③既是等式也是方程； ④既是等式也是方程； ⑤既是等式也是方程， 故答案为：①③④⑤；③④⑤；③④⑤． 【点睛】本题考查等式和方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 三、解答题 19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握基本方法是解题关键． （1）先移项，然后合并同类项，系数化为1，即可解题； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）先去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可得出方程的解． （2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可得出方程的解． 【详解】（1）解： 去括号： 移项：， 合并同类项得：， 化系数为1： （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得： 化系数为1： 21．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （2）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （3）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解：， ， （2） （3） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 22．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的方程的解，满足关系式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再代入关系式求出，进而把的值代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入方程中得， ， 解得， 将代入关系式中得，， ， 解得， ． 23．（24-25七年级上·全国·阶段练习）已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求a的值； (2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程，有理数的乘方运算： （1）先求出方程的解，再把解代入方程中，进行求解即可； （2）易得互为相反数，，然后根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 把代入，得：， 解得：； （2）∵a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴， ∵c是最大的负整数， ∴， ∴． 24．（24-25七年级上·广西贺州·期中）若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的“后移方程”． (1)方程________（填“是”或“不是”）方程的“后移方程”，并说明理由？ (2)若关于x的方程是方程的“后移方程”，试求m的值． 【答案】(1)是，理由见解析； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义： （1）分别解两个方程求出对应方程的解，再根据“后移方程”的定义判断即可； （2）先解方程得到，则根据“后移方程”的定义得到方程的解为，把代入方程中求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：方程是方程的“后移方程”，理由如下： 解方程得，解方程得， ∵， ∴方程是方程的“后移方程”； （2）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得， ∵关于x的方程是方程的“后移方程”， ∴关于x的方程的解为， ∴， 解得． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【答案】九（1）班获胜7场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设九（1）班获胜x场，则平场，根据九（1）班开局11场共积25分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设九（1）班获胜x场，则平场， 根据题意得：， 解得：． 答：九（1）班获胜7场． 26．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 【答案】(1)6 (2)①1秒；②的值为或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上点的位置结合数轴上两点距离计算公式可得长方形的长和宽，再根据长方形面积计算公式求出面积即可； （2）①从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，据此计算重叠面积不变的时长即可；②分当点在之间，当点在之间，两种情况根据重叠部分为长方形结合长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的长为，宽为， ∴一个长方形的面积为， 故答案为：6； （2）解：①∵左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动， ∴从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，为； ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为4， ∴，， （秒），（秒），（秒）， ∴在移动的过程中，两个长方形重叠部分面积保持不变的时间为1秒．             ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，分两种情况： 当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得．             当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得． ∴当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，的值为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$