精品解析：河南省周口市鹿邑县第二高级中学校2025届高三上学期11月期中考试数学试题

2024—2025高三上期期中试卷 数学试题 时间120分钟 总分150分 一、单选题（8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】集合或， ， 所以. 故选：C 2. 已知，是空间两条不同的直线，，是两个不重合的平面，有下列命题：：若，，则；：若，，，则.则下列命题是真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系可以判断出命题和命题的真假性. 【详解】如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任意直线平行或异面，所以命题是假命题. 若，，则或，又因为，则，所以命题是真命题. 因为是假命题，是真命题，所以是真命题，是假命题， 因此是假命题，A错误；是假命题，B错误；是假命题，C错误；是真命题，D正确. 故选D. 3. 若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导后在区间上有解,等价于在区间上有解，分类讨论，计算即可. 【详解】，因为在区间上存在单调递减区间， 所以在区间上有解，即在区间上有解， 当显然不出来； 当时，，即， 故选:C． 4. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 5. 已知函数满足，若与图象的交点为，则（ ） A. B. 0 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合函数的对称性可得函数图象的交点对称，结合对称性即可求解． 【详解】因为，所以的图象关于对称， 又因为的图象关于对称， 所以函数图象的交点也关于对称， 故， 故选：D． 6. 已知函数，下列说法错误的是（ ） A. 在处取得极小值 B. 有3个零点 C. 在区间上的值域为 D. 曲线的对称中心为 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的正负确定原函数的单调性，通过计算关键点的值判断极值、零点情况以及函数的值域；通过验证是否成立判断D项. 【详解】由，可得， 当或时，；当时，. 即函数在上单调递减；在上单调递增. 对于A，由上分析知在处取得极小值，故A正确； 对于B，结合以上分析，因， 由零点存在性定理知，有3个零点，故B正确； 对于C，因在上递减，在上递增，在上递减， 而，故在区间上的值域为，故C错误； 对于D，因 ，即， 故曲线的对称中心为,即D正确. 故选：C. 7. 已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的周期，再利用周期求函数值. 【详解】由条件可知，，且， 即，即， 那么，所以函数是周期为4的函数， . 故选：B 8. 若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得单调递减，转换成导函数不可能为正数即可列不等式求解. 【详解】当时，恒成立，即当时，恒成立， 设，则单调递减， 而在上恒成立，即在上恒成立， 所以. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对任意两个实数，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个解 C. 方程至少有三个根 D. 函数有最大值为0，无最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件得到函数图象，结合图象即可判断选项正误. 【详解】由题意，可得如下函数图象， ∴由函数图象知：是偶函数，与x轴有两个交点，根的个数可能有0,2,3,4个，有最大值为0，无最小值. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用全称命题的否定即可判断；对于BCD，化简不等式即可判断. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故不正确； 对于B，由，可得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故正确； 对于C，由，解得且， 所以“”是“”的必要不充分条件，故正确； 对于D，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故错误. 故选：BC 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，曲线对称中心的横坐标为定值 D. ，使在上是减函数 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；求出图象的对称中心判断C；由的解集能否为判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或，由， 得，于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，B正确； 对于C，由， 得图象对称中心坐标为，C正确， 对于D，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，D错误. 故选：BC. 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式求出，从而得到，求出答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知函数则满足不等式成立的实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数为增函数，从而可将，转化为，利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得，∴函数为增函数， 由，得，∴．解得． 故答案为:． 14. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则的拐点为__________，__________. 【答案】 ①. ②. 2022 【解析】 【分析】空1，令，解得．计算即可得出； 空2，由于函数的对称中心为．可得．即可得出． 【详解】，故，， 令，解得：，而， 故函数的对称中心坐标是； 由于函数的对称中心为，则函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上，即． ． ． 故答案为：，2022． 四、解答题（5小题，共77分） 15. 已知命题，使；命题，使. （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）若p为假命题，，可直接解得a的取值范围；（2）由题干可知p,q一真一假，分“p真q假”和“p假q真”两种情况讨论，即可得a的范围． 【详解】解：（1）由命题P为假命题可得：， 即， 所以实数的取值范围是. （2）为真命题，为假命题，则一真一假. 若为真命题，则有或，若为真命题，则有. 则当真假时，则有 当假真时，则有 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查根据命题的真假来求变量的取值范围，属于基础题，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 16. 已知函数满足，且. （1）求的解析式； （2）求的值，使在区间上的最小值为. 【答案】（1） （2）或者 【解析】 【分析】（1）直接用代入即可得到的解析式； （2）先求出的解析式，然后根据对称轴不同区间对应的最小值也不同，分别求出对应的，最后排除不符合条件即可. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 ， 所以对称轴为直线， ①当时，在上单调递增， 所以，解得，不符合条件； ②当时，， 解得或者，都符合条件； ③当时，在上单调递减， 所以，解得，不符合条件， 故或者. 17. 已知定义在上的奇函数． （1）求实数的值： （2）若在上的值域为，求实数的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，，求出的值； （2）根据函数的单调性解不等式，结合函数定义域得到. 【小问1详解】 由题意，，故， ，由为奇函数得 ， 故，解得或(舍)， 故； 【小问2详解】 ，故， 又，解得， 故. 18. 函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可； （2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、对钩函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 ， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为； 【小问2详解】 由（1）可知：令，因为，所以， ， 设函数，函数在上单调递增， 所以函数在时单调递增，故， 因此对于恒成立，只需， 因此的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若在点，（2）处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）讨论函数在区间，上零点的个数． 【答案】（1）； （2）当或时，在，上有一个零点， 当时，在，上有2个零点， 当或时，在，上没有零点； （3）当或时，在，上有一个零点， 当时，在，上有2个零点， 当或时，在，上没有零点； 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由可求出的值； （2）求出的导数，通过讨论的范围，判断导函数符号，求出函数的单调区间即可； （3）求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可，结合单调性可得到函数在区间，上零点的个数； 【详解】（1）的定义域是， ， ， 只需的斜率是， ， ； （2）由（1）得， 当时，，在递增， 时，由，得，由，解得：， 在递增，在，等价， 综上，当时，函数的递增区间是，时，函数的递增区间是，递减区间是，， （3）由，得， 令，则， 由得，，由，得， 在区间，递增，在区间，递减， 又（1），，， 当或时，在，上有一个零点， 当时，在，上有2个零点， 当或时，在，上没有零点； 【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025高三上期期中试卷 数学试题 时间120分钟 总分150分 一、单选题（8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是空间两条不同的直线，，是两个不重合的平面，有下列命题：：若，，则；：若，，，则.则下列命题是真命题的是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数满足，若与图象的交点为，则（ ） A. B. 0 C. 8 D. 12 6. 已知函数，下列说法错误的是（ ） A. 在处取得极小值 B. 有3个零点 C. 在区间上的值域为 D. 曲线的对称中心为 7. 已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（ ） A. 3 B. C. D. 5 8. 若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对任意两个实数，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个解 C. 方程至少有三个根 D. 函数有最大值为0，无最小值 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，曲线对称中心的横坐标为定值 D. ，使在上是减函数 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 13. 已知函数则满足不等式成立的实数的取值范围是______． 14. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则的拐点为__________，__________. 四、解答题（5小题，共77分） 15. 已知命题，使；命题，使. （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围. 16. 已知函数满足，且. （1）求的解析式； （2）求的值，使在区间上的最小值为. 17. 已知定义在上的奇函数． （1）求实数的值： （2）若在上的值域为，求实数的值． 18. 函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若在点，（2）处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）讨论函数在区间，上零点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $