专题4-1 数列的概念及通项递推式【12大题型】-【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（人教A2019选择性必修二）

【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考） 专题4-1 数列的概念及通项递推式 总览 题型解读 【题型1】数列的概念及分类 【题型2】判断或者写出数列的某一项 【题型3】观察法求数列通项 【题型4】由递推公式求数列的指定项 【题型5】利用Sn与an的关系求通项公式 【题型6】周期数列问题 【题型7】数列的单调性问题 【题型8】确定最大（小）的项 【题型9】累乘法求通项公式 【题型10】累加法求通项公式 【题型11】递推数列的实际应用 【题型12】斐波那契数列 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】数列的概念及分类 一、数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 二、数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 【例题1】列有关数列的说法正确的是（    ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列 C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关 【答案】D 【分析】根据数列的定义和表示方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确； 对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确； 对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确； 对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确. 【巩固练习1】给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1 000；③8，8，8，8，…；④.其中，有穷数列为 ；无穷数列为 ；递增数列为 ；递减数列为 ；摆动数列为 ；常数列为 ．(填序号) 【答案】 ②④ ①③ ② ④ ① ③ 【分析】根据数列的知识确定正确结论. 【详解】有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③. 故答案为：②④；①③；②；④；①；③ 【巩固练习2】（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的图像是一系列孤立的点 D．数列的项数是无限的 【答案】BC 【分析】根据数列的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是不同的数列，故错误； 对于B，由数列的定义可知正确； 对于C，由数列的，可知正确； 对于D，根据数列的项可以分为有穷数列和无穷数列，故错误. 【题型2】判断或者写出数列的某一项 函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 【例题1】现有这么一列数：1，，，，___，，，，按照规律，__中的数应为　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得：分子为连续的奇数，分母依次为首项为1、公比为2的等比数列， 即其通项为：； 故括号中的数应该为． 【例题2】已知数列的通项公式是，则下列各数是中的项的是（    ） A．10 B．18 C．26 D．63 【答案】D 【分析】分别令选项中的数等于，解得值是正整数的即为答案． 【详解】令，可得， ，不是正整数， 所以不是的项；A错误； 令，可得， ，不是正整数， 所以不是的项；B错误； 令，可得， ，不是正整数， 所以不是的项；C错误； 令，可得或， ，是正整数， 即数列的第项为，D正确 【巩固练习1】观察数列 ，，，，，，，，，，则该数列的第 项等于 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中数列可得出其规律为按正整数顺序排列，且个为一个循环节，从而可求解. 【详解】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列， 且个为一循环节，由此判断第项是，故D项正确. 【巩固练习2】（多选）已知数列的通项公式为，则-19是该数列中的第几项的是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AC 【分析】令，求解判断. 【详解】令，即，解得或. 故选：AC 【巩固练习3】已知数列的通项公式，求： (1)等于多少； (2)81是否为数列中的项，若是，是第几项；若不是，说明理由． 【答案】(1)26 (2)不是，理由见解析 【分析】（1）直接代入数列的通项公式即可求解； （2）数列的通项公式是关于的方程，再看是否能使这个方程有正整数解即可求解； 【详解】（1）因为数列的通项公式， 所以. （2）令，解得， 因为， 所以不是数列中的项. 【题型3】观察法求数列通项 通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 【例题1】数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 【例题2】观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式． (1)（    ），7，12，（    ），22，27，…； (2)，，（    ），，，，（    ），…； (3)1，，（    ），2，，（    ），，…； (4)，，（    ），，…． 【答案】(1)2，17， (2) ， ， (3) ， ， (4) ， 【分析】（1）由 ， 可知相邻两项的差相等，进而可得通项公式； （2）把 写成 ，分析规律可得结果； （3） 由 ，，分析规律即可得通项公式； （4）由， 可得数列的通项公式. 【详解】（1）因为 ， ， 原数列为2，7，12，17，22，27，…，相邻两项的差都是5， 故 . （2）由 ，原数列可化为，， ，，，， ，…， 可得 . （3）由 ， ，原数列可化为 ，， ， ，，，， 得 . （4）因为原数列可化为 ， ， ， ，…， 所以 . 【巩固练习1】数列1，，，…的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入即可结合选项逐一排除. 【详解】当时，对于B中， 当时，对于C中，对于D中， 四个选项中只有同时满足，，. 【巩固练习2】若数列的前4项分别是，则此数列一个通项公式为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由数列的前四项是，得； 故选：． 【巩固练习3】已知数列，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】B 【分析】根据规律可知数列的通项公式为，计算可得是这个数列的第22项. 【详解】由题意可得数列的通项公式为， 又，解得， 所以是这个数列的第22项． 【题型4】由递推公式求数列的指定项 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 【例题1】数列满足，若，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由递推公式可得答案. 【详解】因为，，， 则，， ，， 【例题2】数列满足，则　　． 【解答】解：数列中，， ， ， ， ， ， ， ． 【巩固练习1】斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 【答案】B 【分析】先观察数列，再利用发现的规律求出第10项. 【详解】观察数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，发现从第3项起，每一项均为其前2项的数之和， 则第9项：13＋21＝34，第10项：21＋34＝55. 故该数列的第10项为55． 【巩固练习2】已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据递推公式求出、即可. 【详解】因为且， 所以，解得，则，即，解得. 【巩固练习3】（23-24高二上·广东中山·期中）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第行黑圈的个数为，则（    ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】设表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推即可求解. 【详解】由题意可知，设表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数， 则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， 所以， 又因为，所以， 所以，则. 【题型5】利用Sn与an的关系求通项公式 与的关系式： ①当时，若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示. 【例题1】已知数列的前n项和. (1)求的通项公式； (2)试判断1262是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 【答案】(1) (2)1262是数列的项，是第15项 【分析】（1）利用之间的关系进行求解即可； （2）利用代入法，通过解一元二次方程进行求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时， 时，也符合. 综上，的通项公式是； （2）令，或， 所以1262是数列的项，是第15项. 【例题2】已知数列的前项和，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合和，即可求得数列的通项公式. 【详解】由数列的前n项和为， 当时，可得； 当时， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 【例题3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列满足…，则 ． 【答案】 【分析】令求出的值，再利用…，…，相减求出，验证首项即可． 【详解】当时，， 由，① ，②， 由①-②得，， ，显然时不满足上式， ， 故答案为： 【例题4】已知在数列中，，，则 . 【答案】 【分析】将时的等式与条件中的等式做差整理可得，然后利用计算即可. 【详解】①， 当时，②， ①-②得，整理得， 当时，，得， . 故答案为：. 【巩固练习1】（1）已知数列的前项和是，且，求的通项公式. （2）已知正项数列的前项和满足，求数列的通项公式. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由数列的前项和公式求通项公式即可得出结论； （2）由与关系求通项公式即可得出结论； 【详解】（1）由可得， 当时，， 当时，, ∴经验证，当时也成立. 所以. （2）∵① ∴，得. ∴② ②－①得：，∴即， ∴，，，…，， ∴. 经验证，当时也成立. 所以. 【巩固练习2】若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用关系求通项公式. 【详解】当，则， 而，显然不满足上式，所以. 【巩固练习3】（24-25高二上·山东·期中）已知数列的前项和为，则（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】B 【分析】利用求出，相加得到答案. 【详解】，， 故. 【巩固练习4】已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 . 【答案】. 【详解】由题意知，数列的前n项和， 当时，可得， 当时，， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 【巩固练习5】已知数列满足：（为正整数），则 ． 【答案】 【分析】已知式减去的递推式可得解. 【详解】当时，， 当时，， ， 两式相减得，可得， 综上，. 【巩固练习6】数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据题目给出的递推公式进行升次作差即可求解. 【详解】由题意 …①， ， …②， ②①得： ， 则当时，，当，不适合上式.    ；故答案为： . 【题型6】周期数列问题 数列的周期性：如果对所有的，都有= (k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列. 数列周期性问题的解题策略：解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 【例题1】设数列满足，，则　　 A．2 B． C． D． 【解答】解：数列满足，， 则，同理可得：，，，， 可得． ． 【例题2】数列满足，则的值为　　 A．2 B． C．3 D．1 【解答】解：数列满足， ， ， ， ， 即数列是周期为4的数列，且， ， 【例题3】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在数列中，，，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可得数列是以1，3，3，1循环排列的周期为4的数列，计算可得. 【详解】由，可得， 又，可得， 以此类推可知数列是以1，3，3，1循环排列的周期为4的数列， 故知. 【例题4】若数列满足，，则 ， ． 【答案】 16 2 【分析】根据递推式求出数列的前几项，归纳出数列从第7项起是周期数列，从而可得结论． 【详解】由题意，，，，，，，，，，…， 数列从第7项起是周期数列，周期为3， 因为，所以， 所以；． 故答案为：16；2． 【巩固练习1】已知数列的前项和为，且满足，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为，，， 所以， ， ，， 所以数列的周期为4， 所以，， 所以，故，错误； ， 所以，故正确，错误． 【巩固练习2】在数列中，，，且任意连续三项的和为9，则　　． 【解答】解：， ，， ，， 可得， 同理可得：，即，则． 可得：． 故答案为：5． 【巩固练习3】已知数列满足且，则（    ） A．3 B． C．-2 D． 【答案】B 【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案. 【详解】由题意数列满足，则， 故由，得， 由此可知数列的周期为4， 故 【巩固练习4】（24-25高二上·江苏盐城·期中）若数列满足，若，则的值为 【答案】 【分析】根据数列的递推公式，利用代数法可得数列的周期为，即，，即可得解. 【详解】由已知，则，， 可得，进而可得，，， 即，， 所以， 【题型7】数列的单调性问题 数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 1．数列与函数的区别和联系： 数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点； 函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线. 2．判断数列增减性的方法 (1)作差比较法： ①若恒成立，则数列是递增数列； ②若恒成立，则数列是递减数列； ③若恒成立，则数列是常数列． (2)作商比较法： ①若，则 当时，数列是递增数列； 当时，数列是递减数列； 当时，数列是常数列． ②若an＜0，则 当时，数列是递增数列； 当时，数列是递减数列； 当时，数列是常数列． 【例题1】下列数列是递减数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数方法依次判断每个选项数列的增减性得到答案. 【详解】对选项A：为递增数列； 对选项B：为递减数列； 对选项C：，先增后减数列； 对选项D：，先减后增数列. 【例题2】已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，可得对恒成立，转化为最值问题，化简解出即可. 【详解】因为为递减数列，， 所以对恒成立， 即对恒成立，所以 【例题3】（23-24高二下·青海海西·期中）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意有，解得的取值范围； 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即对都成立， 所以．（或通过二次函数的对称性求解） 【例题4】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，列出不等式组求解即可. 【详解】解：由已知得，即，解得. 【例题5】首项为正数的数列满足，若对一切，都有，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据给定的恒成立的不等式及递推公式，列出关于的不等式，求解作答. 【详解】因为，又对一切，都有成立， 因此对一切，，解得或对一切成立， 于是或，又数列的首项为正数，即有或， 所以的取值范围为. 【巩固练习1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的单调性，结合可得. 【详解】因为，且数列是递增数列， 所以，即. 【巩固练习2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列的单调性求解． 【详解】由题意，解得. 【巩固练习3】已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意有，解得，求出即可得k的取值范围. 【详解】，若为递增数列，则， 有，解得， 则，时，所以，则k的取值范围为. 【巩固练习4】已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用递增数列满足，即可求解. 【详解】因为，所以 由，得到，所以“数列是递增数列”的充要条件是 【巩固练习5】已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段情况下，对任意，都有，只需保证每一段递增，且，结合数列的单调性求解. 【详解】当时，， 由，得，即， ∵且，，∴，解得. 当时，单调递增， 若对任意，都有，则且， 即且，解得， 则实数的取值范围是. 【题型8】确定最大（小）的项 求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． (2)可以利用不等式组找到数列的最大项； 利用不等式组找到数列的最小项． 【例题1】已知数列的通项公式是，判断该数列的单调性，并求出这个数列的最小项． 【答案】答案见解析 【分析】写出通项公式的分段形式，直接判断数列单调性，进而确定最小项. 【详解】令，则，故时， 所以，故该数列的先递减后递增 【例题2】已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项. 【答案】 【分析】通过列举法进行观察，然后利用差比较法比较求得正确答案. 【详解】依题意，， 则， 当时，， 所以当时，， 所以数列的最大项为第项. 【例题3】（高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，利用对勾函数的单调性，可得，从而可得答案. 【详解】由题意可得． 根据对勾函数与复合函数的单调性，在上递增，在上递减， 所以在中，， 当时，，； 当时，． 因为，所以， 所以的最大值是． 【巩固练习1】已知数列的通项公式为，则当最小时，（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据给定的通项公式，探讨数列的单调性，求出最小时的n值作答. 【详解】数列中，，则，而， 于是当时，，即，当时，，即， 因此当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 所以当且仅当时，最小. 【巩固练习2】已知数列的通项公式是，试问数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 【答案】数列的第8项和第9项为最大项，其值为． 【分析】根据题意，计算，即可判断. 【详解】因为， 所以当时，；当时，；当时，． 于是，数列的第8项和第9项为最大项，且 【巩固练习3】已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由已知可推得当时，.又，即可得出答案. 【详解】解可得，或，即或. 所以，当时，. 又， 所以，当时，取最小值. 【题型9】累乘法求通项公式 型如的数列递推关系可以利用累乘法求通项公式，其中可能为常数，分式等 【例题1】已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用累乘法即可求得. 【详解】因为， 所以， 上述各式相乘得， 因为，所以， 经检验，满足， 所以. 【例题2】已知，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【分析】由已知递推式可得，然后利用累乘法可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 所以，，，……，（）， 所以， 所以，因为，所以， 因为也满足上式， 所以 【巩固练习1】数列中，，（为正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合递推式特征，利用累乘法算出，进而可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以 【巩固练习2】已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，然后利用累乘法可求得结果 【详解】由，得， 所以，，，……，，，（）， 所以， 所以， 因为，所以， 因为满足上式，所以 【巩固练习3】已知数列满足，则数列的通项公式是　　． 【解答】解：， ， ， ， ，，，， 累乘可得， ， 故答案为： 【题型10】累加法求通项公式 型如的数列递推关系可以利用累乘法求通项公式，其中可能为常数，分式，对数型函数，一次函数，指数函数，根式等 【例题1】数列满足，则　　． 【解答】解：数列中，， ，累加可得，． 【例题2】在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可以采用累加法进行求解. 【详解】由，则 ，，，，…， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 【例题3】（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，且，则 . 【答案】5 【分析】用累加法求解. 【详解】 ， ， … ， 各式累加得. 【例题4】已知数列满足，，则 . 【答案】， 【分析】利用累加法可求数列的通项公式. 【详解】因为， 所以. 所以，，…， 以上各式相加，得： 所以 又也符合上式， 所以，. 故答案为：， 【巩固练习1】已知数列满足：，则________ 【答案】 【分析】应用累加法求数列通项公式，再求出对应项. 【详解】由题设，……，，， 累加可得且，则， 所以. 【巩固练习2】根据条件，确定数列的通项公式．，； 【答案】 【分析】将递推公式移项，观察移项后的数列规律，利用累加法求得通项公式. 【详解】∵，∴， 其中 ∴ ． 又适合上式，故 ． 【巩固练习3】已知数列满足，，则的通项为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】先把，利用累加法和裂项相消法可求答案. 【分析】因为，所以， 则当，时，， 将个式子相加可得， 因为，则， 当时，符合上式， 所以，， 【巩固练习4】在数列中，已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ． 【巩固练习5】已知数列满足，，求. 【答案】， 【分析】运用累加法计算即可. 【详解】因为， 所以. 所以 . 又也符合上式， 所以，. 【题型11】递推数列的实际应用 【例题1】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（    ） A．18 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意确定之间的关系以及与的关系即可得所求. 【详解】由题意可知， ， ， ， 所以. 【例题2】代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：今携一壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮半斗.注：古代一斗是10升.大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒6升，将李白在第5家店饮酒后所剩酒量是（    ） A．37升 B．21升 C．26升 D．32升 【答案】A 【分析】先根据题意将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列，进一步根据题意列出关于数列的递推公式，进一步计算出首项的值，然后根据递推公式逐项代入即可得到 的值，即李白在第5家店饮酒后所剩酒量. 【详解】由题意，可将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列， 则李白在每家店饮酒后所剩酒量均为在前一家店饮酒后所剩酒量的2倍减去5， 即， ， ， . 故李白在第5家店饮酒后所剩酒量是37升. 【巩固练习1】（23-24高三上·全国·开学考试）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（    ） A．324 B．297 C．256 D．168 【答案】A 【分析】根据“三分损益法”的规律可得出数列中各项的关系，代入计算即可. 【详解】由损益规律可知， 即， 解得. 【巩固练习2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（    ） A．18 B． C． D． 【解题思路】根据题意确定之间的关系以及与的关系即可得所求. 【解答过程】由题意可知， ， ， ， 所以. 【巩固练习3】生物学家在研究植物的生长过程中，发现某种树苗的生长规律为：树苗在第1年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这个规律生长，则第10年的树枝条数为（    ） A．56 B．55 C．54 D．34 【解题思路】设第年共有条树枝，结合题意可得，，，计算出即可得. 【解答过程】设第年共有条树枝，则有，， 第三年开始，新枝变老枝，继续生长， 则当时，， 故有 . 【题型12】斐波那契数列 斐波那契数列本来也属于递推数列的实际应用，但是其比较特殊，所以单独作为一类题型，而且2024新高考一卷的单选压轴也涉及到了斐波那契数列 【斐波那契数列性质总结】 性质1、前n项和： 性质 2、奇数项和： 偶数项和： 性质3、平方性质： 平方和性质： 性质4、中项性质： 性质5、余数列周期性： 被2 除的余数列周期为3：1，1，0，．．．．．．． 被3 除的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，．．．．．．． 被 4 除的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0， ．．．．．．． 性质 6、斐波那契不等式： 性质7、质数数量： 每3个连续的数中有且只有1个能被2整除； 每4个连续的数中有且只有1个能被3整除； 每5个连续的数中有且只有1个能被5整除； 性质8、两倍数关系： 性质9、下标为3 的倍数的项之和： 性质10、是等比数列 【例题1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推公式，，累加即可求得结果. 【详解】根据斐波那契数列的递推公式， 可得 . 【例题2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列1，1，2，3，5，8其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”，则下列各式中正确的选项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“斐波那契数列”的定义以及数列求和等知识求得正确答案. 【详解】A选项，，所以A选项错误. B选项， ，所以B选项错误. C选项， ，所以C选项错误. D选项， ， 所以D选项正确. 【例题3】（23-24高二下·四川成都·期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．已知数列，，，（），记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用数列易得，判断A；计算可得判断B；计算可得判断C；由，可判断D. 【详解】由题意知1，2，3，5，8，13，故，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ∵， ，，故D选项正确． 【巩固练习1】意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，若，则等于（    ） A．14 B．13 C．89 D．144 【答案】A 【分析】 根据题意，结合斐波那契数列的性质，逐项迭代，即可求解. 【详解】 根据题意，若，即， 由斐波那契数列的性质，可得： ， 所以. 【巩固练习2】（23-24高二下·广东佛山·期中）（多选）数列1，1，2，3，5，8，13…是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在他写的《算盘全数》中提出的，所以它常被称作斐波那契数列．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为，其前项和为，则（    ） A． B．是偶数 C． D． 【答案】AB 【分析】列出前几项，即可判断A，归纳即可判断B，由题意，根据求和定义和数列特点，直接求和，即可判断C、D. 【详解】依题意可得，，，，，，，，，，可得A正确； 由上述计算，观察分析发现，这个数列的数字是按照奇数、奇数、偶数这三个一组循环排列的， 而，可得是偶数，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 【巩固练习3】意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，在1202年著的《计算之书》引入“兔子数列”（即斐波那契数列），“兔子数列”满足，给定前2项均为1的“兔子数列”，记其前项和为，试用含的代数式表示= ． 【答案】 【分析】将题设相邻项的加法关系变形为减法关系，然后写出个式子累加即可求得与的关系式. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 故答案为：. 【巩固练习4】（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的为（   ） A． B．对恒成立 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据斐波那契数列递推公式的性质化简计算判断各个选项. 【详解】“斐波那契数列”为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…， 所以，A选项错误； 依题意，所以， 故对恒成立，B选项正确； ，，，…，， 所以，C选项正确； ，，，…， ， 所以，D选项正确． 【巩固练习5】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（    ） A．2023 B．2024 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据“斐波那契数列”得出递推公式，变形得到，然后利用递推公式的变形对化简，即可求解. 【详解】“斐波那契数列”从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，, . 由题意得：， 即， ， ， ，                     ， 即 即. 35 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考） 专题4-1 数列的概念及通项递推式 总览 题型解读 【题型1】数列的概念及分类 【题型2】判断或者写出数列的某一项 【题型3】观察法求数列通项 【题型4】由递推公式求数列的指定项 【题型5】利用Sn与an的关系求通项公式（三种类型） 【题型6】周期数列问题（七大类型总结） 【题型7】数列的单调性问题 【题型8】确定最大（小）的项 【题型9】累乘法求通项公式 【题型10】累加法求通项公式（4种类型，涉及裂项，不涉及求等差等比求和公式） 【题型11】递推数列的实际应用 【题型12】斐波那契数列（十大性质总结） 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】数列的概念及分类 一、数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 二、数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 【例题1】列有关数列的说法正确的是（    ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列 C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关 【巩固练习1】给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1 000；③8，8，8，8，…；④.其中，有穷数列为 ；无穷数列为 ；递增数列为 ；递减数列为 ；摆动数列为 ；常数列为 ．(填序号) 【巩固练习2】（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的图像是一系列孤立的点 D．数列的项数是无限的 【题型2】判断或者写出数列的某一项 函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 【例题1】现有这么一列数：1，，，，___，，，，按照规律，__中的数应为　 A． B． C． D． 【例题2】已知数列的通项公式是，则下列各数是中的项的是（    ） A．10 B．18 C．26 D．63 【巩固练习1】观察数列 ，，，，，，，，，，则该数列的第 项等于 （    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选）已知数列的通项公式为，则-19是该数列中的第几项的是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【巩固练习3】已知数列的通项公式，求： (1)等于多少；(2)81是否为数列中的项，若是，是第几项；若不是，说明理由． 【题型3】观察法求数列通项 通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 【例题1】数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【例题2】观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式． (1)（    ），7，12，（    ），22，27，…； (2)，，（    ），，，，（    ），…； (3)1，，（    ），2，，（    ），，…； (4)，，（    ），，…． 【巩固练习1】数列1，，，…的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若数列的前4项分别是，则此数列一个通项公式为　　 A． B． C． D． 【巩固练习3】已知数列，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【题型4】由递推公式求数列的指定项 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 【例题1】数列满足，若，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【例题2】数列满足，则　　． 【巩固练习1】斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 【巩固练习2】已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【巩固练习3】（23-24高二上·广东中山·期中）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第行黑圈的个数为，则（    ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【题型5】利用Sn与an的关系求通项公式（三种类型） 与的关系式： ①当时，若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示. 类型一：符合时的通项 例如：为不含常数的二次函数模型，即（） 类型二：不符合时的通项 例如：为含常数的二次函数模型，即（） 类型三：以的形式出现 例如：…，也可以作差得出时 【例题1】已知数列的前n项和. (1)求的通项公式；(2)试判断1262是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 【例题2】已知数列的前项和，则数列的通项公式为 . 【例题3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列满足…，则 ． 【例题4】已知在数列中，，，则 . 【巩固练习1】（1）已知数列的前项和是，且，求的通项公式. （2）已知正项数列的前项和满足，求数列的通项公式. 【巩固练习2】若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高二上·山东·期中）已知数列的前项和为，则（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 【巩固练习4】已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 . 【巩固练习5】已知数列满足：（为正整数），则 ． 【巩固练习6】数列满足，则数列的通项公式为 . 【题型6】周期数列问题（七大类型总结） 1、数列的周期性：如果对所有的，都有= (k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列. 2、数列周期性问题的解题策略：解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3、周期数列总结 类型一、邻项等和 若相邻m项的和为定值，则数列的周期是m 例如：①T=2；②T=3 类型二、邻项等积 若相邻m项的乘积为定值（非零），则数列的周期是m． 例如：①T=2；②T=3 类型三、项数错号等值 ①，则T=6； ②，，则T=6 类型四、一次分式型： （1）T=2 若，则T=2． 例如：①；②；③；④ （2）T=3 若，则T=3． 例如：①；② ； ③；④；⑤ （3）T=4 若，则T=4． （4）T=6 若，则T=6． 特别的，若且则T=6． 例如：① T=6 ② T=6 ③ T=6 ④ T=6 【例题1】设数列满足，，则　　 A．2 B． C． D． 【例题2】数列满足，则的值为　　 A．2 B． C．3 D．1 【例题3】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在数列中，，，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例题4】若数列满足，，则 ， ． 【巩固练习1】已知数列的前项和为，且满足，，，则　　 A． B． C． D． 【巩固练习2】在数列中，，，且任意连续三项的和为9，则　　． 【巩固练习3】已知数列满足且，则（    ） A．3 B． C．-2 D． 【巩固练习4】（24-25高二上·江苏盐城·期中）若数列满足，若，则的值为 【题型7】数列的单调性问题 数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 1．数列与函数的区别和联系： 数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点； 函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线. 2．判断数列增减性的方法 (1)作差比较法： ①若恒成立，则数列是递增数列； ②若恒成立，则数列是递减数列； ③若恒成立，则数列是常数列． (2)作商比较法： ①若，则 当时，数列是递增数列； 当时，数列是递减数列； 当时，数列是常数列． ②若an＜0，则 当时，数列是递增数列； 当时，数列是递减数列； 当时，数列是常数列． 【例题1】下列数列是递减数列的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是 . 【例题3】（23-24高二下·青海海西·期中）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题4】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题5】首项为正数的数列满足，若对一切，都有，则的取值范围 ． 【巩固练习1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 【巩固练习4】已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8】确定最大（小）的项 求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． (2)可以利用不等式组找到数列的最大项； 利用不等式组找到数列的最小项． 【例题1】已知数列的通项公式是，判断该数列的单调性，并求出这个数列的最小项． 【例题2】已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项. 【例题3】（高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知数列的通项公式为，则当最小时，（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【巩固练习2】已知数列的通项公式是，试问数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 【巩固练习3】已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型9】累乘法求通项公式 型如的数列递推关系可以利用累乘法求通项公式，其中可能为常数，分式等 【例题1】已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知，则数列的通项公式是 ． 【巩固练习1】数列中，，（为正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 所以 【巩固练习2】已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知数列满足，则数列的通项公式是　　． 【题型10】累加法求通项公式（4种类型，涉及裂项，不涉及求等差等比求和公式） 型如的数列递推关系可以利用累乘法求通项公式，其中可能为常数，分式，对数型函数，一次函数，指数函数，根式等 【例题1】数列满足，则　　． 【解答】解：数列中，， ，累加可得，． 【例题2】在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，且，则 . 【例题4】已知数列满足，，则 . 【巩固练习1】已知数列满足：，则________ 【巩固练习2】根据条件，确定数列的通项公式．，； 【巩固练习3】已知数列满足，，则的通项为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【巩固练习4】在数列中，已知，且，则 ． 【巩固练习5】已知数列满足，，求. 【题型11】递推数列的实际应用 【例题1】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（    ） A．18 B． C． D． 【例题2】代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：今携一壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮半斗.注：古代一斗是10升.大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒6升，将李白在第5家店饮酒后所剩酒量是（    ） A．37升 B．21升 C．26升 D．32升 【巩固练习1】（23-24高三上·全国·开学考试）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（    ） A．324 B．297 C．256 D．168 【巩固练习2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（    ） A．18 B． C． D． 【巩固练习3】生物学家在研究植物的生长过程中，发现某种树苗的生长规律为：树苗在第1年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这个规律生长，则第10年的树枝条数为（    ） A．56 B．55 C．54 D．34 【题型12】斐波那契数列（十大性质总结） 斐波那契数列本来也属于递推数列的实际应用，但是其比较特殊，所以单独作为一类题型，而且2024新高考一卷的单选压轴也涉及到了斐波那契数列 【斐波那契数列性质总结】 性质1、前n项和： 性质 2、奇数项和： 偶数项和： 性质3、平方性质： 平方和性质： 性质4、中项性质： 性质5、余数列周期性： 被2 除的余数列周期为3：1，1，0，．．．．．．． 被3 除的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，．．．．．．． 被 4 除的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0， ．．．．．．． 性质 6、斐波那契不等式： 性质7、质数数量： 每3个连续的数中有且只有1个能被2整除； 每4个连续的数中有且只有1个能被3整除； 每5个连续的数中有且只有1个能被5整除； 性质8、两倍数关系： 性质9、下标为3 的倍数的项之和： 性质10、是等比数列 【例题1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列1，1，2，3，5，8其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”，则下列各式中正确的选项为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二下·四川成都·期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．已知数列，，，（），记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，若，则等于（    ） A．14 B．13 C．89 D．144 【巩固练习2】（23-24高二下·广东佛山·期中）（多选）数列1，1，2，3，5，8，13…是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在他写的《算盘全数》中提出的，所以它常被称作斐波那契数列．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为，其前项和为，则（    ） A． B．是偶数 C． D． 【巩固练习3】意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，在1202年著的《计算之书》引入“兔子数列”（即斐波那契数列），“兔子数列”满足，给定前2项均为1的“兔子数列”，记其前项和为，试用含的代数式表示= ． 【巩固练习4】（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的为（   ） A． B．对恒成立 C． D． 【巩固练习5】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（    ） A．2023 B．2024 C．1 D．2 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$