精品解析：四川省泸州高级中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

泸州高级中学校2024-2025学年上期九年级半期测试题 数 学 注意事项： 1．全卷共三个大题，25个小题；满分120分，考试时间为120分钟； 2．答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、班级、姓名、考号； 3．考生作答时，必须将答案写在答题卡上相应的位置，在本试卷和草稿纸上答题无效，考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程有实数根，若为非正整数，则等于（ ） A. B. 0 C. 0或4 D. -1 4. 将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（　　） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 5. 若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 若点关于原点对称的点位于第一象限，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为( ) A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 8. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知在正方形内有一点P，连接、、，将顺时针旋转得到，连接，点P恰好在线段上，， ，则的长度为（　　） A. 2 B. C. 2 D. 12. 已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的值可以为（ ） A. B. C. ﹣1 D. 1 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 因式分解：______． 14. 若一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____________． 15. 关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 16. 如图：已知二次函数过，对称轴为直线．并且二次函数与x轴的一个交点位于0和1之间；①；②；③的最大值为3；④对于任意实数t，一定有．上述结论正确的是________（填序号） 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 如图所示，已知中，D为上一点，E为外部一点，交于一点O，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 学校为了解全校学生参加社会实践活动情况，随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间（单位：天），并用得到的数据绘制了统计图（1）和图 （2）. 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1） 本次随机调查的学生人数是_______，图（1）中m的值是_______； （2）求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数； （3）该校有480名学生，根据获取的社会实践活动时间样本数据，估计该校一学期社会实践活动时间大于10 天的学生人数． 22. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 23. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n． ∴，， 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则______； ______． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m，n，求的值． 24. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．现批发商为提高利润，准备在每箱50元的基础上提价销售． （1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和．请你求出四边形面积最大时，点E的坐标； （3）若点M是x轴上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州高级中学校2024-2025学年上期九年级半期测试题 数 学 注意事项： 1．全卷共三个大题，25个小题；满分120分，考试时间为120分钟； 2．答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、班级、姓名、考号； 3．考生作答时，必须将答案写在答题卡上相应的位置，在本试卷和草稿纸上答题无效，考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】配方时“配一次项系数一半的平方”，由此判断即可． 【详解】解：方程配方得：， 即：， 故选：C． 【点睛】本题考查配方法，掌握配方法所需要配的数字的构成是解题关键． 3. 已知关于的一元二次方程有实数根，若为非正整数，则等于（ ） A. B. 0 C. 0或4 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且△=（-2）2-4×m×（-1）≥0，然后求出两不等式的公共部分后找出非正整数即可． 【详解】解：根据题意得m≠0且△=（-2）2-4×m×（-1）≥0， 解得m≥-1且m≠0， ∵m为非正整数， ∴m=-1． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4. 将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（　　） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出答案． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位得到抛物线， 故选：D． 5. 若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式可得函数图象开口向上，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，然后结合题意求解即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，， ∴函数图象开口向上，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， 又∵在时，y随x的增大而减小， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，根据函数解析式判断出函数的增减性是解题的关键． 6. 若点关于原点对称的点位于第一象限，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反． 根据若点关于原点对称的点位于第一象限，判断出点在第三象限，然后解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点是第一象限的点， ∴在第三象限， ， 解得：， 故选：A． 7. 关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为( ) A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】根据一元二次方程的定义可知m-2≠0，再根据常数项为0，即可得到m2-2m=0，列出方程组求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2+5x+m2−2m=0的常数项为0， ∴ ， 解m−2≠0得m≠2； 解m2−2m=0得m=0或2． ∴m=0． 故选：D． 8. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，时为一元一次方程，满足条件；时，令，求出k的取值范围．综合两种情况，即可得出结论． 【详解】解：当时， 关于x的方程为一元一次方程，有实数根； 当时， 关于x的方程为一元二次方程， ∵有实数根， ∴， ∴且； 综上，k的取值范围是． 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，注意分和两种情况讨论是解题的关键． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转可得，，再证明是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：， ． 将绕点顺时针旋转角至， ，， 是等腰三角形，且， 是等边三角形， ． 故选：D． 10. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 11. 如图，已知在正方形内有一点P，连接、、，将顺时针旋转得到，连接，点P恰好在线段上，， ，则的长度为（　　） A. 2 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，根据旋转得到，，，结合勾股定理求出，求出结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 12. 已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的值可以为（ ） A. B. C. ﹣1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得a的取值范围，从而可以求得a可能的值． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3， ∴该函数图象开口向下，当x＝1时，y取得最大值4， ∵当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1， 当x＝2时，y＝3，当x＝0时，y＝3， ∴当0≤a＜1时，函数y的最大值与最小值的差为1， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】 14. 若一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系解题：一元二次方程有实数根，即，据此解题． 【详解】根据题意得， 即 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15. 关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可． 【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=， ∵x12+x22=， ∴（x1+x2）2-2x1x2=， ∴4m2-m=， ∴m1=-，m2=， ∵Δ=16m2-8m＞0， ∴m＞或m＜0时， ∴m=不合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 16. 如图：已知二次函数过，对称轴为直线．并且二次函数与x轴的一个交点位于0和1之间；①；②；③的最大值为3；④对于任意实数t，一定有．上述结论正确的是________（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由函数图像可得：当时，，可判定①；由对称轴为直线可得，再根据二次函数过，可得，从而得到当时，，进而得到，即可判定②；再由，可得，然后根据，可判定③；根据当x=2时，二次函数的函数值最大，可得，即可判定④． 【详解】解：由函数图像可得：当时，，即，故①正确； ∵对称轴为直线 ∴，即， ∵二次函数过， ∴， ∴，即， ∴二次函数的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，即，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 根据题意得：当时，二次函数的函数值最大， ∴， ∴， 即对于任意实数t，一定有，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质以及数形结合思想是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及绝对值、负指数的运算，根据，及根式的运算法则直接计算即可得到答案； 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 ， ， 则或， 解得：，． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 20. 如图所示，已知中，D为上一点，E为外部一点，交于一点O，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， （2） 【解析】 【分析】（1）已知两对应边相等，利用公共角得对应角相等，进而用边角边证三角形相等； （2）已证得，并利用三角形的外角性质，证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是三角形的外角 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，牢固掌握其判定条件及性质应用是解题的关键． 21. 学校为了解全校学生参加社会实践活动情况，随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间（单位：天），并用得到的数据绘制了统计图（1）和图 （2）. 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1） 本次随机调查的学生人数是_______，图（1）中m的值是_______； （2）求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数； （3）该校有480名学生，根据获取的社会实践活动时间样本数据，估计该校一学期社会实践活动时间大于10 天的学生人数． 【答案】（1）40，20；（2）众数为10，平均数为11，中位数为11；（3）288. 【解析】 【分析】（1）利用参加社会实践活动9天的人数除以它所占百分比可得调查总人数；利用100%减去各部分所占百分比即可求出m的值； （2）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得这组样本数据的众数为10；把数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，从而可得中位数为11；求出数据的总和再除以40即可得到平均数； （3）利用样本估计总体的方法可得该区480名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于10天的人数比例约为60%，然后可得答案． 【详解】解：（1）本次随机调查的学生人数=， 活动为12天占比为100%-25%-30%-10%-15%=20%， ∴图（1）中m的值是20； （2）观察条形统计图， ∵ 在这组数据中，10出现了12次，出现的次数最多， ∴ 这组数据的众数为10． ∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是11，有 ， ∴ 这组数据的中位数为11． ∵ ， ∴ 这组数据的平均数是11． （3）∵ 在统计的这组学生参加社会实践活动时间的样本数据中，社会实践活动时间大于10天的学生人数占 ， ∴ 估计该校480名学生中，参加社会实践活动时间大于10天的学生人数约占，有 ． ∴ 参加社会实践活动时间大于10天的学生人数约为288． 【点睛】此题主要考查了扇形统计图和条形统计图，以及众数、中位数、加权平均数的计算，关键是正确从统计图中获取正确信息． 22. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）30海里 （2） 有触礁的危险，理由如下： 过C作交AB的延长线于点D， ，， ， ∵， 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【解析】 【分析】（1）先根据已知方向角推出，再根据等角对等边可得； （2）过C作交AB的延长线于点D，求出的长，与16海里比较，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由已知条件可得：，，， ， ， ， B处到灯塔C的距离为30海里； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出是解题的关键． 23. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n． ∴，， 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则______； ______． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m，n，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根与系数的关系求解作答即可； （2）由题意知，，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴，， ∴， ∴的值为． 24. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．现批发商为提高利润，准备在每箱50元的基础上提价销售． （1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1050元的最大利润 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是： （1）根据平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱即可列出关系式； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润与销售价之间的函数关系式； （3）依据函数的增减性求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 化简得：； 【小问2详解】 由题意得： ； 【小问3详解】 ， 抛物线开口向下． 当时，有最大值． 又，随的增大而增大． 当元时，的最大值为1050元． 当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1050元的最大利润． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和．请你求出四边形面积最大时，点E的坐标； （3）若点M是x轴上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）连接，过点E作轴交于点F，求出直线的解析式为，设，则，得出，求出，得出，根据二次函数的最值得出当时，四边形面积最大，最大值为； （3）先求出抛物线的解析式为直线，设，，分三种情况进行讨论：①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时，分别求出点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 将A、C点坐标代入， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：连接，过点E作轴交于点F，如图所示： 当时，， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时，四边形面积最大，最大值为， 此时； 【小问3详解】 解：存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴抛物线的解析式为直线， 设，， ①当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴； ③当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴； 综上所述：M点点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，中点坐标公式，求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $