16.3 二次根式的加减 解答题常考题型分类训练（8大题型66题）2024-2025学年人教版数学八年级下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第16章 16.3 二次根式的加减 解答题常考题型分类训练（8大题型66题）（原卷版） 题型1：同类二次根式（10题） 题型2：二次根式的加减运算（2题） 题型3：二次根式的混合运算（6题） 题型4：分母有理化（12题） 题型5：已知字母的值，化简求值（13题） 题型6：已知条件式，化简求值（9题） 题型7：比较二次根式的大小（4题） 题型8：二次根式的应用（10题） 题型1：同类二次根式（10题） 1．若最简二次根式和是同类二次根式．(1)求x，y的值．(2)求的平方根． 2．把二次根式与分别化成最简二次根式后，被开方数相同．(1)如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？(2)如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个？最大值为多少？有没有最小值？ 3．若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 4．已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值． 5．已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 6．已知二次根式．(1)求使得该二次根式有意义的的取值范围；(2)已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值；求与的乘积． 7．已知：，求的值． 8．阅读下面的解题过程：已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并，所以为正整数）．所以，所以． 又为正整数，所以为偶数，所以为奇数．所以当时，；当时，； 当时，．所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题：已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 9．如果最简二次根式与是同类二次根式．(1)求出a的值； (2)若a≤x≤2a，化简： 10．定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭根式，例如：与或与都是共轭根式．（1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）； ①一个根式的共轭根式是唯一的；②a，b均为正整数，若与是同类二次根式，则与也是共轭根式； ③若A与B是共轭根式，则A与也是共轭根式． （2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简． ________；________；________；________． （3）试找出的一个共轭根式，并验证其正确性． 题型2：二次根式的加减运算（2题） 11．计算：． 12．计算：(1)(2) (3) 题型3：二次根式的混合运算（6题） 13．计算：(1)； (2) ； (3) ； (4) ． 14．计算：(1)； (2)； (3)． 15．计算：(1) (2) (3) (4)已知 ，，求 16．计算：(1) (2) (3) (4) 17．计算(1)； (2)； (3)； (4)下面是小颖同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务： ………………………第一步① ………………………第二步 ………………………第三步 任务一：以上解答步骤中，第一步标①处的依据是 （将正确答案的序号填在横线处）； A．B． 任务二：以上解答步骤中，第步开始出现错误，具体错误是 ；任务三：请直接写出正确的运算结果． 18．计算：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型4：分母有理化（12题） 19．阅读下面内容：； ；． 试求：(1)；(2)；(3)；（为正整数）(4)． 20．阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我们知道平方差公式，当时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如． 任务：(1)化简：________．(2)计算：．(3)计算：． 21．在解决问题“已知，求的值”时，小华是这样解答的： 即：． 请你根据小华的解答过程，解决下列问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 22．阅读材料：黑白双堆，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解，如， ．像这样，通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化． 解决问题：(1)的有理化因式可以是_____________，分母有理化得_____________． (2)①已知，，求的值．②求的值． 23．已知，，(1)求和的值；(2)求的值． 24．阅读材料：像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 所以 所以 所以 所以 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：(1)的有理化因式是 ； (2)比较大小: ;(3)若，求的值． 25．阅读材料：像；； …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 解答下列问题：(1)①比较大小： （填，或） ②已知，，则的值为 ；(2)已知正整数a，b满足，求a，b的值． (3)化简：． 26．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ∵，∴， ∴，， ∴，， ∴． 请你根据小明的解析过程，解决如下问题：(1) ；(2)化简：； (3)若，求的值． 27．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖，双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如： ；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化，解决问题：(1)的有理化因式是_______，分母有理化得________； (2)比较大小：__________（用“”“”或“”填空）； (3)计算：． 28．综合运用：细心观察图形，分析各式，解答下列问题：（是的面积）；（是的面积）；（是的面积）；… (1)请用含有（为正整数）的式子填空： ， ； (2)在线段中，长度为正整数的线段共有________条； (3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了2，请仿照这种方法求的值． 29．北师大教材第48页中提到：我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．请仿照这种方法解决下列问题：(1)化简：，； (2)化简：； (3)比较与大小，并说明理由． 30．材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：；材料二：根式化简； ．根据以上材料，请完成下列问题：(1)_______；（直接写结果）(2)计算：；(3)计算：； (4)计算：． 题型5：已知字母的值，化简求值（13题） 31．先化简，再求值，已知，求代数式的值； 32．已知，求的值． 33．先化简，再求值．已知，求的值． 34．已知， 求的值．（用两种不同的方法计算） 35．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的； (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 36．2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓．(1)制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ (2)当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ 37．在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知，求的值．经过讨论，他们是这样解答的： ，即， ，即． ． 请你根据他们的分析过程，解决下列问题：(1)若，求的值； (2)若，求的值． 38．求代数式的值，其中．如图所示的是小亮和小芳的解答过程： (1)_________的解法是错误的；(2)求代数式的值，其中． 39．设的整数部分为，小数部分为，试求的值． 40．已知，(1)求的值 (2)若的小数部分为，的小数部分为，求的值． (3)分母有理化拓展运用： 41．阅读材料：像，（）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， ．(1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分）(3)若，求的值． 42．已知(1)①求代数式的值；②先化简，再求值：． (2)若的小数部分为的整数部分为．化简求值：． 43．化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，，(1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 题型6：已知条件式，化简求值（9题） 44．已知，求的值． 45．已知，求的值． 46．（1）若，求；（2）若，求的值． 47．已知：，，且，求的值． 48．（1）已知，求代数式的值．（2）已知实数满足，求的值． 49．已知 ，，求的值． 50．【问题背景】已知 ，求 的值． 【问题解决】（1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】（2）已知 ，求 的值；（3）已知，求 的值． 51．已知 ，且 为奇数，求的值． 52．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： ； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 题型7：比较二次根式的大小（4题） 53．对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最大的数， 如．(1)求的值；(2)求的值． 54．比较大小：①_____ ②___ 55．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 56．综合与实践：观察下列等式：①； ②；③；…… 解答下列问题：(1)化简：__________，__________．(2)比较和的大小． (3)计算： 题型8：二次根式的应用（10题） 57．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形．(1)求矩形木板的面积；(2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______；(3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 58．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．(1)长方形的周长是多少？(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？ 59．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．(1)物体从的高空落到地面的时间 s；(2)若物体从高空落到地面的时间为3s，则从高空落到地面的高度＝ m；(3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度（m），某质量为的鸡蛋经过后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的动能） 60．如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 61．阅读理解：转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的：解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程． 解：两边平方得：．解得：，经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根．原方程的根是． 解决问题：(1)已知关于的方程有一个根是，那么的值为____； (2)仿照以上方法，解方程：； (3)代数式的值能否等于8？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 62．在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考：． (1)填空：________；________．(2)试猜想与的大小，并说明理由．(3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 63．【激活经验】小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整：特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】______（，且n为整数） 【应用规律】（1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 64．【观察发现】∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】（1）化简： ；（2）形如可以化简为，即，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得 ， ； （3）若，且x，y均为正整数，求x的值； 【解决问题】（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据）； 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 型号 长 宽 高 A型 B型 C型 65．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？(4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 66．“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】（1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第16章 16.3 二次根式的加减 解答题常考题型分类训练（8大题型66题）（解析版） 题型1：同类二次根式（10题） 题型2：二次根式的加减运算（2题） 题型3：二次根式的混合运算（6题） 题型4：分母有理化（12题） 题型5：已知字母的值，化简求值（13题） 题型6：已知条件式，化简求值（9题） 题型7：比较二次根式的大小（4题） 题型8：二次根式的应用（10题） 1．若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求x，y的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，求一个的平方根，算术平方根，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）首先由二次根式被开方数为2，可知，据此求出的值；再根据同类二次根式的定义可得，将的值代入计算即可解答； （2）先求出，则，故可求5的平方根． 【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得，解得． 又， 把代入解得． （2）解：， ∴， ∴5的平方根为：． ∴的平方根为． 2．把二次根式与分别化成最简二次根式后，被开方数相同． (1)如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？ (2)如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个？最大值为多少？有没有最小值？ 【答案】(1)符合条件的正整数的值为5，15，21 (2)如果是整数，那么符合条件的有无数个．其中的最大值为21，没有最小值． 【分析】本题考查的是最简二次根式的意义及同类二次根式的意义，根据本题的特点，当a为正整数时，a的取值是有限的，当a为整数时，a的取值是无限的，掌握知识点是解题关键． （1）由于a是正整数，所以可得此时的情况有，，三种； （2）当a是整数时，除了（1）中的三种情况，还可以列出无数种，所以此时a值有无数个，没有最小值，最大值是21． 【详解】（1），且与的被开方数相同， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（不合题意，舍去）． 符合条件的正整数的值为5，15，21． （2）由（1），得当时，； 当时，； …… 如果是整数，那么符合条件的有无数个． 其中的最大值为21，没有最小值． 3．若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，解二元一次方程组，求解代数式的值，根据同类二次根式的定义得到是解题的关键． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， ∴． 4．已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，最简二次根式和同类二次根式的定义，根据题意可知最简二次根式与是同类二次根式，则，可得，根据算术平方根和立方根的定义可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∵b的算术平方根为2，c是8的立方根， ∴， ∴． 5．已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得． 【详解】解：最简二次根式与可以合并，， 且、， 则①，②，③， 将①、②代入③，得：， 解得：， 、， ． 6．已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案； 根据所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可； 本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2） ， ∵与可以合并， ∴， 解得：； 由得：， ， ． 7．已知：，求的值． 【答案】 【分析】根据完全平方公式和平方数的非负性，即可求出和的值，最后利用求出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是完全平方公式、同类二次根式合并以及平方数的非负性．解题的关键在于观察式子，巧妙运用完全平方公式． 8．阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 【答案】1，21，61（答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可． 【详解】解： 与能合并， 为正整数）， ， ， 又为正整数， 为偶数， 为奇数， 当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）． 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 9．如果最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若a≤x≤2a，化简： 【答案】(1)3 (2)4 【分析】(1)根据同类二次根式的被开方数相等可列出方程，解出即可； (2)根据(1)可得3≤x≤6，再根据完全平方公式及去绝对值符号法则进行运算，即可求得结果． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴4a-5=13-2a， 解得a=3； （2）解：∵a≤x≤2a，a=3， ∴3≤x≤6， ∴ =4． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，去绝对值符合号法则，熟练掌握和运用各定义和法则是解决本题的关键． 10．定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭根式，例如：与或与都是共轭根式． （1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）； ①一个根式的共轭根式是唯一的； ②a，b均为正整数，若与是同类二次根式，则与也是共轭根式； ③若A与B是共轭根式，则A与也是共轭根式． （2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简． ________；________；________；________． （3）试找出的一个共轭根式，并验证其正确性． 【答案】（1）②；（2）；；；；（3） 【分析】（1）根据共轭根式的性质和同类二次根式的性质判断即可； （2）分别将各根式化简，从而找到共轭根式； （3）根据二次根式的混合运算即可找到并验证. 【详解】解：（1）①错误，例如根式，，， ∴原命题错误； ②正确，∵与是同类二次根式，则×=中，ab为平方数（式），即结果不含根式，故原命题正确； ③∵若A与B是共轭根式，令A=，B=，则， ，故原命题错误； 故答案为：②； （2）=，则共轭根式为：； =，则共轭根式为：； ，∵，则共轭根式为：； =，=1，则共轭根式为：； 故答案为：；；；； （3）的一个共轭根式为：， 验证： = = =4. 故验证正确. 【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了同类二次根式，二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是理解共轭根式的性质，结合所学二次根式的知识解答. 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，二次根式的性质，二次根式的加减运算．先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则，进行运算即可求解． 【详解】解： ． 12．计算下列各题： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，熟练掌握云散法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行合并同类二次根式； （2）先计算乘法，再计算减法； （3）先利用平方差和完全平方公式化简，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 13．计算下列各式： (1)； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式运算及实数的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的加减运算法则求出答案； （2）直接利用二次根式的混合运算法则求出答案； （3）直接利用二次根式的混合运算法则及平方差公式求出答案； （4）直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质、二次根式的性质分别化简即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 14．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的立方根，二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的除法，立方根计算即可． （2）根据二次根式的加减混合运算法则计算即可． （3）根据平方差公式，完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 15．计算： (1) (2) (3) (4)已知 ，，求 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序，注意平方差公式和完全平方公式的应用． （1）首先化简二次根式进而利用二次根式混合运算法则求出答案； （2））先算乘方、开方、去绝对值，再进行加减运算； （3）首先化简二次根式进而利用二次根式混合运算法则求出答案； （4）先求出，，再代入代数式即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3） （4）∵，， ∴， ∴ ． 16．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，二次根式的性质化简，乘法公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用完全平方公式展开以及运用二次根式性质化简，再合并同类项，即可作答． （2）先运用平方差公式展开，再运用二次根式除法，合并同类项，即可作答． （3）先进行二次根式的性质化简，再合并同类项，即可作答． （4）先进行二次根式的性质化简，求出立方根，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．计算 (1)； (2)； (3)； (4)下面是小颖同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务： ………………………第一步 ① ………………………第二步 ………………………第三步 任务一：以上解答步骤中，第一步标①处的依据是（将正确答案的序号填在横线处）； A．B． 任务二：以上解答步骤中，第步开始出现错误，具体错误是； 任务三：请直接写出正确的运算结果． 【答案】(1) (2) (3) (4)任务一：A；任务二：一；计算时，没有将“2”平方；任务三： 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式的混合运算的法则是解题的关键． （1）先化为最简二次根式，再合并即可； （2）先进行二次根式的除法运算，再化简即可； （3）根据平方差公式计算即可； （4）根据二次根式混合运算的法则进行分析并计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ， ； （4）任务一：以上解答步骤中，第一步标①处的依据是 故选：A； 任务二：以上解答步骤中，第一步开始出现错误，具体错误是计算时，没有将“2”平方； 故答案为：一；计算时，没有将“2”平方； 任务三： ． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)17 (3) (4)4 (5) 【分析】（1）由二次根式性质对各部分先化简，再由二次根式乘法运算及加减运算法则求解即可得到答案； （2））先由二次根式乘除法运算，再由二次根式性质化简，最后根据有理数减法运算求解即可得到答案； （3）先由完全平方差公式、二次根式乘法运算及二次根式性质化简，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案； （4）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算计算括号内的，最后由二次根式除法运算求解即可得到答案； （5）先由零指数幂、化简绝对值及分别计算，最后由二次根式加减运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及零指数幂、化简绝对值、、二次根式性质、二次根式加减乘除运算等知识，熟练掌握二次根式相关性质及运算法则是解决问题的关键． 19．阅读下面内容： ； ； ． 试求： (1)； (2)； (3)；（为正整数） (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算和分母有理化的应用，关键是掌握二次根式的运算法则． （1）分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可； （2）分子分母乘以，化简计算即可； （3）分子分母乘以，化简计算即可； （4）根据（3）的运算规律化简计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：原式 ． 20．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我们知道平方差公式，当时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如． 任务： (1)化简：________． (2)计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握运算方法与运算顺序是解本题的关键； （1）把分子分母都乘以即可得到答案； （2）把每一项都分母有理化，再计算二次根式的加减运算即可； （3）把每一项都分母有理化，再结合分配律计算二次根式的加减运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； 21．在解决问题“已知，求的值”时，小华是这样解答的： 即：． 请你根据小华的解答过程，解决下列问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据阅读材料，分子和分母同时乘上，再运用平方差公式展开，进行化简，即可作答． （2）根据阅读材料，分子和分母同时乘上，再运用平方差公式展开，进行化简，得，再整理，代入进行计算，即可作答． 本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，平方差公式，正确读懂题意，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解：， ∴ ． 22．阅读材料： 黑白双堆，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解，如， ．像这样，通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化． 解决问题： (1)的有理化因式可以是_____________，分母有理化得_____________． (2)①已知，，求的值． ②求的值． 【答案】(1)，； (2)①，② 【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可； （2）①将与分母有理化化简后代入原式计算即可得到结果． ②原式各项分母有理化，合并即可得到结果． 此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式可以是， ， 故答案为：，； （2）解：依题意，①， ， 则 ． ②依题意， ． 23．已知，， (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】（1），（2）30 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识点， （1）将x、y分别进行分母有理化，化简后再代入计算即可； （2）将转化为再代入计算即可； 熟练掌握分母有理化，二次根式的混合运算，完全平方公式的知识是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴，； （2） ， 由（1）知，，， ∴． 24．阅读材料：像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 所以 所以 所以 所以 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ； (2)比较大小: （填>， <， =， ≥或≤中的 一种）; (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)< (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化， 对于（1），根据有理化因式确定即可； 对于（2），先求出两个数的倒数，再比较即可； 对于（3），先把a分母有理化，再整体代入. 【详解】（1）因为， 所以的有理化因式为. 故答案为：； （2）因为， 显然， 又因为和都是正数， 所以． 故答案为：． （3）因为， 所以， 所以， 则， 即. 所以，原式． 25．阅读材料：像；； …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)①比较大小： （填，或） ②已知，，则的值为 ； (2)已知正整数a，b满足，求a，b的值． (3)化简：． 【答案】(1)①；②62 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法． （1）①根据题意得出，然后比较与的大小即可； ②先算出，，再将变形后代入求解即可． （2）先分母有理化，再移项变形得到，接着根据有理数和无理数的性质得到，然后解方程组即可． （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∵， ∴， ， 故答案为：． ②∵，， ∴， ， 则． （2）解：∵， ， 即， ， 解得：． （3）解： ． 26．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ∵，∴， ∴，，∴，， ∴． 请你根据小明的解析过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，因式分解的应用，二次根式的加减计算： （1）将所给式子进行分母有理化即可； （2）先证明，然后把所求式子裂项变形，再进行计算即可； （3）先分母有理化得到，则，据此可求出，再由得到原式，据此可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：（n为正整数）， ， ； （3）解： ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 27．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖，双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如： ；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化，解决问题： (1)的有理化因式是_______，分母有理化得________； (2)比较大小：__________（用“”“”或“”填空）； (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据题中的步骤进行有理化因式，分母有理化即可求解； （）将和进行分母有理化，然后作差值即可比较大小； （）将原式分母有理化，化简即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，的有理化因式是：； ， 故答案为：，； （2）解：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 28．综合运用：细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：（是的面积）； （是的面积）； （是的面积）；… (1)请用含有（为正整数）的式子填空： ， ； (2)在线段中，长度为正整数的线段共有________条； (3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了2，请仿照这种方法求的值． 【答案】(1)， (2)44 (3) 【分析】（1）根据已有的等式，抽象出相应的数字规律来求解； （2）根据边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数，分析2024最接近哪个正整数的平方即可求解； （3）先进行分母有理化，再进行计算求解． 【详解】（1）解： ， … ，． 故答案为：，． （2）解：线段、、、、的长度分别是，长度为正整数的数字分别为1，2，3，． ，， ． （3）解： ． 【点睛】本题考查了数学中的阅读能务，新定义的理解，二次根式的化简，分母有理化，探索数字规律，通过题干得到，是解答关键． 29．北师大教材第48页中提到：我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．请仿照这种方法解决下列问题： (1)化简：，； (2)化简：； (3)比较与大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算； （1）根据题意将式子分母有理化即可求解； （2）将原式的每一项分母有理化，进而即可求解； （3）计算，进而比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：①原式 ②原式 （2）解：原式 （3）解： 30．材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 31．先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，完全平方公式，先计算出，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： ， ， ． 32．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，运算法则，以及掌握平方差公式，和完全平方公式进行计算是解题关键．先化简后，求出，的值，再代入中计算即可； 【详解】解：， ， ， ， ∴ ． 33．先化简，再求值．已知，求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， ， ∴原式． 34．已知， 求的值．（用两种不同的方法计算） 【答案】 【分析】方法一，直接将代入代数式，根据完全平方公式及平方差公式计算，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案；方法二，先利用完全平方和公式配方，再将代入，根据完全平方公式及平方差公式计算，再由有理数减法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：方法一： 当时， ； 方法二： 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查整数的化简求值，涉及二次根式混合运算、完全平方公式、平方差公式等性质，熟练掌握完全平方公式及二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 35．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解： ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 36．2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓． (1)制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ (2)当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，二次根式的混合运算． （1）根据图形表示出彩纸的面积即可； （2）把与的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算即可求出值 ． 【详解】（1）解：根据题意，需要彩纸的面积为 ； （2）解：当，时． ． 37．在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知，求的值．经过讨论，他们是这样解答的： ，即， ，即． ． 请你根据他们的分析过程，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)11 【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照例题方法，先分母有理化求得m值，进而利用完全平方公式求得，然后代值求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【详解】（1）解：∵，即， ，即， ， 的值为2； （2）解：∵，即， ，即， ， ， 即的值为11． 38．求代数式的值，其中．如图所示的是小亮和小芳的解答过程： (1)_________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2)2027 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）由知，据此可得，从而做出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∴小亮的解法是错误的． （2）解：， ， 则原式 ． 39．设的整数部分为，小数部分为，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的化简求值，先对二次根式化简，再利用夹逼法求出的值，最后代入代数式计算即可求解，利用夹逼法求出的值是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即 ∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， ∴ ， ， ， ． 40．已知， (1)求的值 (2)若的小数部分为，的小数部分为，求的值． (3)分母有理化拓展运用： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，分母有理化： （1）先分母有理化求解的值，再求解的值，再把原式化为，再代入求值即可； （2）先判断，得到的值，再代入计算即可； （3）先分母有理化得到，再把所求式子裂项并计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ； （3）解：（n为正整数） ， ∴ ． 41．阅读材料：像，（）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先求得a值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ． 42．已知 (1)①求代数式的值； ②先化简，再求值：． (2)若的小数部分为的整数部分为．化简求值：． 【答案】(1)①；②2 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，无理数的估算： （1）①先分母有理化得到，，则，，再根据进行求解即可；②先化简原式得到，再代值计算即可； （2）先求出，进而根据无理数的估算方法求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴，， ∴，， ∴； ② ； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的小数部分为的整数部分为， ∴， ∴ ． 43．化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ， ． 44．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把所给条件式变形为，进而利用非负数的性质求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．已知，求的值． 【答案】当时，原式；当时，原式． 【分析】讨论：当，，利用因式分解的方法得到，解得，当，，则，解得，然后把，代入中进行分式的化简求解． 【详解】解： 要有意义，即， 且或且， 当且时， ， 或（舍去）， 解得：， 把代入得：； 当且时， ， （舍去）或， 解得：， 把代入得：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整式因式分解与二次根式有意义的条件是解题的关键． 46．（1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1）18；（2） 【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据提公因式、完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据完全平方公式把原式变形，计算即可． 【详解】解：（1），， ，， 则 ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、加法法则是解题的关键． 47．已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 48．（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 49．已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 50．【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，根据，代值求解即可； （2）同理（1）计算求解即可； （3）同理（1）可得，进而可求 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴的值为． （2）解： ， ∴， ∴的值为； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 51．已知 ，且 为奇数，求的值． 【答案】 【分析】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值． 【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得， 解得，且为奇数， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解． 52．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： ； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)m=2 (3) 【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可； （2）先求出再由进行变形再求值即可； （3）先得到，然后可得，最后由，求出结果 【详解】（1）原式 ， （2）∵a ，b ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴2， ∵m 是正整数， ∴m=2． （3）由得出， ∴， ∵， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 53．对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最大的数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）比较三个二次根式的大小，找出最大值即可； （2）先化简二次根式，再求三个数的平均值即可； 【详解】（1）解：， 又， ， ； （2）解：， ． 【点睛】本题考查比较二次根式的大小及二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 54．比较大小： ①_____ ②___ 【答案】①＜；②＜ 【分析】①利用作差法比较大小即可； ②利用分子有理化即可比较大小． 【详解】解：①－ = ∵ ∴＜0 ∴＜ 故答案为：＜； ②== == ∵＞ ∴ ∴＜ 故答案为：＜． 【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键． 55．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 【答案】(1)>； (2)，见解析． 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：>； （2）， 证明：， ， ， ， ． 56．综合与实践 观察下列等式： ①； ②； ③； …… 解答下列问题： (1)化简：__________，__________． (2)比较和的大小． (3)计算： 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，熟练的进行分母有理化是解本题的关键； （1）分子，分母分别都乘以，即可得到答案； （2）把化为，把化为，再进一步比较大小即可． （3）把原式化为：，再计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：． ． ， ， ． （3）解： ． 57．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算即可； （3）根据，，得出最多能截出5根这样的木条． 【详解】（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； （2）解：该矩形木料的长为： ； （3）解：∵， 又∵， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 58．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？ 【答案】(1) (2)经费不够用 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）用空白部分的面积乘以单价得出所需费用，再与经费比较即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为： ． 答：长方形的周长是． （2）由题意，知 ∵, ∴经费不够用． 59．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间 s； (2)若物体从高空落到地面的时间为3s，则从高空落到地面的高度＝ m； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度（m），某质量为的鸡蛋经过后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的动能） 【答案】(1) (2)45 (3)这个鸡蛋产生的动能是，对无防护人体具有杀伤力，启示我们要禁止高空抛物 【分析】本题考查了代数式的求值，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）将代入中计算，即得答案； （2）将代入，得到方程，解方程即得答案； （3）将代入，得到方程，解方程求得，然后根据物体质量高度（m），即可求得，再根据得出启示． 【详解】（1）解:当时，（s）； 故答案为：． （2）解:当时，， 解得； 故答案为：45． （3）解:当时，， 解得， （J）， ， 对无防护人体具有杀伤力，启示我们要禁止高空抛物． 60．如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． （1）由正方形的面积可得边长分别为和，再对二次根式进行化简即可； （2）先计算出原矩形木料的长为，再根据矩形的面积公式进行计算即可； （3）剩余矩形木料的长为，宽为，再和2进行大小比较即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为， 大正方形木板的边长为， 故答案为：，； （2）原长方形木料的长为，宽为， ， ∴原长方形木料的面积为； （3）不能，理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为， ∵， ∴这块正方形木板的边长不能为． 61．阅读理解： 转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的：解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： (1)已知关于的方程有一个根是，那么的值为____； (2)仿照以上方法，解方程：； (3)代数式的值能否等于8？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)不能；理由见解析 【分析】本题考查了学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键． （1）根据方程解的定义把代入方程，解关于a的无理方程即可； （2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解； （3）将原方程变形为，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， 两边平方得， 解得， 经检验，是方程的解； （2）解：， 两边平方得：， 整理得：， 解得：，， 经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根， ∴原方程的根是； （3）解：不能． ， 原方程变形得， 两边平方得， 整理得， 两边平方得， 此方程无解， ∴代数式的值不等于8． 62．在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)厘米 【分析】（1）将需要比较大小的两个数作差，其结构符合完全平方式，利用平方的非负性证明即可； （2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方公式及平方的非负性对猜想进行证明即可； （3）做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；． （2）猜想：． 理由：∵， ∴ ， ∴； （3）设，， ∵四边形为，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要厘米． 【点睛】本题考查平方的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题的关键，同时注意已证明结论的迁移应用． 63．【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 【答案】激活经验：；发现规律：；应用规律：（1）；（2）5 【分析】激活经验：由二次根式的运算规律即可得出答案； 发现规律：由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； 应用规律：（1）根据规律计算出结果即可； （2）先根据规律得出原式为，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：激活经验：由二次根式的运算规律可得： ； 发现规律：由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边； 应用规律： （1） ； （2） ， ∵结果的小数部分，即， ∴ 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化类，掌握二次根式的混合运算的方法以及所列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． 64．【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； （2）形如可以化简为，即，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得 ， ； （3）若，且x，y均为正整数，求x的值； 【解决问题】 （4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据）； 型号 长 宽 高 A型 B型 C型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）符合条件的包装纸箱型号有两种，选择C型号包装纸箱 【分析】本题考查二次计算与化简与应用， （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的、与、的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可； （4）先判断B，C两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可； 解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）∵，且a，b，m，n均为正整数， ∴， 即， ∴，， 故答案为：；； （3）∵，且x，y均为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴x的值为； （4）∵，， ∴底面积的饰品盒底面边长为， 底面积的饰品盒底面边长为， ∵，， ∴两个正方形的长之和：， ∴B，C两种型号的包装纸箱符合条件， B型号的包装纸箱的体积为：， C型号的包装纸箱的体积为：， ∵， ∴应选择C型号包装纸箱． 65．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 66．“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 【答案】已有认识：（1）2；（2）①，②，③；类比学习： 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，二次根式的应用及整式与几何图形面积的实际应用． 已有认识： （1）根据正方形面积公式，利用算术平方根的定义即可解答； （2）①根据图形用三个直角三角形的面积加上两个正方形的面积即可表示出面积；②用三个直角三角形的面积加上正方形的面积即可表示出面积；③根据两个图形的面积相等，建立等式，根据等式的性质即可解答 类比学习：根据材料设，仿照材料即可解答． 【详解】解：（1）， 也能将其看成是面积为2的正方形的边长； （2）①图1的面积为， ②图2的面积为． ③由此我们可以得到等式：，即； 类比学习： 设， 即， 由于x较小，可忽略不计，得：， ， ，即． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$