4.2.1 等差数列的概念课件(1)-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念(1) 类比引入 类比函数的研究思路可以得到数列的研究思路 通过前面的学习,我们知道:数列是特殊的函数 函数的研究思路: 函数的概念 函数的性质 基本初等函数 (函数模型) 数列的研究思路: 数列的概念 数列的性质 特殊数列 (单调性) (周期性) 实例1:北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成,最中间是圆形的天心石, 围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到外各圈的石板数依次 为:9 , 18 , 27 , 36 , 45 , 54 , 63 , 72 , 81 . 实例2:S , M , L , XL , XXL , XXXL型号的女装上对应的 尺码分别是:34 , 36 , 38 , 40 , 42 , 44 , 46 , 48 . 实例3:测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气 温度,得到从距离地面20m起每升高100m处的大 气温度(℃)依次为:25.0 , 24.4 , 23.8 , 23.2 , 22.6 . 实例4:某人向银行贷款a万元,贷款时间为n年.如果个 人贷款月利率为r,那么按照等额本金方式还款, 他从某月开始,每月应还本金b(= )万元,每月 支付给银行的利息(万元)依次为: ar , ar-br , ar-2br , ar-3br , ... . 实例引入 实例1: 9 , 18 , 27 , 36 , 45 , 54 , 63 , 72 , 81 . 实例2: 34 , 36 , 38 , 40 , 42 , 44 , 46 , 48 . 实例3: 25.0 , 24.4 , 23.8 , 23.2 , 22.6 . 实例4: ar , ar-br , ar-2br , ar-3br , ... . 新知探究 从这四个实例呈现的数列中,你发现了什么规律? ? 实例1: 9 , 18 , 27 , 36 , 45 , 54 , 63 , 72 , 81 . +9 +9 +9 +9 +9 +9 +9 +9 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a2-a1=9, a3-a2=9,a4-a3=9, … ,a9-a8=9 从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 实例2-4的数列是否也存在这样的规律? ? 概念生成 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差,通常用小写字母d表示. 等差数列: an-an-1=d (n≥2) an+1-an=d 你能由此确定等差 数列的单调性吗？ 思考:你认为等差数列最少有多少项？ 等差中项: 三个数a , A , b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项. 2A=a+b 思考:等差数列a1 ,a2 ,a3 ,…,an-1 ,an ,an+1 ,an+2 ,… 中任取相邻的三项是否也构成等差数列？ 在等差数列{an}中,则an+1叫做an与an+2的等差中项. 2an+1=an+an+2 有什么作用？ 2an+1=an+an+2 数列{an}是等差数列 新知探究 探究:你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设等差数列{an}的公差为d, 由等差数列的定义,得: an+1-an=d ∴ a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d … an-an-1=d ∴ (an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1) an-1-an-2=d ∴ an-a1=(n-1)d ∴ an=a1+(n-1)d (n≥2) an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d =(n-1)d 累加法 n=1时,a1=a1+(1-1)d=a1 ∴ an=a1+(n-1)d 新知探究 探究:你能根据等差数列的定义推到它的通项公式吗？ 设等差数列{an}的公差为d, 由等差数列的定义,得: an+1=an+d ∴ a2=a1+d a3=a2+d ∴ an=a1+(n-1)d =a1+2d a4=a3+d =a1+3d a5=a4+d =a1+4d … an=a1+(n-1)d n=1时,a1=a1+(1-1)d=a1 (n≥2) 迭代法 不完全归纳法 新知探究 探究:我们知道数列是特殊的函数,等差数列是特殊的数列.观察等 差数列通项公式,你认为它与我们学过的哪个函数模型有关? an=a1+(n-1)d =dn+(a1-d ) ②任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数), ①公差d≠0时,等差数列{an}的图象是一次函数f(x)=dx+(a1-d)图象 上一系列离散的点(n,an). d>0时,数列{an}单调递增; d<0时,数列{an}单调递减. 则f(1)=k+b, f(2)=2k+b,… , f(n)=nk+b,构成一个首项为k+b,公差为k的等差数列{nk+b}. 例题精讲 例1.(1)已知等差数列{an}的通项公式为an =5-2n,求{an}的公差和首项 (2)求等差数列8,5,2,...的第20项. 课本P14 例题精讲 例2. -401是不是等差数列-5, -9, -13,…的项?如果是,是第几项? 课本P15 巩固提升 例2.已知四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首、末两项的 积为-8,求这四个数. 自主 巩固提升 针对训练2:已知三个数成等差数列,且是递增数列,它们的和为18, 平方和为116,求这三个数. 自主 巩固提升 例3.(1)已知a1=2,若an+1=2an+2n+1,证明:{ }为等差数列, 并求{an}的通项公式. (2)数列{an}满足(n-1)an+1-nan+a1 =0,证明:数列{an}是等差数列. 自主 巩固提升 备用例2.已知等差数列{an}为3,7,11,15, … . (1)求{an}的通项公式. (3)若am,at (m,t∈N*)是{an}中的项,那么2am+3at 是数列{an} 中的项吗?请说明理由. 自主 课堂练习 课本P15 1.判断下列数列是否是等差数列.如果是,写出它的公差. 2.求下列各组数的等差中项: (1) 647 和 895 (2) 和 课堂练习 课本P15 3.已知{an}是一个等差数列,请在下表中的空格处填入适当的数. 4.已知在等差数列{an}中,a4＋a8＝20 , a7＝ 12. 求a4. a1 a3 a5 a7 d －7 8 2 －6.5 5.在7和21中插入3个数,使这5个数成等差数列. 课堂小结 $$