精品解析：浙江省钱塘联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

浙江省钱塘联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题 命题人：萧山五中 马春春； 审题人：德清一中 周凤琴 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 正数，满足，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知函数，记，则下列关于函数的说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 函数的最小值为 C. 函数在上单调递减 D. 若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或 二、多项选择题（每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列函数中，是偶函数且值域为的有（ ） A. B. C. D. 10. 受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.则下列结论中一定成立的是（） A. B. C. D. 11. 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的值域是； B. 任意且，都有； C. 任意且，都有； D. 规定，其中，则. 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 计算：____________. 13. 已知是定义域为的偶函数，在上为单调增函数，且，则不等式的解集为______． 14. 已知，集合，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围是____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合为全体实数集，集合或，． （1）若，求和； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，函数在上单调，求b的取值范围； （2）若的解集为，求关于x的不等式的解集． 17. 习近平总书记一直重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为400元. （1）当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润. （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 18. 已知是定义在上的函数，若满足且. （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明你的结论； （3）设函数，若对都有成立，求的取值范围. 19. 对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集，定义. （1）已知集合， （i）求的值，并用列举法表示； （ii）若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求的最小值（无需证明）； （2）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省钱塘联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题 命题人：萧山五中 马春春； 审题人：德清一中 周凤琴 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得集合B，利用交集概念即可得出答案. 【详解】 故，，即C正确. 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】“，”的否定是“，”. 故选：D 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据不等式性质分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项B：因为，则， 且，所以，故B正确； 对于选项C：例如，满足题意，但，故C错误； 对于选项D：若，则， 所以，故D错误； 故选：B. 5. 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性解不等式即可，注意函数的定义域. 【详解】因为是定义在上的增函数，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 6. 在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断. 【详解】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 7. 正数，满足，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，再用基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为为正数，且，所以有， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式“1”的妙用求最值问题，属于中档题. 8. 已知函数，记，则下列关于函数的说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 函数的最小值为 C. 函数在上单调递减 D. 若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中定义，结合分式不等式的解法、数形结合思想、一次函数与反比例函数的单调性逐一判断即可. 【详解】由，或， 由，或， 所以， 因此选项A正确； 当时，， 当时，， 当时， 当时，， 所以函数的最小值为，选项B正确； 当时，显然单调递增，选项C不正确； 函数图象如下图所示： 因为关于x的方程恰有两个不相等的实数根， 所以函数的图象与直线有两个不同的交点， 因此有或，因此选项D正确， 故选：C 【点睛】关键点睛：利用数形结合思想、转化法判断方程解的问题是解题的关键 二、多项选择题（每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列函数中，是偶函数且值域为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AD：根据值域即可排除；对于BC：根据偶函数的对于以及函数值域分析判断. 【详解】对于选项A：因为，即值域不为，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，且， 可知为偶函数， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可知的值域为，故B正确； 对于选项C：因为的定义域为，且， 可知为偶函数， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可知的值域为，故C正确； 对于选项D：当时，，即值域不为，故D错误； 故选：BC. 10. 受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.则下列结论中一定成立的是（） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别列出，，的表达式，根据基本不等式逐一判断即可． 【详解】由题意知：，所以，， ， 由基本不等式可得，所以， 所以故，当且仅且时等号全部成立. 故A选项正确，B选项错误 又由， 故易知，即C项正确； ，， 取，此时， 所以D选项不一定成立， 故选：AC． 11. 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的值域是； B. 任意且，都有； C. 任意且，都有； D. 规定，其中，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性就能判断AB；分别取特殊值代入即可验证C；对D由递推式得到的表达式即可判断. 【详解】对于A：当时，单调递增， 所以有， 因为，所以， 因此当时，； 因为是奇函数，所以当时，， 所以的值域是，故A正确； 对于B： 函数是增函数， 由A可知：奇函数在时，单调递增， ∴在时也单调递增，所以该函数是实数集上的增函数，故B正确； 对于C：当任意且时，令，则有 ，，显然， 因此不成立，故C不正确； 对于D：当时，， ， 于是有，因此，故D正确， 故选：ABD. 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 计算：____________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 13. 已知是定义域为的偶函数，在上为单调增函数，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集． 【详解】由题意可得在上为单调减函数，且， 则时，时，时或； 由可得或，则或， 故不等式的解集为． 故答案为：． 14. 已知，集合，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论整数解的正负性，结合二次函数性质列式求解. 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为，且， 当中有负整数时，若负整数小于等于， 根据对称性可知：也符合题意，此时整数集不止2个， 所以恰有2个整数只能为， 则，解得； 当中没有负整数时，则恰有2个整数， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合为全体实数集，集合或，． （1）若，求和； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）或，. （2） 【解析】 【分析】（1）利用补集及并集的定义运算即得； （2）分，讨论，根据条件列出不等式，解之即得. 【小问1详解】 当时，， 所以或，又或， 所以； 【小问2详解】 由题可得， 当时，则 ，即时，此时满足， ②当时，则，所以， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知函数． （1）当时，函数在上单调，求b的取值范围； （2）若的解集为，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据在区间上的单调性列不等式，由此求得的取值范围. （2）根据的解集求得的关系式，从而求得不等式的解集. 【小问1详解】 当时，的对称轴为， 由于函数在上单调， 所以或， 解得或， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 由于的解集为， 所以，即， 所以， 所以不等式，即， 所以，， 解得或，所以不等式的解集为. 17. 习近平总书记一直重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为400元. （1）当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润. （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】（1）该项目会获利，当时，S取得最大值 （2）当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 【解析】 【分析】（1）当时，由项目获利为求解； （2）根据题意求的解析式，结合二次函数以及基本不等式求解. 【小问1详解】 当时，该项目获利为S， 则， 当时，则，可得， 因此该项目会获利，当时，S取得最大值. 【小问2详解】 由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为： ， 当时，， 所以当时，取得最小值240； 当时， ， 当且仅当，即时，取得最小值200， 因为， 所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 18. 已知是定义在上的函数，若满足且. （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明你的结论； （3）设函数，若对都有成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 函数在上为单调递增，证明如下： 对任意，且， 则， 因为，则，， 可得，即， 所以函数在上为单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义和函数值求得，，即可得解析式； （2）根据题意结合函数单调性的定义分析证明； （3）根据题意分析可知，结合单调性可知在上有解，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【小问1详解】 因为，可知为奇函数， 则，即， 且，即， 则，且， 可知为奇函数，即，符合题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对都有成立，可知， 由（2）可知在单调递增，则， 可得在上有解，只需在上有解， 因为在内单调递减，在上单调递增， 且，可知在上的最小值为， 可得，解得，即实数的取值范围为. 19. 对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集，定义. （1）已知集合， （i）求的值，并用列举法表示； （ii）若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求的最小值（无需证明）； （2）证明：. 【答案】（1）①；；②4 （2） 由（1）可知：对于两个数集， 综上所述：当元素与数集的关系相同时，则， 可得； 当元素与数集的关系不同时，则， 可得； 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）分析可知当元素与数集的关系相同时，，不同时.①结合题意直接运算即可；②根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案； （2）结合（1）中结论分析证明即可. 【小问1详解】 对于两个数集， 若，则，即，； 若，则，即，； 若，则，即，； 若，则，即，； 综上所述：当元素与数集的关系相同时，，不同时. ①因为集合， 且，所以， 又因为，所以； ②对任意， 若元素与数集的关系相同时，且； 若元素与数集的关系不相同时，或； 若取到最小值，则， 当为的子集与的并集时，此时取到最小值4. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $