4.2一元一次方程的解法常考题 2024—2025学年苏科版数学七年级上册

苏科版七年级数学上 4.2一元一次方程的解法 常考题 一、解答题 1．解方程： (1)； (2)． 2．（1）；                             （2）． 3．解方程： (1)； (2) ． 4．若关于x的方程的解与方程的解与互为相反数，求k的值． 5．已知关于y的方程=的解比关于x的方程3a-x=+3的解小3，求a的值． 6．已知关于x的方程与方程的解互为倒数，求的值． 7．已知关于的方程的解与的解相同，求的值. 8．已知关于的方程． (1)若该方程与方程同解，试求的值； (2)当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？ 9．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)试说明方程是不是“和解方程”； (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 10．我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程． 请根据上边规定解答下列问题： （1）判断是否是差解方程； （2）若关于x的一元一次方程是差解方程，求m的值． 11．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”．例知：的解为，且，则方程是“乘解方程”，请回答下列问题， (1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由； (2)若关于的一元一次方程是“乘解方程”，求的值． 12．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”． (1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 　； (2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值； (3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值． 13．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数．我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程：和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程：与方程是“兄弟方程”．求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n．求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求这两个方程的解． 14．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 15．在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 16．明明在做解方程练习时，一本资料中有一个方程“■”中的■没印清晰，明明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当时代数式的值相同．”聪明的你帮明明把这个方程中■代表的数补充出来？ 17．嘉淇在解关于x的一元一次方程＝3时，发现正整数被污染了； (1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程； (2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 18．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2x﹣█＝x+1． （1）小明猜想“█”部分是2．请你算一算x的值； （2）小明翻看了书后的答案，发现此方程的解与方程1﹣＝的解相同，请你算一算被污染的常数应是多少？ 19．计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 20．定义一种新运算“⊕”：a⊕b = 2a-b，比如1⊕(-3) =2×1-（-3）=5 （1）求(－2)⊕3的值： （2）若3⊕x = (x + 1)⊕5，求x的值； （3）若x⊕1 = 1⊕y，求代数式4x + 2y + 1的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2） 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 2．（1）；（2） 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，解一元一次方程的基本步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，根据方程的特点，灵活运用相应步骤解方程． （1）移项后，直接合并同类项，系数化1即可解得方程； （2）转换后，系数化1即可解得方程； 【详解】解：（1） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：； （2） 则， 系数化1得：． 3．(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2） 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 4． 【分析】本题考查了方程的解的定义以及一元一次方程的解法，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键． 【详解】解：∵，   ∴，解得， ∵方程的解与关于x方程的解互为相反数， ∴是的解， ∴，解得． 5． 【分析】先分别解出两个方程的解，然后根据题意列出关于a的一元一次方程并解答即可． 【详解】解：解=得：y=5a 解3a-x=+3得：x=2a-2 由题意得：2a-2-5a=3 解得：a= 【点睛】本题主要考查的是方程的解得定义，理解方程解得含义并列出关于a的一元一次方程是解题的关键． 6． 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，利用方程的解互为倒数得出关于的方程求解即可． 【详解】解：， 解得：， ∴方程的解为， 代入可得： 解得：， ∴． 7．2 【分析】先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程，即可求出k的值. 【详解】解：， 解得：； 把代入方程，得： ， 化简整理，得：， 解得：. 【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及方程的解，先求出第一个方程，把方程的解代入第二个方程，得出关于k的一元一次方程是解题关键． 8．(1) (2) 【分析】（1）解方程，得，然后把代入方程求解即可； （2）分别求出两个方程的解（都是关于m的代数式），再根据两个方程解的关系得到关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解方程，得， 把代入方程，得， 解得：； （2）解方程，得， 解方程，得， ∵方程的解比关于的方程的解大2， ∴， 解这个方程，得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的求解，正确理解题意、熟练掌握解一元一次方程的方法是关键． 9．(1)不是，理由见解析； (2) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程； （1）解方程得，由“和解方程”的定义即可求解； （2）由“和解方程”的定义得，解方程得，由“和解方程”的定义即可求解； 理解“和解方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， 方程不是“和解方程”； （2）解：关于x的一元一次方程是“和解方程”， ， 又方程的解为， ， 解得：． 10．（1）是差解方程，理由见解析；（2）3． 【分析】（1）先解方程：，再利用差解方程的定义进行验证即可得到答案； （2）先解方程：，再由差解方程的定义可得：，再解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴是差解方程； （2）由， ∴， ∵关于x的一元一次方程是差解方程， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是新定义情境下的一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 11．(1)是“乘解方程”，理由见解析； (2)的值为． 【分析】（）根据“乘解方程”的概念直接进行判断即可； （）根据“乘解方程”的概念，列出关于的一元一次方程，然后解方程即可； 本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：是“乘解方程”，理由： 由解得：， ∵， ∴方程是“乘解方程”； （2）解：由解得：， ∵关于的一元一次方程是“乘解方程”， ∴， 解得：， ∴的值为． 12．(1) (2)m＝﹣3，n＝﹣ (3)-9 【分析】（1 ）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值； （2 ）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n的值； （ 3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算即可． 【详解】（1）解：（1 ）解方程3x+k＝0得： x＝﹣， ∵3x+k＝0是“恰解方程”， ∴x＝3﹣k， ∴﹣＝3﹣k， 解得：k＝； （2）解：解方程﹣2x＝mn+n得： x＝﹣（mn+n）， ∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”， ∴x＝﹣2+mn+n， ∴﹣（mn+n）＝﹣2+mn+n， ∴3mn+3n＝4， ∵x＝n， ∴﹣2+mn+n＝n， ∴mn＝2， ∴3×2+3n＝4， 解得：n＝﹣， 把n＝﹣代入mn＝2得：m×（﹣）＝2， 解得：m＝﹣3； （3）解：解方程3x＝mn+n得： x＝， ∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”， ∴x＝3+mn+n， ∴＝3+mn+n， ∴mn+n＝， ∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n ＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n ＝2mn+2n ＝2（mn+n） ＝2×（） ＝﹣9． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键． 13．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为8， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得 14．(1)m的值为9 (2)或 (3)2024 【分析】本题考查一元一次方程以及新定义． （1）分别表示出两个方程的解，根据定义可知两个方程的解之和为1，可得方程，求解即可； （2）根据定义可得或，求解即可； （3）先求解可得，再将化为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得： 解方程得： ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴  解得： 答：m的值为9； （2）∵“美好方程”的两个解之和为1 ∴另一个方程的解为 ∵“美好方程”的两个解的差为8 ∴或 ∴或； （3）∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴的解为： ∵关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程步骤是解题关键． （1）把代入原方程，根据解一元一次方程步骤求出x； （2）先求出方程的解，再根据然后根据x是正整数，m是正整数，求出m. 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得； （2）解：解方程， 得， 方程有正整数解，是正整数， ． 16． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，本题主要考查学生的理解能力，题目比较典型，难度不大．根据题意把代入中得到，把代入原方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入中得：， 把代入原方程■得，■， 解得：■． 17．(1) (2)2 【分析】（1）由题意得方程，按解一元一次方程的一般步骤求解即可； （2）设被污染的正整数为m，得方程，求解得，再根据解是正整数求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得； 移项，合并同类项，得； 系数化为1，得． （2）解：设被污染的正整数为m， 则有， 解之得，， ∵是正整数，且m为正整数， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 18．（1）x＝2；（2）被污染的常数应是 【分析】（1）代入█＝2，解方程即可； （2）设常数为y，求出方程1﹣＝的解代入解关于y的方程即可． 【详解】解：（1）由题意得：2x−2＝x＋1， 解得：x＝2； （2）设常数为y， 解方程1﹣＝， 去分母得： 去括号得：， 移项合并得： 解得：， 将代入污染的方程得， 解得：， ∴被污染的常数应是． 【点睛】本题立意新颖，实际考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等． 19．(1)-9 (2)3 【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：； （2）设被污染的数字为x， 由题意，得，解得， 所以被污染的数字是3． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键． 20．（1）-7；（2）x= 3；（3）7 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值； （3）已知等式利用题中的新定义化简，计算求出2x+y的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：（1）∵a⊕b = 2a-b， ∴(－2)⊕3=2×（-2）-3=-4-3=-7； （2）已知等式利用题中的新定义化简得： 3⊕x = (x + 1)⊕5 2×3-x=2（x+1）-5 6-x=2x+2-5， 移项合并得：-3x=-9， 解得：x=3； （3）已知等式利用题中的新定义化简得： x⊕1 = 1⊕y 2x-1=2×1-y，即2x+y=3， 则4x + 2y + 1=2（2x+y）+1=6+1=7． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，以及代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$