精品解析：河北省石家庄市第四十二中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

石家庄市第42中学教育集团2024-2025学年度第一学期期中考试 初二年级 数学试卷 注意事项：本试卷共100分，考试时间90分钟．请将选择题的答案填涂在机读卡上，非选择题写在答题纸上． 一、选择题（本大题共16个小题，第1-10题，每小题3分；11-16题，每小题2分；共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 如果，那么 C. 钝角三角形中有两个锐角 D. 如果两个角是直角，那么它们相等 4. 若分式的值为0，实数应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 5. 下列说法正确的是（ ） A. 1.8和1.80的精确度相同 B. 5.7万精确到0.1 C. 精确到百位 D. 6.610精确到千分位 6. 在，，，0，，0.3232232223，5.212112112…（相邻的两个2之间的1的个数逐次加1）中无理数个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 下列说法正确的是（ ） A. 立方根等于本身的数是0和1 B. 的平方根是 C. 的算术平方根是 D. 是最简二次根式 8. 若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A. 3 B. 7 C. 9 D. 63 9. 如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　） A. B. C. 1+ D. +2 10. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 11. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分，则破损部分的式子可能是（ ） 化简： √ A. B. C. D. 12. 如图，数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 13. 我校组织八年级1078名学生去红安青少年综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动，工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住x名学生，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 15. 已知一个三角形三边的长分别为6，8，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. 20 B. 18 C. 17 D. 15 16. 题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 二、填空题（共4小题，第17，18题，每小题3分；19，20题，每小题2分，共10分） 17. 已知是的整数部分，是它的小数部分，则的值为_________． 18. 如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 19. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为12和27，则阴影部分的周长为_________． 20. 对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. （1）解方程：． （2）先化简代数式，再从，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 23. 阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． （1）化简m，n； （2）求的值． 24. 解决问题 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为_____，大正方形的边长为_____． 【知识迁移】 （2）设钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；边长为_____． 【拓展延伸】 （3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 25. （1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第42中学教育集团2024-2025学年度第一学期期中考试 初二年级 数学试卷 注意事项：本试卷共100分，考试时间90分钟．请将选择题的答案填涂在机读卡上，非选择题写在答题纸上． 一、选择题（本大题共16个小题，第1-10题，每小题3分；11-16题，每小题2分；共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用相反数的定义：两数只有符号不同，即可得出答案． 【详解】解：的相反数是； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键． 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 如果，那么 C. 钝角三角形中有两个锐角 D. 如果两个角是直角，那么它们相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键． 先写出逆命题，后逐一判断正误即可． 【详解】解：A．选项逆命题为：若，则，则该逆命题是真命题，故A符合题意； B．选项逆命题为：如果，那么，根据和可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．选项逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．选项逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，两相等的角可以是非直角，可得该逆命题是假命题，故D不符合题意． 故选：A． 4. 若分式的值为0，实数应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于及分式的值为的条件列出不等式，解之可得； 【详解】解：因为分式的值为0，所以且， 解得，且a≠2， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不等于；解题关键熟记分式有意义的条件． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 1.8和1.80的精确度相同 B. 5.7万精确到0.1 C. 精确到百位 D. 6.610精确到千分位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了近似数，科学记数法；近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．据此逐一判断选项即可 【详解】A、 1.8和1.80的精确度不相同，故该选项错误； B、5.7万精确到千位，故该选项错误； C、精确到十位，故该选项错误； D、6.610精确到千分位，故该选项正确 故选D 6. 在，，，0，，0.3232232223，5.212112112…（相邻的两个2之间的1的个数逐次加1）中无理数个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义依次判断即可. 【详解】解：，含有π，是无限不循环小数，属于无理数；，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；，开不尽方，属于无理数；0.3232232223是有限小数，属于有理数；5.212112112…（相邻的两个2之间的1的个数逐次加1），是无限不循环小数，属于无理数；无理数有：，，5.212112112…（相邻的两个2之间的1的个数逐次加1）共3个，故选C． 【点睛】本题是对无理数定义的考查，熟练掌握无理数的定义是解决本题的关键. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 立方根等于本身的数是0和1 B. 的平方根是 C. 的算术平方根是 D. 是最简二次根式 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根以及最简二次根式等知识点，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解．掌握相关结论即可． 【详解】解：立方根等于本身的数是0和，故A错误； ∵，∴的平方根是，故B错误； ∵，∴的算术平方根不是，故C错误 是最简二次根式，故D正确； 故选：D 8. 若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A. 3 B. 7 C. 9 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即整数的意义判断解答． 【详解】解：∵63=7×9， ∴， ∵是整数， ∴正整数n的最小值是7， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键． 9. 如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　） A. B. C. 1+ D. +2 【答案】C 【解析】 【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为，所以AB=，而AB=AE，得AE=，A点的坐标为1，故E点的坐标为+1． 【详解】∵面积为7的正方形ABCD为7， ∴AB=， ∵AB=AE， ∴AE=， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为+1， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出AB=AE=． 10. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：∵，点D，E分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 11. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分，则破损部分的式子可能是（ ） 化简： √ A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．根据题意残损部分的式子为，再计算即可． 【详解】解：残损部分的式子为 ． 故选：A． 12. 如图，数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键．先得出，， 然后再根据实数与数轴可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴A. B两点之间表示整数的点共有：2，3，4，5一共有4个． 故选：B 13. 我校组织八年级1078名学生去红安青少年综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动，工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住x名学生，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”列方程即可。 【详解】解：由原计划每间宿舍住x名学生，原来所用房间数为，实际所用房间数为． ∴所列方程为． 故选：C． 14. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，，求出和，根据和矩形的面积相等，进行求解． 【详解】解：点E为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证， ， ， ， 故选：C． 15. 已知一个三角形三边的长分别为6，8，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. 20 B. 18 C. 17 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据三边关系，即可求出a的取值范围，再求出分式方程的解，利用分式方程的解为非负数建立不等式，即可求出a的范围，注意分母不能为0．最后综合比较即可求解． 【详解】解：∵一个三角形三边的长分别为6，8，a， ∴8−6＜a＜8＋6．即：2＜a＜14， ∵， ∴y＝6−a， ∵解是非负数，且y≠3， ∴6−a≥0，且6−a≠3， ∴a≤6且a≠3， ∴2＜a≤6且a≠3， ∴符合条件的所有整数a为：4或5或6． ∴符合条件的所有整数a的和为：4＋5＋6＝15． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形三边关系、求解分式方程、一元一次不等式等知识，关键在于利用分式方程的解为非负数，建立不等式，同时一定要注意分母不为0的条件．属于中考填空或者选择的常考题． 16. 题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，分类讨论是银题的关键． 利用全等三角形的性质得到，，，再证明得到，讨论：当点由点运动到点时，；当点由点运动到点时，，然后分别解方程即可． 【详解】解：， ，，， 在和中， ， ， ， 当点由点运动到点时，， 解得； 当点由点运动到点时，， 解得； 综上所述，的值为或． ∴甲、乙答案合在一起才完整． 故选：C． 二、填空题（共4小题，第17，18题，每小题3分；19，20题，每小题2分，共10分） 17. 已知是的整数部分，是它的小数部分，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，利用完全平方数和算术平方根估算无理数的大小，是解答本题的关键． 根据题意，得到，进而得到，，代入中，得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：． 18. 如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过“边角边”证明，根据全等三角形的性质可得，进而得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为12和27，则阴影部分的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 先根据正方形的面积得出正方形的边长，进而得出阴影部分的长和宽，即可解答． 【详解】解：∵两相邻正方形的面积分别为12和27， ∴两相邻正方形的边长分别为和， ∴阴影部分长为，宽为， ∴阴影部分的周长， 故答案为：． 20. 对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，， 个一循环， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 22. （1）解方程：． （2）先化简代数式，再从，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 【答案】（1）无解；（2）；2 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解分式方程，正确掌握分式混合运算法则是解题关键． （1）先去分母化为整式方程，进而即可求解； （2）直接将括号里面通分，再利用分式的混合运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： ， ∵， ∴当时，原式． 23. 阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． （1）化简m，n； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法，是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法，进行化简即可； （2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 原式 ． 24. 解决问题 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为_____，大正方形的边长为_____． 【知识迁移】 （2）设钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；边长为_____． 【拓展延伸】 （3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2， （2）1，13， （3） 解：不可行，理由如下： 由题意可设裁出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可求解大正方形的面积，继而可求解边长； （2）根据直角三角形的长直角边减去短直角边即可求解小正方形的边长；根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积即可求解大正方形的面积，继而可求解边长； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：所得到的大正方形面积为， ∴边长为； 【小问2详解】 解：由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：； ∴边长为； 【小问3详解】 略 25. （1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________． 【答案】 （1） 证明：直线，直线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）成立，理由如下， ， ， ， ，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）证明，可得，即可得证； （2）证明，可得，即可得证； （3）延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则，由（1）和（2）的结论可知，证明，再证明，根据面积关系可得，再求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则， 由（1）和（2）的结论可知， ， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $