3.1.1椭圆及其标准方程（共两课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 课堂引入 新课探究 典例分析 课本练习 问题1 : 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个什么图形？ 截口曲线是一个圆. 问题2 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角,那么会得到怎样的曲线呢? 抛物线、椭圆和双曲线 (统称为圆锥曲线) 了解椭圆 实验操作 1 (1)取一条定长的细绳； (2)把它的两端都固定在图板的同一点处； (3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆． （一）实验探究，形成概念 如果将圆心从一点“分裂”成两点，即 (1)把细绳的两端固定在纸上的两点F1、F2 (2)用笔尖（M）把细绳拉紧，在纸上慢慢移动看看画出的图形 实验操作 2 思考：观察画椭圆的过程，哪些量在变，哪些量没有变？ 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆， 这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距， 焦距的 称为半焦距. 常数(大于|F1F2|) 两个定点 两焦点间的距离 一半 椭圆定义： 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 椭圆定义： 注: 1、两个定点间的距离--- | F1F2 |=2c 2、与两个定点F1,F2的距离的和等于常数---| MF1 |+|M F2 |=2a 3、2a>2c (1)若2a>2c,即|PF1|+|PF2|>|F1F2|, P点轨迹为椭圆. (2)若2a=2c,即|PF1|+|PF2|=|F1F2|, P点轨迹为线段. (3)若2a<2c,即|PF1|+|PF2|<|F1F2|, P点轨迹不存在. (二)研讨探究，推导方程 求到两个定点F1、F2的距离和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹方程。 思考：求轨迹方程的几个步骤？ (二)研讨探究，推导方程 思考： 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系 才能使椭圆的方程更简单？ 求到两个定点F1、F2的距离和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹方程。 由||=得，、 (二)研讨探究，推导方程 设M(x, y)是椭圆上任意一点 求到两个定点F1、F2的距离和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹方程。 由||=得，、 (二)研讨探究，推导方程 设M(x, y)是椭圆上任意一点， 求到两个定点F1、F2的距离和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹方程。 由||=得，、 因为 (二)研讨探究，推导方程 设M(x, y)是椭圆上任意一点， 求到两个定点F1、F2的距离和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹方程。 由||=得，、 因为 化简得： 令得 推导过程 两次平方去根号法 第一次平方 第二次平方 两边同时除以，可得更简洁的椭圆方程： 思考：焦点在y轴上呢？ ①焦点在x轴上得到的等式 ②焦点在y轴上得到的等式 (二)研讨探究，推导方程 椭圆的标准方程相关概念 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 三者之间 的关系 焦点位置 的判断 O x y O x y “谁大在谁家” 、 、 椭圆的标准方程相关概念 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 几何意义 ------ 、、、 ------ 、 ------ P P A B A B 题型一 椭圆的定义 跟踪训练1　下列说法中正确的是 A.到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B.到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D.到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 √ 题型二 椭圆的标准方程 例1、已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点 ,求它的标准方程. 方法一： 由椭圆的定义知椭圆的焦点在x轴上，且c＝2， 所以b2＝a2－c2＝10－4＝6. 例1、已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点 ,求它的标准方程. 方法二： 设所求椭圆方程为 由椭圆的定义知椭圆的焦点在x轴上，且c＝2， 由题意得： 解得： 例1变式1: 两个焦点的坐标分别是(-4，0),(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10. 因为焦点在x轴上,所以设它的标准方程为: 例1变式2： 求经过两点 (3,),(,-2)的椭圆方程. 解:设椭圆的方程为: ∴ 解得: ∴所求椭圆的方程为: =1 总 结 求椭圆方程的一般步骤： 题型三 已知椭圆方程求参数 例1：已知方程 分别求方程满足下列条件的m 的取值范围. (1)表示一个圆； (2)表示焦点在 x 轴上的椭圆； (3)表示焦点在 y 轴上的椭圆； (4)表示一个椭圆 题型四 焦 点 三 角 形 问 题 题型五 椭圆的轨迹方程 例2、如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M 的轨迹是什么？为什么？ 思考： 由 例2 我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆． 你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？ 由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？ 例3：设A,B两点的坐标分别为(－5,0)，(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为 ，求点M的轨迹方程. 设点M的坐标为（x,y)，因为点A（-5，0），所以 同理BM的斜率为： 由已知，有 化简得 即点M的轨迹是去掉A,B两点的椭圆. 复习引入 典例分析 新课探究 课本练习 2a＝＋＝2， 所以a＝. 所以，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 例2 P为椭圆 上的一点，F1，F2为焦点. (1)求△F1PF2的周长； (2)求|PF1|·|PF2|的最大值； (3)若|PF1|·|PF2|=12，求∠F1PF2； (4)若∠F1PF2＝60°，求|PF1|·|PF2|； (5)若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积； (6)若△F1PF2的面积为3，求P坐标，求△F1PF2内切圆半径； (7)求|OP|最值； (8)求|PF1|最值． $$