精品解析：福建省泉州市永春县第一中学2024-2025学年上学期 八年级期中考试数学卷

永春一中初二年级期中考试数学科试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（每题4分，共10题，共40分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了计算算术平方根，立方根，计算实数的减法，根据计算法则依次计算并判断 【详解】解：A.，故该项不正确； B.，故该项不正确； C.，故该项正确； D.，故该项不正确； 故选：C 2. 如图，已知，点B，F，C，E在同一条直线上，若，则线段的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的性质可知，进而可求得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等），牢记全等三角形的性质是解题的关键． 3. 如图表示三角形的分类，则表示的是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 三边都不相等的三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项法则，同底数幂乘法，积的乘方，幂乘方．掌握运算法则，准确计算是解题关键． 根据合并同类项法则，同底数幂乘法，积的乘方，幂乘方法则分别进行计算，最后确定答案即可． 【详解】A、∵与不是同类项，不能合并，∴A不正确； B、∵，∴B正确； C、∵，∴C不正确； D、∵，∴D不正确． 故选：B． 5. 如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法（ ） A. 选①去 B. 选②去 C. 选③去 D. 选④去 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据题意，运用“角边角”判定三角形全等即可求解． 【详解】解：小明选④去，可以运用“角边角”判定三角形全等，可以配一块完全一样的玻璃， 故选：D ． 6. 若，则m的值为（　　） A. -8 B. 2 C. -2 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，恒等原理等，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，恒等的两个代数式对应项系数相等，是求解的关键． 7. 若是某长方形的长和宽，且有，则该长方形面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】将所给两个式子作差可得，即可求长方行面积． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴长方行的面积为3， 故选：A． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理解题意，能灵活运用公式是解题的关键． 8. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、（-a+b）（-a-b）=a2-b2能用平方差公式计算，故选项A符合题意； B、（a+b）（a-2b）不符合平方差公式，故选项B不符合题意； C、（-a+b）（a-b）=-（a-b）（a-b），不能用平方差公式计算，故选项C不符合题意； D、（-a-b）（a+b）=-（a+b）（a+b），不能用平方差公式，故选项D不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键． 9. 在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，即可． 【详解】解：如图所示，满足题意的三角形共有4个； 故选C． 【点睛】本题考查网格中画全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 10. 对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数，把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为，，所以．若s，t都是“相异数”，其中，（，．，都是正整数），当时，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义下实数的混合运算，先用含x的式子表示出，再用含y的式子表示出，然后根据x和y的取值求出的最大值即可． 【详解】解：将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为， ， ， ； 将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，都是正整数， 最大为6时，最大， 此时， 故选：B． 二、填空题（每题4分，共6题，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 12. 要使多项式不含x的一次项，则p的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据多项式不含x的一次项，即含x的一次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵多项式不含x的一次项， ∴， ∴， 故答案为：4． 13. 如图，是等腰的顶角平分线，，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰的顶角平分线， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质． 14. 如图，已知，若以“”为依据证明，还要添加条件________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定； 根据全等三角形的判定定理可直接得出答案． 【详解】解：∵，， ∴若以“”为依据证明，还要添加条件， 故答案为：． 15. 若，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂除法的逆用即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂除法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． 16. 如图，在等边三角形内部有一点O，已知，，若用、、三条线段组成一个三角形，那么这个三角形的三个内角中的最大角的度数是________． 【答案】##66度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质； 将绕着点B逆时针旋转得到，连接．根据旋转的性质可得，，，则是等边三角形，可得，以、、为边的三角形为，然后求出，，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：如图：将绕着点B逆时针旋转得到，连接． ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴以、、为边的三角形为， ∵，， ∴，， ∴， ∴最大角度数为， 故答案为：． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算立方根及算术平方根以及绝对值，再计算乘法，最后计算加减法． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题考查了实数的混合运算，会求一个数的立方根及算术平方根以及化简绝对值是解题的关键． 18. 因式分解 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式，公式法进行因式分解是解题的关键． （1）提取公因式即可求解； （2）先提取负号得，再运用完全平方公式进行分解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平分公式展开、然后合并同类项、再算除法，最后代入求值即可解答． 【详解】解： = ； 当，时，原式=． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、整式化简求值等知识点，正确运用乘法公式是解题的关键． 20. （1）已知某数的平方根是和，的立方根是，求的平方根． （2）已知，求的值． 【答案】（1）（2）4 【解析】 【分析】（1）利用平方根和立方根的意义求a，b，再计算的平方根； （2）利用二次根式意义求出x和y值，代入求值． 【详解】（1）∵某数的平方根是和， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵4的平方根为， ∴的平方根是； （2）由题意得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，二次根式有意义的条件，求得相关字母的值是解题的关键． 21. 如图，在中，．和的平分线相交于点，交于点，交于点．求的周长． 【答案】8 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得BD＝DF，同理可得CE＝EF，然后求出△DEF的周长＝BC，代入数据即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 同理，． ∴的周长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记定义与性质并求出△DEF的周长＝BC是解题的关键． 22. 阅读下面的材料． 材料一：当时，，或． 材料二：把等式的左右两边交换位置后，得到，也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如． 所以在解方程时，可以把方程变形为，所以，或，所以，． 根据以上材料回答下列问题： （1）因式分解：________； （2）解方程：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了十字相乘法的应用； （1）根据十字相乘法可进行因式分解； （2）先根据十字相乘法对等号左边的式子进行因式分解，再利用材料二中的方法得到方程的解； （3）先根据十字相乘法对等号左边的式子进行因式分解，再利用材料二中的方法得到关于x、y的二元一次方程，然后分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， 当时，可得， ∴； 当时，可得， ∴， 综上，的值为或． 23. 综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． （1）【初步探究】请你探究线段之间的数量关系； （2）【全等模型】如图②，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为 ； （3）【类比探究】如图③，在中，，直线经过点A，E，D，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∵， ∴； （2） （3） ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形对应边相等即可得到结论； （2）证明，则，，即可得到； （3）证明，则，，由即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 即， 故答案为：； 【小问3详解】 略 24. 定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． （1）若，，求a，b的“和积数”c； （2）若，，求a，b的“和积数”c； （3）已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 【答案】（1）； （2）或； （3），有最小值为． 【解析】 【分析】（1）把，代入c中求值即可； （2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到c的值； （3）把a，c的值代入，化简得，分和两种情况讨论，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴a，b的“和积数”； 【小问2详解】 解：∵，且，， ∴, ∴． ∴或； 即或； 【小问3详解】 解：由题意，， ∵， ， ∴． ①若，式子变为． ∴b为任何数，不存在最小值； ②若，又， ∴， ∴， ∴ ． ∴当时，有最小值为． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用． 25. 在中，． （1）如图1，D、E分别在，的延长线上，；求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，点F在上，，求证：； （3）如图3，若，过点C作，连，在上取点G，使，连交于H，连，试探究线段、、之间满足的数量关系式，并给出证明． 【答案】（1） 证明：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图2，延长到G，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） ， 证明：在线段上取一点M，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）设，则，先求得，进而求得，从而得，即可得证； （2）如图2，延长到G，使得，连接，证明，得，再证明，即可证明结论成立； （3）在线段上取一点M，使得，证明得，从而证明得，进而证明，即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永春一中初二年级期中考试数学科试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（每题4分，共10题，共40分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，点B，F，C，E在同一条直线上，若，则线段的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 3. 如图表示三角形的分类，则表示的是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 三边都不相等的三角形 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法（ ） A. 选①去 B. 选②去 C. 选③去 D. 选④去 6. 若，则m的值为（　　） A. -8 B. 2 C. -2 D. -5 7. 若是某长方形的长和宽，且有，则该长方形面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 9. 在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数，把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为，，所以．若s，t都是“相异数”，其中，（，．，都是正整数），当时，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、填空题（每题4分，共6题，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 12. 要使多项式不含x的一次项，则p的值为______． 13. 如图，是等腰的顶角平分线，，则___________． 14. 如图，已知，若以“”为依据证明，还要添加条件________． 15. 若，则的值是_____． 16. 如图，在等边三角形内部有一点O，已知，，若用、、三条线段组成一个三角形，那么这个三角形的三个内角中的最大角的度数是________． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 因式分解 （1）． （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. （1）已知某数的平方根是和，的立方根是，求的平方根． （2）已知，求的值． 21. 如图，在中，．和的平分线相交于点，交于点，交于点．求的周长． 22. 阅读下面的材料． 材料一：当时，，或． 材料二：把等式的左右两边交换位置后，得到，也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如． 所以在解方程时，可以把方程变形为，所以，或，所以，． 根据以上材料回答下列问题： （1）因式分解：________； （2）解方程：； （3）若，求的值． 23. 综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． （1）【初步探究】请你探究线段之间的数量关系； （2）【全等模型】如图②，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为 ； （3）【类比探究】如图③，在中，，直线经过点A，E，D，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． 24. 定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． （1）若，，求a，b的“和积数”c； （2）若，，求a，b的“和积数”c； （3）已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 25. 在中，． （1）如图1，D、E分别在，的延长线上，；求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，点F在上，，求证：； （3）如图3，若，过点C作，连，在上取点G，使，连交于H，连，试探究线段、、之间满足的数量关系式，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $