专题07 指数与指数函数（易错培优竞赛精练）-2024-2025学年高一数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高一指数与指数函数易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校指数与指数函数易错题精选 题组二：名校指数与指数函数培优压轴试题精选 题组三：名校指数与指数函数新定义试题精选 题组四：指数与指数函数全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校指数与指数函数易错题精选 1．已知函数，，则（    ） A．12 B． C． D．17 【答案】C 【分析】依据题意构造奇函数，利用奇函数的性质结合指数运算求解即可. 【详解】令， 的定义域为，关于原点对称， 所以，故， ， 所以是奇函数，而，， 解得，所以， 故，故C正确. 故选：C 2．已知实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，变形利用基本不等式建立关系求解即得. 【详解】实数，有， 则， 整理得，解得，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 故选：D 3．定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性得到，，从而得到，换元得到在上的最小值为，根据对称轴，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】①，故， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 故，所以②， 式子①和②联立得，， ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的最小值为， 由于的对称轴为， 故当时，在上单调递增， 故，解得，不合要求，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，负值舍去； 故选：C 4．设函数，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的定义可知为偶函数，再判断出在上单调递增，由结合的单调性，即可得出答案. 【详解】因为的定义域为， 所以， 所以为偶函数，所以 当时，，因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 故选：D. 5．已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将问题转化为分段函数的单调性问题，然后根据各段函数的单调性以及分段点处函数值大小关系得到的不等关系，再由题意可分析出的取值范围. 【详解】对于上任意不相同的，都有， 即对于上任意不相同的，都有， 所以是上的增函数，且， 所以，所以， 故由题意可知，存在使得， 所以，且最小值无限逼近， 所以， 故选：A. 6．已知，为正实数，，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可利用指数函数单调性分别讨论：，，情况，从而求出，再结合基本不等式“1”的应用可得，即可由基本不等式求解． 【详解】由题意可得，又因为， 当时，可得，即； 当时，显然成立； 当时，可得，即； 综上可得：，即， 因为，为正数， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用指数函数的单调性得. 7．若函数满足对任意不相等的两个实数，都有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题设易得函数在上单调递增，进而由分段函数单调性的性，结合指数函数与一次函数单调性求解即可. 【详解】因为对任意不相等的两个实数，都有， 所以函数在上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 8．（多选题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A：根据可完成计算，注意正负； B：根据可完成计算； C：根据可完成计算； D：先计算出的值，再根据可完成计算. 【详解】A：因为，所以， 显然，所以，故正确； B：因为，故正确； C：因为，故正确； D：因为，所以，所以，所以，故错误； 故选：ABC. 9．（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的值域是 D．的值域是 【答案】ACD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用反函数法可判断C选项；分、两种情况分析，结合“高斯函数”的定义可求出函数的值域，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，且， 所以，，所以，函数为奇函数，A对； 对于B选项，因为，， 所以，，，则， 所以，函数不是偶函数，B错； 对于C选项，设，可得，即，解得， 所以，函数的值域是，C对； 对于D选项，当时，， 当时，， 所以，函数的值域为，D对. 故选：ABD. 10．（多选题）下列命题中正确的是（   ） A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B．函数在上的值域为 C．若关于的方程的两根分别为，，且，则有 D．函数，则不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】A选项，利用复合函数的单调性求的取值范围；B选项，利用函数定义域结合解析式求值域；C选项，解含绝对值的方程；D选项，构造函数，利用为奇函数，且在上单调递增，解不等式. 【详解】对于A，函数在区间上是增函数， 由函数是R 上的减函数，有函数在上单调递减， 时符合题意，A选项错误； 对于B，， 时，，有，得， 所以函数在上的值域为，B选项正确； 对于C，若关于的方程的两根分别为，，且， 则有，，所以，C选项正确； 对于D，设，， ， ，即， 设， ， 由于，故，，故， 则，故为奇函数，且在上单调递增， 则， 即， 故，解得，D选项正确. 故选：BCD. 11．（多选题）函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．方程有3个实数根 【答案】BCD 【分析】利用指数函数的图象性质可求出参数，再由函数的奇偶性和单调性来分析求解，不等式的证明可利用作差法思想及均值不等式思想来判断. 【详解】由函数的图象过原点，可知：， 由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，可知：， 所以有，故A错误； 由函数，可知， 所以是偶函数， 当时，由指数函数的性质可知是增函数， 所以有，故B正确； 当时，有， ， 由于，所以上式等号不成立， 即有，故C正确； 由方程可得：或， 而当时，由指数函数的性质可知是增函数， 所以， 则根据是偶函数，可知在上只有唯一解， 当时，由得：， 再根据是偶函数，可知有两个解. 所以方程有3个实数根，故D正确； 故选：BCD. 12．（多选题）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】利用函数的奇偶性定义可判定A，利用对勾函数与指数函数的定义、性质结合复合函数的性质计算即可判定B，C，D. 【详解】因为，所以， 所以不是奇函数，则A错误. 由题意可得的定义域是，则B正确. 因为在R上单调递增，而函数在和上单调递增， 在上单调递减， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又当时，，所以； 当时，，所以. 则的值域是，则C、D正确. 故选：BCD 13．对于正整数和非零实数，若，则的值为 . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算，由已知可得，可得，结合已知可求的值. 【详解】.同理可得， 所以，又， 所以，又为正整数，且均不为1， 又因为，所以. 故答案为：. 14．若实数、、满足，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由基本不等式求得，化简即可求解. 【详解】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 15．定义区间，其中，则满足的m的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，依次求出，即可求出m的最大值. 【详解】依题意，，，则， ，而，，则， ，由，得，因此， ，而，于是， 即，，所以. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用根式的性质比较大小. 16．若， ，，则 ． 【答案】 【分析】由指数运算法则可得证. 【详解】， ， ， 所以，原式， 故答案为： 17．设（），记函数在区间（）上的最大值为，若对任意，都有，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据在内单调递增，分析可知或，整理得关于的不等式或，的解集为，即可根据求解． 【详解】因为，则，在内单调递增， 则在内单调递增， 又因为在区间上的最大值为， 可得或， 由题意可知：或， 则或， 整理得或， 即关于的不等式或的解集为， 可知， 整理得，则， 故， 故答案为：． 18．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数得对任意恒成立，构造函数令，，，根据函数的单调性和最小值，即可得出答案． 【详解】对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，， 令，由于函数均在单调递增， 在上单调递增， ，， 故实数的取值范围为 故答案为： 19．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)为上的增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇函数的性质与定义求参数即可得结论； （2）利用单调性的定义，取值，作差，变形，定号，从而可证得函数单调性； （3）根据函数的奇偶性与单调性得不等式为，再利用不等式的恒成立、能成立求解最值即可得结论. 【详解】（1）∵为上的奇函数． ∴，∴，∴ 检验：此时为奇函数，满足条件； （2）为上的增函数， 证明：，且， ， ∵，∴，∴， ∴，即，∴为上的增函数． （3）∵，∴， ∵在上的奇函数，∴， ∵为上的增函数，∴， ∵对恒成立，∴， ∵在上单调递增，∴， ，使不等式成立，∴， ∵在上单增，在上单减， ∴，∴，∴， 另解：，使不等式成立， ∴， ∵，∴在上单减，在上单增 ∴ ∴即  ∴对恒成立 ∴， ∵在上单增，∴， ∴，∴． 20．定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】(1)为“1距”增函数. (2). (3) 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“1距”增函数. （2）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （3）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围. 【详解】（1）因为，故， 故为“1距”增函数. （2）由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. （3）因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 故. 21．已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)解关于的方程； (3)若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可. （2）换元解方程，再解指数方程即可. （3）探讨函数的单调性，结合已知构造方程，再利用一元二次方程实根分布求出范围. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）令，则方程化为，即， 解得或，由（1）知， 当时，，即，解得，； 当时，，即，无解， 所以原方程的解为. （3）由（1）知，函数在R上单调递增，则函数在R上单调递增， 函数在上单调递增，依题意，，即， 令，因此是方程，即的两个不等的正根， 于是，解得， 所以的取值范围是. 22．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若函数在上的最小值为11，求实数的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据奇函数这一性质求解即可； （2）求出，令，令，根据二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义域为上的奇函数，所以 经检验当时，， 所以恒成立，满足是奇函数， 所以； （2）因为， 所以， 令，则， 令，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，， 解得. 当，即时，， 解得，无解. 综上所述，当时，在上的最小值为11. 23．已知函数 是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断并用定义证明在定义域上的单调性； (3)若，不等式 成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）由是上的奇函数，则，解得，检验可得所求值； （2）在上单调递减．运用函数的单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤； （3）由函数的奇偶性和单调性，可得，成立，即可分离参数求解最值得解. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，解得， 时，，满足是上奇函数； 故 （2），则在上单调递减． 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； （3）因为是上奇函数， 所以等价于， 因为为上单调递减； 则，对成立，即成立， 故，故 题组二：名校指数与指数函数培优压轴试题精选 1．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义，分别求出满足条件，， ，，的的范围，研究它们的交集即可确定的最大值. 【详解】，，，， 当时，，， 因为，所以，即 当时，，，， 因为，所以， 当时，，，，， 因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，， ，，同时成立， 正整数的最大值为4， 故选：A． 2．已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得有两个不相等的正实数根，结合判别式和韦达定理可得结果. 【详解】∵在上为增函数，在上为减函数， ∴在为增函数， ∴函数在区间上的值域为， ∴，整理得， ∴为方程的两根，即有两个不相等的正实数根， ∴，解得且， ∴实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下： （1）分析函数的单调性，可得在为增函数，函数在区间上的值域为. （2）根据值域的对应关系可得为方程的两根，即一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数的取值范围. 3．已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从作为题目切入点，分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案. 【详解】解得，此时无论取何值，均符合题意； 当时，，只需， 解得或； 当时，，由题中条件，只需对于恒成立， 当时，不符合题意； 当时，图象为开口向上的抛物线， 不能满足对恒成立，不符合题意； 当时，的2个根为， 需，结合，可得， 综合上述可知的取值范围是， 故选：B. 【点睛】将作为题目的切入点，根据命题的真假分类讨论的范围分类讨论求解； 4．已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由得函数为奇函数，且在单调递增，不妨设，设点，则的直线方程为，故，两式相加得，再由函数的奇偶性得即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，且在单调递增，如图所示， 因为， 所以不妨设， 设点， 则的直线方程为， 如图，因为， 所以两式相加得， 又因为， 所以， 所以， 即. 故选：C. 5．已知函数满足，设，若，当则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，结合赋值方法把变换成，再借助已知及不等式性质判断AB；由，利用不等式性质推得，再利用指数运算及指数函数性质推理判断CD. 【详解】 ， 因此，，A正确； 而，B错误； 由，得， 则， 由于，D错误； 因为，单调递减， 又， 因此当时，，当时，，C错误. 故选：A 【点睛】方法点睛：比较大小的方法包括商比较法.商比较法是将两个数相除，比较商的大小，从而判断两个数的大小关系.这种方法适用于两个数都是正数的情况.如果商大于1，那么被除数大于除数；如果商等于1，那么被除数等于除数；如果商小于1，那么被除数小于除数. 6．（多选题）已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】作出函数图象，结合图象可得，，的范围，再由，，即可求得和的范围. 【详解】作出函数的图象： 由图象可知，，，，由得不出，则正确，错误； 因为，所以，所以，则， 因为，所以在上单调递增，所以，则正确； 因为，所以，所以 函数在上单调递增，所以，则正确； 故选：. 【点睛】作出的图象，将图象位于轴下方的部分翻折到轴上方的部分，其余不变，即可得到的图象. 7．（多选题）已知函数，则下列结论 ①函数在R上为增函数；②函数过定点； ③函数为偶函数；④当时，函数的最小值是0． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】判断函数的单调性可判断①；利用指数函数所过的定点代入即可判断②；利用奇偶性的定义即可判断③；判断函数的单调性即可判断④. 【详解】对于A，当时，函数单调递增，函数单调递减，所以在R上为增函数， 当时，函数单调递减，函数单调递增，所以在R上为减函数， 错误； 对于②，当时，，即函数过定点，正确； 对于③，由函数可得：，解得：， 故函数的定义域是，关于原点对称， 因为， ， 所以 ，即原函数为偶函数，正确； 对于④，当时， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以当时，取得最小值0，正确. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：在判断函数奇偶性的时候要注意先判断函数定义域是否关于原点对称. 8．（多选题）若实数满足，则下列选项正确的是（　　） A．且 B．的最小值为9 C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以且，即，故A正确； 对于B， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9，故B正确； 对于C，因为， 可得，即，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，因为，则， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 9．（多选题）已知函数， 则（    ） A．不关于原点对称 B． C．在上单调递减 D．的解集为 【答案】AC 【分析】先求出函数定义域检验选项A；代入求出检验选项B；结合复合函数单调性检验选项C；结合函数单调性解不等式检验选项D． 【详解】由，得，即定义域为，不关于原点对称，故A正确； 因为 ， ， 所以，B错误； 当时，， 函数 在区间 上单调递增，函数 在区间上单调递增， 则 在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 在区间上单调递减， 在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，故C正确． 对于D，由B知图象关于对称， 所以在区间上单调递减，所以在区间和上单调递减． 又时，， 所以， 时，． ①当，即时，由得，解得，即； ②当时，不等式组无解，不合题意； ③当，即时，，，不合题意； ④当，即时，，，符合题意． 综上所述，的解集为,,，D错误． 故选：AC． 【点睛】函数图象常见对称性：（1）若，则的图象关于对称；（2）若，则的图象关于对称. 10．（多选题）若实数x，y满足，，，则（    ） A．且 B．m的最大值为 C．n的最小值为7 D． 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断BC，根据指数幂的运算判断D； 【详解】对于A：因为，若，则，又，显然不成立，即， 同理可得，所以，即且，故A正确； 对于B：，即，所以， 当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确； 对于C： ， 当且仅当，即，时取等号，故C错误； 对于D：， 因为，所以，即，即， 即，因为，所以，即，故D正确； 故选：ABD. 11．（多选题）已知函数，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点中心对称 【答案】BD 【分析】对A，由的范围得到的范围，进而求出函数的值域；对B，通过运算即可得到答案；对C，根据函数奇偶性的定义即可判断；对D，结合C中的推理即可判断答案. 【详解】对A，因为,则，， 所以.A错误； 对B， .B正确； 对C，记， ，则函数为奇函数.C错误； 对D，由C可知，为奇函数，则的图象关于点对称，所以的图象关于点中心对称.D正确. 故选：BD. 12．（多选题）已知函数是奇函数，下列选项正确的是（    ） A． B．，且，恒有 C．函数在上的值域为 D．若，恒有的一个充分不必要条件是 【答案】AD 【分析】对A：根据奇函数定义运算求解；对B：根据函数单调性的定义与性质分析运算；对C：根据单调性求值域；对D：根据单调性整理可得：，恒成立，结合一元二次不等式的恒成立问题分析运算. 【详解】对于A：∵函数是奇函数，其定义域为， 则， 解得，故A正确； 对于B：由选项A可得：， 对，且， 则，可得，故， 可得，则， 即，故在上单调递增， ∴，且，恒有，故B错误； 对于C：∵，，且在定义域内单调递增， ∴函数在上的值域为，故C错误； 对于D：∵，恒有，且在上单调递增，∴，恒成立， 即，恒成立， 当时，则不恒成立，不合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. ∵， ∴，恒有的一个充分不必要条件是，故D正确； 故选：AD． 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 13．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点成中心对称，则 . 【答案】 【分析】由题设定义有，进而得到恒成立，求参数值，即可得答案. 【详解】由题意为奇函数， 所以，则， 所以， 所以恒成立， 故或，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据定义得到恒成立为关键. 14．已知函数的图象是一个中心对称图形，它的对称中心为 ；函数的图象与函数图象的交点分别为，，，…，（为正整数），则 . 【答案】 18 【分析】证明函数为奇函数，由此确定函数的对称中心，证明与的对称中心重合，结合对称性及加法的运算律求值. 【详解】因为，所以， 设，则函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，即函数的图象关于原点对称，所以函数的图象关于对称， 因为，所以， 所以， 所以函数为奇函数，故函数的图象关于对称， 且的定义域为， 且在上均单调递减，且 ， ，且单调递增， 所以函数的图象与函数图象的交点共有四个交点，且关于点两两对称， 所以，， . 古答案为：；18. 【点睛】本题解决的关键在于通过证明，为奇函数，确定其对称性，结合对称性求解问题. 15．若实数满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】由题意结合均值不等式和指数的运算法则利用换元法首先求得的范围，据此即可确定c的最大值. 【详解】由题意可得：， 由基本不等式可得：，即：， 据此可得：， 结合可得：， 则，由于，故， 即，据此可得的最大值为. 【点睛】本题主要考查均值不等式求最值的方法，换元法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16．已知函数，当时恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】通过分析的零点及在零点两侧函数值的正负，得出在时的零点及在零点两侧函数值的正负，因为，研究二次函数的零点分布情况即可求解. 【详解】设，，则，且在单调递增， 当时，；当时，； 因为当时恒成立，所以有一个零点为1，且当时，；当时，，所以. 令，因为，所以有一个零点，且当时，；当时，， 所以，且，所以. 故答案为： 17．已知函数，则满足的实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，则，研究出的单调性和奇偶性，得到不等式，求出答案. 【详解】令，则， ， 定义域为R， 且， 故为偶函数， 又时，，故单调递增， 故，两边平方，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：令，则，进而研究的单调性和奇偶性，从而得到不等式解集. 18．函数，，.若时，函数为偶函数，试写出满足条件的b的一个值为 ；若当时，对，，，则a的取值范围为 . 【答案】 1（答案不唯一） 【分析】利用偶函数的定义可写出的值，由题意得，，结合函数单调性求最值及绝对值不等式即可求解. 【详解】若时，为偶函数，则， 即， 所以或0， 对，，， 所以， 因为时，在上单调递增，所以， 所以，又， 当时，在上单调递增， 所以，即，解得， 当时，在上单调递减， 所以，所以，解得， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，无解， 所以a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立、存在性问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，有成立，则； （2）若，有成立，则； （3）若，有成立，则. 19．已知函数的图象在区间内的最高点对应的坐标为，则集合中元素的个数为 ． 【答案】10 【分析】作出函数的图象可得答案. 【详解】作出函数在区间上的图象， 如图，根据函数的单调性，此时． 又当时，，所以当时，， 部分函数图象如图，由图象可得，，，…，， ，，，…，，即，即， 解得，即2，3，4，…，10，11， 故集合中的元素个数为． 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象是解题的关键点. 20．给定区间，若对任意的，恒有函数或恒有函数，则称为上的“函数”． (1)判断是否为区间上的“函数”； (2)若是区间上的“函数”，求的取值范围； (3)若的定义域为，且在上单调递减，且图象是连续不断的曲线，求证：存在区间，使得是区间上的“函数”． 【答案】(1)不是 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求函数在区间的值域，根据区间与值域的关系判断可得； （2）利用换元法将复合函数的值域转化为二次函数的值域，再根据定义得到包含关系或交集为空集，由此建立不等式求解的范围； （3）根据与的大小分类讨论，分别找出满足定义条件的区间即可. 【详解】（1）给定区间， 若对任意的，恒有函数，即； 若对任意的，恒有函数，即. 函数，. 则在上单调递减. 又，， 则在的值域为. 由， 可知对任意的，不恒成立； 又， 可知对任意的，也不恒成立. 所以不是区间上的“函数”. （2）令，由，则， 则， 则函数在上单调递增， 又， 即在上的值域为. 因为是区间上的“函数”， 所以，或， 若，则，解得； 若，则，或，解得或. 综上所述，的取值范围为. （3）由在上单调递减， 设任意，，则， 所以，即， 故在上也单调递减. 设任意区间，，由. 则. ①若，则, 故是区间上的“函数”； ②若， 则存在，使，且， 由函数图象连续不断，且单调递减， 则存在，使， 又，则，又， 所以当时，， 则， 故是区间上的“函数”； ③若， 则， 故是区间上的“函数”； ④若， 则存在，使，且， 由函数图象连续不断，且单调递减， 则存在，使， 又，则，又， 所以当时，， 则， 故是区间上的“函数”； ⑤若，则, 故是区间上的“函数”. 综上所述，存在区间，使得是区间上的“函数”． 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于两点，一是理解定义条件，转化为给定区间与函数值域的关系；二是分类讨论思想的应用，根据值域端点与给定区间端点的大小产生分类讨论，并寻找符合定义的恰当区间. 21．已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的值，并用定义证明的单调性； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质求得解析式，然后根据单调性的定义证明单调性； （2）利用奇偶性与单调性转化问题为在上有解，分离参数为，有解，再转化为求，的最大值； （3）问题转化为，分类讨论解不等式即可． 【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 即，解得，所以， 即，则，符合题意， 令，则=, 因为所以，则，因为，所以, 所以在R上单调递增. （2）因为在定义域上单调递增，又是定义在R上的奇函数， 所以在有解， 等价于在上有解， 即在上有解，即，有解， 令，，所以在[2，3]上单调递减， 所以，所以. （3）若对任意的时，不等式恒成立， 则有恒成立， 当时，，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 当时，有，化简得，解得或， 综上得的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用单调性与奇偶性解不等式，如是奇函数，且是增函数，不等式，先化为，由奇函数性质余维数，再由增函数性质化为，然后再求解．如果是偶函数，则不等式化为，然后由函数在上单调性变形可得，其它形式不等式类似变形． 22．已知函数. (1)若，求在区间上的值域； (2)若方程有实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. （2）由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. （3）由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，. 【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 23．已知函数，函数. (1)判断并证明函数在的单调性； (2)若命题：“”为真命题，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使函数在上的最大值为1？如果存在，求出实数所有的值，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 (2)实数的取值范围为. (3)存在或，使函数在上的最大值为1. 【分析】（1）先判断，再根据单调性定义法的步骤去计算证明即可； （2）先求出，接着令结合基本不等式得，从而由题意得“即”为真命题，进而得，再利用基本不等式求出即可得解. （3）先由（1）（2）得，接着分、和三种情况进行分类讨论，研究函数在上的最大值为1时相应函数的最值即可求解. 【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，则， 因为，所以，所以， 所以即， 所以函数在上单调递增. （2）由题， 令，当且仅当即等号成立， 又因为“”为真命题， 所以“即”为真命题， 所以，又，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的取值范围为. （3）由题可得即， 由（1）（2）可得当时，， 则， 若存在实数，使函数在上的最大值为1， 则当即时，为减函数， 所以函数在上有最小值0， 因为，所以此时在上单调递增， 所以，所以不符合； 当即时，， 则函数在上的最大值为1，满足条件； 当即时，为增函数， 所以函数在上有最大值0， 因为，， 所以若即，此时在上单调递减，在上单调递增， 故，所以符合； 若即，此时在上单调递减，在上单调递增， 故，所以不符合； 若即，此时在上单调递减， ，所以不符合； 综上，存在或，使函数在上的最大值为1. 【点睛】关键点睛：求解小问（3）的关键点1是依据复合函数指数式的底的特点分、和三种情况进行分类讨论，关键点2是通过函数在上的最大值为1转化成函数的相应最值，从而通过研究函数的最值即可求解. 24．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若为区间上的“9阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是，证明见解析； (2)． (3) 【分析】（1）由解聘 ，再由判断是否不一定有即得； （2）由，求得，然后由确定的范围，再利用这个范围是的子集求得； （3）方法一：由，求得，然后由确定的范围，再利用这个范围是的子集求得的范围；方法二：令，求出，等价转化得在上的值域必定包含区间，且的值域在对应的自变量是唯一的，最后对进行分类讨论即可. 【详解】（1）是区间上的“2阶自伴函数” 对任意的，， 则，首先中唯一的， 其次时，，，因此，不一定有， 例如取，由解得， 所以不是区间上的“2阶自伴函数”； （2）由已知，对任意，，， ，所以且， 即，解得． （3）方法一：由题意，， ， ，则，所以， 设，则， 于是，， ，， 所以对，恒成立，或恒成立， 恒成立，则，解得， 恒成立，则，解得， 综上，的取值范围是． 方法二：， 令，则，则， 所以. 因为是在区间上的"2阶伴随函数"， 所以对任意的，总存在唯一的，使得成立， 所以， 即在上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的； 又因为开口向上，对称轴为. ①当，即时，在$[0，1]$上单调递增，则必有，解得； ②当，即时，在$[0，1]$上单调递减，则必有，解得； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，如图，由唯一性， 则必有，此时无解； ④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，如图，由唯一性， 则必有，此时无解. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新意识，解题关键是理解新定义并能应用转化，对为区间上的“阶自伴函数”，求参数范围问题，只要解方程，用表示（注意唯一解），然后由求得的范围，再利用此范围是的子集可求得参数（或范围）． 25．设定义在上的奇函数且， (1)求的值 (2)已知，函数，，求的值域； (3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求解参数即可. （2）对给定函数合理变形，将其利用换元法变为二次函数，利用二次函数的性质求解值域即可. （3）利用题意结合函数的奇偶性与单调性将问题转化为绝对值不等式恒成立问题，再利用同时平方法化为一元二次不等式恒成立问题，求解参数范围即可. 【详解】（1）是定义域为上的奇函数， ，得到，解得， 经检验，满足题意，即的值为. （2），，即， 或舍去， ， 令，由指数函数性质得在上为增函数， ，， 由二次函数性质得当时，， 而，，的值域是， 故的值域是. （3）由于，， 因为是奇函数，所以， 故，且定义域关于原点对称，可得是偶函数， 由指数函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 又，， 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 左右同时平方得对恒成立. ， 解得，综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是利用函数的奇偶性和单调性对给定不等式化简，然后将其化为一元二次不等式恒成立问题，再得到所要求的参数范围即可. 题组三：名校指数与指数函数新定义试题精选 1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析得函数的奇偶性与值域，结合高斯函数的概念可求所给函数的值域. 【详解】因为， 所以， 所以函数为奇函数，则， 因为， 而，则，， 所以，故，即， 所以的值域为， 当时，，， 所以； 当时，，， 所以； 当时，，， 所以； 综上可知：. 故选：B 2．颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．若关于x的不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的表达式，问题转化为对任意的恒成立，通过换元有对任意的恒成立，构造函数利用单调性解决不等式恒成立问题. 【详解】不等式，即， 化简得， 不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则，有对任意的恒成立， 令，则，有对任意的恒成立， 令，则，有对任意的恒成立， 令，在上单调递减， 则，即实数m的取值范围为. 故选：B. 3．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】设所对应的极径为，所对应的极径为，根据所给表达式及指数幂的运算法则计算可得. 【详解】设所对应的极径为，则， 则所对应的极径为，所以， 故每增加个单位，则变为原来的倍. 故选：B 4．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等．建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为．则下列错误的是（    ） A．是奇函数 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性的定义以及指数的运算性质逐一判断即可. 【详解】由，， 对于A，，， 且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，故A正确. 对于B，， ，故B不正确； 对于C，，故C正确， 对于D，， ，故D正确. 故选：B. 5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（    ） A． B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2} 【答案】B 【分析】利用换元法求得的值域，由高斯函数的定义求得正确答案. 【详解】, 令，令， 二次函数开口向上，对称轴为，， 所以，也即. 所以. 故选：B 6．（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（    ） A．在上是增函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．的值域是 【答案】BC 【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD. 【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增， 且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确； ∵，， ∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误； ∵，∴，，，∴， 即，∴，故C错误，D正确. 故选：BC 7．意大利画家达芬奇在创作《抱银貂的女子》时思考了一个问题：画中女子佩戴着一条长长的项链，项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”．选择适当的坐标系后，悬链线的方程是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数．则 ，设函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据解析式直接计算出的值；先化简，然后根据不等式化简结果构造，分析的单调性，由此可求解集. 【详解】； ， 所以， 令，且在上递增，在上递减， 所以在上递增， 又因为， 所以，故解集为， 故答案为：；. 8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用指数函数性质求得的值域，然后再由高斯函数定义得结论． 【详解】，又， 则，则函数的值域为. 故答案为：. 9．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 【答案】(1)是倒函数，不是倒函数；理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据倒函数的定义判断可得答案； （2）根据倒函数的性质，先证充分性，再证必要性即可, 【详解】（1）对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又， 是倒函数， 对于，定义域为， 故当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数； （2）因为，又是上的倒函数， 所以，所以， 故， 充分性：当时，且，又在上是严格增函数， 所以，， 所以，，故. 必要性：当时， 有 ， 又恒大于0，所以， 因为，所以， 因为在上是严格增函数．所以，即有成立. 综上所述：是的充要条件． 10．定义在D上的函数，若满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界． （1）设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由； （2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）是有界函数，理由见解析，；（2）. 【解析】（1）分离常数后,根据函数的单调性,在区间内求得最大值与最小值,即可根据有界函数的定义求得的取值范围. （2）根据有界函数定义,可得的值域，代入解析式可分离得的不等式组，利用换元法转化为二次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得的取值范围. 【详解】， 则在上是增函数； 故； 即， 故，故是有界函数； 故的所有上界的值的集合是； 由题意知，对恒成立． 即：，令， ， 所以， 对恒成立， ， 设，，由 由于在上递增，在上递减， 在上的最大值为， 在上的最小值为， 实数a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：根据新定义有界函数，函数的上界，函数在上是以4为上界的有界函数转化为对恒成立是解题关键，然后分离参数，求函数的最大值与最小值是难点，属于中档题. 题组四：指数与指数函数全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】因为在定义域上是增函数，所以， 因为在定义域上是减函数，所以， 所以,即. 故选：A. 2．（16-17高三·北京·强基计划）方程组的实数解的组数是（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【分析】根据底数分类讨论后可求方程组的解的个数. 【详解】当时，此时，即，又，； 当时，原方程组可化为，； 当且时，由可得， 即，所以， 因为，所以对应， 因为没有意义，所以或， 因此所有的实数解为，共有4组． 故选：B. 3．（2023高一上·山东滨州·竞赛）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 4．（2007高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得恒成立，由复合型指数函数的最值得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式可化为. 因为，所以，所以的最大值为. 所以，所以. 故选：C. 5．（2012高三·湖南·竞赛）已知实数x满足，则x的值为 . 【答案】0或 【解析】根据指数幂的运算将式子因式分解，再分别解方程即可； 【详解】解：因为，所以， ，所以，即，所以，或 解得或 故答案为：0或 6．（19-20高三·北京·强基计划）已知，则 ． 【答案】1 【分析】利用指数幂的运算规则可求代数式的值. 【详解】根据题意，有， 于是． 故答案为：1. 7．（2023高二下·安徽安庆·竞赛）若函数和在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意分同增或同减，结合指数函数的性质运算求解. 【详解】因为，则， 由题意得与在区间上同增或同减. 若两函数同增，则在区间上恒成立， 可得，解得； 若两函数同减，则在区间上恒成立， 可得，无解； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（2020高二上·浙江绍兴·竞赛）已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的实数，有， 则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由题意可知，存在唯一实数，使得，则，可得出，利用函数单调性求出的值，令，分析函数的单调性，结合单调性可得出不等式的解集. 【详解】因为函数是定义在上的单调函数，则存在唯一实数，使得， 又因为，则，则，所以，， 因为函数、均为上的增函数，所以，函数在上为增函数， 且，故，所以，， 因为函数在上为增函数， 设，其中，则函数在上为增函数，且， 当时，由可得，则， 当时，，，则恒成立， 所以，不等式的解集为. 故答案为：. 9．（2016高一·全国·竞赛）设函数表示不超过实数的最大整数，则函数的值为 . 【答案】或0 【分析】根据、及分类讨论，求函数和的值域，根据新函数定义即可求解. 【详解】. 当时，，所以； 当时，，则， 所以； 当时，，则， 所以， 综上，函数的值为或0. 故答案为：或0 10．（20-21高三·江苏·强基计划）使得等式成立的实数a的值为 ． 【答案】8 【分析】采用换元法（须注意新元的取值范围），将所给等式转化为整式方程并求解. 【详解】解：由题意可得，，所以，故. 设，则. 解得，或（舍），或（舍） 所以 所以 故答案为：8 11．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 12．（19-20高一·安徽宣城·强基计划）先化简，再求值：，其中：． 【答案】，． 【分析】利用平方差化简后可求代数式的值. 【详解】原式 ， ∵ ∴原式 13．（22-23高二上·北京·强基计划）已知定义域为的R奇函数满足：当时，． (1)求函数在上的解析式，并判断在上的单调性（不需证明）； (2)若不等式在区间上有解，求实数m的范围． 【答案】(1)，在上为增函数 (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解； （2）根据奇函数的单调性，将问题转化为在区间上有解，求最值即可. 【详解】（1）解：∵是定义域为R的奇函数， ∴，得 设，则， ∵在上递增，在上递增， ∴在上为增函数 （2）∵， ∴， ∵是上的增函数，∴． 由于，∴ 由于在上递增，∴ 得 14．（2011高一·全国·竞赛）设为定义域为的函数，对任意，都满足：，，且当时，. (1)请指出在区间上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论； (2)证明是周期函数，并求其在区间上的解析式. 【答案】(1)偶函数；单调递增区间：；单调递减区间：；最大值为、最小值为0；零点：；证明见解析 (2)证明见解析， 【分析】（1）由，，得到为上的偶函数，进一步由单调性定义可得在上的单调性，结合偶函数性质得在上的单调性，进一步可研究函数最大值与最小值； （2）由，可得是周期为2的函数，当时，，注意到当时，，由此即可得解. 【详解】（1）在区间上是偶函数；最大值为、最小值为0； 单调递增区间：；单调递减区间：；零点：. 偶函数证明： 由，，得到， 从而得到函数为偶函数， 单调区间证明： 当时，. 设， 由于函数是单调递增函数，且恒成立， 所以，， 所以在区间上是增函数， 因为在区间上是偶函数. 对于任取的， 有， ， 所以在区间上是减函数. 综上：在区间上是减函数，在区间上是增函数； 所以最大值、最小值分别为， 从而在上有唯一零点：. （2）设，由，可得，即 所以2是周期. 当时，， 所以. 15．（23-24高三下·北京·强基计划）求上方程的解的个数. 【答案】 【分析】用反证法证明原方程的解都满足，即，然后逐一代入验证即可. 【详解】一方面，假设原方程有一个满足的根，则. 令，则. 对，有，故； 对，有，故. 所以对，都有，从而由知，矛盾. 所以无解， 故原方程的解，只有满足，即，直接验证即知都是原方程的解. 所以原方程一共有个解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一指数与指数函数易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校指数与指数函数易错题精选 题组二：名校指数与指数函数培优压轴试题精选 题组三：名校指数与指数函数新定义试题精选 题组四：指数与指数函数全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校指数与指数函数易错题精选 1．已知函数，，则（    ） A．12 B． C． D．17 2．已知实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 4．设函数，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知，为正实数，，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 7．若函数满足对任意不相等的两个实数，都有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的值域是 D．的值域是 10．（多选题）下列命题中正确的是（   ） A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B．函数在上的值域为 C．若关于的方程的两根分别为，，且，则有 D．函数，则不等式的解集为 11．（多选题）函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．方程有3个实数根 12．（多选题）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在上单调递增 13．对于正整数和非零实数，若，则的值为 . 14．若实数、、满足，，则的最小值是 . 15．定义区间，其中，则满足的m的最大值为 . 16．若， ，，则 ． 17．设（），记函数在区间（）上的最大值为，若对任意，都有，则实数t的取值范围为 . 18．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 19．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 20．定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 21．已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)解关于的方程； (3)若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 22．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若函数在上的最小值为11，求实数的值. 23．已知函数 是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断并用定义证明在定义域上的单调性； (3)若，不等式 成立，求实数k的取值范围. 题组二：名校指数与指数函数培优压轴试题精选 1．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数满足，设，若，当则（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 7．（多选题）已知函数，则下列结论 ①函数在R上为增函数；②函数过定点； ③函数为偶函数；④当时，函数的最小值是0． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 8．（多选题）若实数满足，则下列选项正确的是（　　） A．且 B．的最小值为9 C．的最小值为 D． 9．（多选题）已知函数， 则（    ） A．不关于原点对称 B． C．在上单调递减 D．的解集为 10．（多选题）若实数x，y满足，，，则（    ） A．且 B．m的最大值为 C．n的最小值为7 D． 11．（多选题）已知函数，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点中心对称 12．（多选题）已知函数是奇函数，下列选项正确的是（    ） A． B．，且，恒有 C．函数在上的值域为 D．若，恒有的一个充分不必要条件是 13．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点成中心对称，则 . 14．已知函数的图象是一个中心对称图形，它的对称中心为 ；函数的图象与函数图象的交点分别为，，，…，（为正整数），则 . 15．若实数满足，则的最大值是 . 16．已知函数，当时恒成立，则的最小值为 . 17．已知函数，则满足的实数的取值范围为 . 18．函数，，.若时，函数为偶函数，试写出满足条件的b的一个值为 ；若当时，对，，，则a的取值范围为 . 19．已知函数的图象在区间内的最高点对应的坐标为，则集合中元素的个数为 ． 20．给定区间，若对任意的，恒有函数或恒有函数，则称为上的“函数”． (1)判断是否为区间上的“函数”； (2)若是区间上的“函数”，求的取值范围； (3)若的定义域为，且在上单调递减，且图象是连续不断的曲线，求证：存在区间，使得是区间上的“函数”． 21．已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的值，并用定义证明的单调性； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 22．已知函数. (1)若，求在区间上的值域； (2)若方程有实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 23．已知函数，函数. (1)判断并证明函数在的单调性； (2)若命题：“”为真命题，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使函数在上的最大值为1？如果存在，求出实数所有的值，如果不存在，请说明理由. 24．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若为区间上的“9阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 25．设定义在上的奇函数且， (1)求的值 (2)已知，函数，，求的值域； (3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题组三：名校指数与指数函数新定义试题精选 1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．若关于x的不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 4．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等．建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为．则下列错误的是（    ） A．是奇函数 B． C． D． 5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（    ） A． B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2} 6．（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（    ） A．在上是增函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．的值域是 7．意大利画家达芬奇在创作《抱银貂的女子》时思考了一个问题：画中女子佩戴着一条长长的项链，项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”．选择适当的坐标系后，悬链线的方程是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数．则 ，设函数，则不等式的解集为 ． 8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为 . 9．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 10．定义在D上的函数，若满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界． （1）设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由； （2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 题组四：指数与指数函数全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（16-17高三·北京·强基计划）方程组的实数解的组数是（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 3．（2023高一上·山东滨州·竞赛）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2007高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 5．（2012高三·湖南·竞赛）已知实数x满足，则x的值为 . 6．（19-20高三·北京·强基计划）已知，则 ． 7．（2023高二下·安徽安庆·竞赛）若函数和在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是 . 8．（2020高二上·浙江绍兴·竞赛）已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的实数，有， 则不等式的解集是 . 9．（2016高一·全国·竞赛）设函数表示不超过实数的最大整数，则函数的值为 . 10．（20-21高三·江苏·强基计划）使得等式成立的实数a的值为 ． 11．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 12．（19-20高一·安徽宣城·强基计划）先化简，再求值：，其中：． 13．（22-23高二上·北京·强基计划）已知定义域为的R奇函数满足：当时，． (1)求函数在上的解析式，并判断在上的单调性（不需证明）； (2)若不等式在区间上有解，求实数m的范围． 14．（2011高一·全国·竞赛）设为定义域为的函数，对任意，都满足：，，且当时，. (1)请指出在区间上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论； (2)证明是周期函数，并求其在区间上的解析式. 15．（23-24高三下·北京·强基计划）求上方程的解的个数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$