精品解析：辽宁省锦州市黑山县2024-2025学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

2024—2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 （考试时间90分钟，试卷总分100分） 一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，本题共16分．) 1. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：A． 2. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形综合．熟练掌握矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定，是解题的关键． 根据矩形的判定，菱形的判定，以及平行四边形的性质定理逐一判定即得． 【详解】解：由作图知，， ∵， ∴， 在平行四边形中，当时， ， ∴四边形不一定是矩形， 故A不符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故B符合题意； 当时， 平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故C不符合题意； 当时， 平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形不一定是菱形， 故D不符合题意； 故选：B． 3. 如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ） x … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，根据一元二次方程的解的定义即可得解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，当时，；当时，； ∴方程的根是，， 故选：C． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 5. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键．画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 一共有种等可能的情况，小灯泡发光的情况有种， ∴小灯泡发光的概率是：， 故选：C 6. 某同学现有一装有若干个黄球的袋子，为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个白球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取70个，其中白球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（ ） A. 200 B. 180 C. 240 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，理解概率＝所求情况数与总情况数之比是解答关键． 设黄球的数量为，根据题意可得，解方程并检验方程的根即可． 【详解】解：设黄球的数量为， 根据题意得， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， 所以袋子中黄球的数量约为个. 故选：B． 7. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键． 由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，由菱形对角线的性质可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 故选：A． 8. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（ ） ①；②四边形是菱形；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，再由，，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， AI 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故①符合题意； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故②符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 同理可得， ∴故③符合题意； 在和中， ， ， ， ，， ∴ ，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 二．填空题（本题共8个题，请将正确的答案填写在横线上．每小题2分，本题共16分．） 9. 一元二次方程的一次项系数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：化为一般式：， ∴一次项系数为， 故答案为：． 10. 若是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键是熟练的掌握一元二次方程根的性质，整体代入法求代数式的值，是解题的关键． 根据方程根的定义，得出，把原式变形即可得出答案． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 11. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去1个边长相等的小正方形，然后将纸板沿虚线折起，做成1个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分别表示底面长方形的长和宽，再根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为，则该无盖纸盒的底面是一个两邻边长分别为的长方形， ∴， 故答案为：． 12. 在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种小麦发芽的概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为． 故答案为：． 13. 方程的两根恰为一直角三角形的两边长，则此三角形的斜边长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的解法以及勾股定理的综合应用．通过解一元二次方程求出直角三角形的两边的长，然后分两种情况计算是解题关键． 【详解】解：解方程得，， 当为斜边时，斜边长为， 当为直角边时，斜边长为， 故答案为：或． 14. 如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为________．     【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图，        ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴在中，， ∵分别是的中点， ∴． 故答案为：． 15. 庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有___________队参加比赛 【答案】10 【解析】 【详解】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数=45场，依此等量关系列出方程求解即可． 解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场， 根据题意列出方程得：=45， 整理，得：x2-x-90=0， 解得：x1=10，x2=-9（不合题意舍去）， 所以，这次有10队参加比赛． 答：这次有10队参加比赛． 本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2． 16. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到． 【详解】解：当时，设，则， ∵沿翻折得， ∴， 在Rt△ABE中由勾股定理可得：即， 解得：； 当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H， ∵AH⊥，， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴， 在△ABE和△AHE中， ∴△ABE≌△AHE（AAS）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 综上所述，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可． 三、解答题（本题共2个题．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．17题20分；18题8分；计28分．） 17. 解方程：(用适当的方法解方程) （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：，即：， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， 则 ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：，即： ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：，即， ∴或， ∴，． 18. 在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． （1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； （2）若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 【答案】（1） （2）列表如下： n m 3 4 5 6 4 5 6 7 总共有16种等可能结果，其中都是该方程的解的有4种结果， 故小明获胜的概率为：； ，中有不是该方程的解的结果有12种， 故小张获胜的概率为， 所以，小明获胜的概率大，此游戏不公平． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；正确列出表格是解题的关键． （1）先解方程，根据概率公式即可得出概率； （2）列出表格，分别计算出小明和小张获胜的概率，比较即可． 【小问1详解】 解：当代数式的值为时， ， 解得，， ∴从甲袋摸出一个小球，共有4种等可能结果，其中小球上的数字使代数式的值为0的有2种结果，其概率为：； 【小问2详解】 略 四、解答题（本题共2个题，19题10分，20题每8分，计18分．） 19. “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为 （2）售价应降低3元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2017年及2019年“阳光玫瑰”的种植面积列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，根据总利润、每千克的利润、销售数量的关系列出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可． 【小问1详解】 解：设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x， 依题意可得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 20. 如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． （1）、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； （2）、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 【答案】（1）5秒 （2）从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题，一元一次与一元二次方程的应用，勾股定理； （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； 【小问2详解】 解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 五、解答题（本题共2个题，21题10分，22题12分，计22分．） 21. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求AB的长． 【答案】（1） 证明:∵四边形是矩形 ∴ ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）根据矩形性质求出，可得，证明，得，所以得平行四边形，进而可以解决问题； （2）根据菱形性质求出，在中，由勾股定理得，根据，进而可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵，， ∴在中，由勾股定理得， ∵， ， ∴， ∴ 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 【答案】 【数学思考】证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 【解决问题】； 【拓展研究】或 【解析】 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当的延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 【详解】数学思考：略 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 （考试时间90分钟，试卷总分100分） 一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，本题共16分．) 1. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是菱形 3. 如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ） x … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某同学现有一装有若干个黄球的袋子，为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个白球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取70个，其中白球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（ ） A. 200 B. 180 C. 240 D. 150 7. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 12 D. 6 8. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（ ） ①；②四边形是菱形；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本题共8个题，请将正确的答案填写在横线上．每小题2分，本题共16分．） 9. 一元二次方程的一次项系数为_______． 10. 若是方程的一个根，则的值为_______． 11. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去1个边长相等的小正方形，然后将纸板沿虚线折起，做成1个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为_______． 12. 在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到） 13. 方程的两根恰为一直角三角形的两边长，则此三角形的斜边长为______． 14. 如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为________．     15. 庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有___________队参加比赛 16. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形． 三、解答题（本题共2个题．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．17题20分；18题8分；计28分．） 17. 解方程：(用适当的方法解方程) （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． （1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； （2）若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 四、解答题（本题共2个题，19题10分，20题每8分，计18分．） 19. “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 20. 如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． （1）、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； （2）、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 五、解答题（本题共2个题，21题10分，22题12分，计22分．） 21. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求AB的长． 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $