湖南省宁远县第一中学2024-2025学年高三上学期数学周练(五)

2024年下期宁远一中高三数学周练(五) 时量:120分钟 满分:150分 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求) 1．若复数满足，则( ) A. B. C. D. 2．已知，，则( ) A． B． C． D． 3. 如图，，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则( ) A. B. C. D. 4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )    A． B． C． D． 5. 已知，，则( ) A． B． C． D． 6．已知等比数列为递增数列，若，，则公比( ) A． B． C． D． 7. 对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 8. 已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当是互质的正整数时，.那么当，，，都属于时，下列选项恒成立的是( ) A. B. C. D. 二、选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是( ) A．一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为 B．若随机变量～，且，则 C．若随机变量～，则方差 D．若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数和方差都会发生变化 10. 若某等腰直角三角形的其中两个顶点恰为椭圆的两个焦点，另一个顶点在上，则的离心率 可能为( ) A. B. C. D. 11. 若存在，则称为二元函数 在处对的偏导数，记为；若 存在，则称为二元函数在处对的偏导数， 记为.已知二元函数，则( ) A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12．已知向量，满足，且，，则 ． 13．已知函数为定义域在上的奇函数，则 . 14．有一直角转弯的走廊(墙面与顶部都封闭)，已知走廊的宽度与高度都是米，现有不能弯折的硬 管需要通过走廊，若不计硬管粗细，则可通过的最大极限长度为______米. 四、解答题(本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). ★15．(13分)已知数列中，，且，为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 16．(15分)如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正 三角形，是棱的中点. (1)证明：； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 17．(15分)已知椭圆：的离心率为，左右焦点分别为，． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的，两点，过原点作的垂线，垂足为． 若点恰好是与的中点，求的值． 18．(17分)已知函数. (1)若，求的值； (2)证明：函数的图像关于对称； (3)现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数， 关于的不等式恒成立，求的取值范围. 19．(17分)已知在中，满足． (其中，，分别是角，，的对边) (1)求角的大小； (2)若角的平分线长为，且，求外接圆的面积； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围． 2024年下期宁远一中高三数学周练(五) 时量:120分钟 满分:150分 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求) 1．若复数满足，则( C ) A. B. C. D. 2．已知，，则( C ) A． B． C． D． 3. 如图，，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（D） A. B. C. D. 4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(B )    A． B． C． D． 5. 已知，，则( D ) A． B． C． D． 6．已知等比数列为递增数列，若，，则公比( D ) A． B． C． D． 7. 对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是( A ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 8. 已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当是互质的正整数时，.那么当，，，都属于时，下列选项恒成立的是( D ) A. B. C. D. 解析：当时，排除、；当，时，排除.下面证明的正确性：当，之一为无理数或者或者时，不等式右边为，显然成立.当，都是真分数时，不妨设，，则不等式右边为，显然有左边大于或等于.所以不等式成立. 二、选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是( BC ) A．一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为 B．若随机变量～，且，则 C．若随机变量～，则方差 D．若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数和方差都会发生变化 10. 若某等腰直角三角形的其中两个顶点恰为椭圆的两个焦点，另一个顶点在上，则的离心率 可能为( BD ) A. B. C. D. 11. 若存在，则称为二元函数 在处对的偏导数，记为；若 存在，则称为二元函数在处对的偏导数， 记为.已知二元函数，则( ABD ) A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 解析：因为，所以，则. 又，所以. 因为所以当时，取得最小值，且最小值为. ，令，则， 当时，；当时，.故， 从而当时，取得最小值，且最小值为. 三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12．已知向量，满足，且，，则 ． 13．已知函数为定义域在上的奇函数，则 . 14．有一直角转弯的走廊(墙面与顶部都封闭)，已知走廊的宽度与高度都是米，现有不能弯折的硬 管需要通过走廊，若不计硬管粗细，则可通过的最大极限长度为______米. 解析：如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度. 设，则. 过作垂直内侧墙壁于，作垂直内侧墙壁于， 则，，. 在直角三角形中，，所以. 同理可得. 所以. 因为（当且仅当且时等号成立）. 所以. 因为走廊的宽度与高度都是米， 所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为. 四、解答题(本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). ★15．(13分)已知数列中，，且，为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 解：(1)由已知当，时，，， 所以，又， 所以， 所以， 所以数列为等差数列，公差为，又，所以， 所以当，时，， 又，所以，. (2)， 所以数列的前项和为： . 16．(15分)如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正 三角形，是棱的中点. (1)证明：； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 解析：(1)证明：如图分别取与中点，.连接，，，， 易知，，，四边形是平行四边形. ∴平面，∵平面，∴， ∵，∴. (2)解：由(1)知为二面角的平面角，即， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图， 设，则，，，，，， ∴，，， 设平面的一个法向量为，则 ，进而求的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则 . 17．(15分)已知椭圆：的离心率为，左右焦点分别为，． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的，两点，过原点作的垂线，垂足为． 若点恰好是与的中点，求的值． 解析：(1)由题意可得，又，可得，所以， 所以椭圆的方程为：. (2)连接，由为的中点，而为的中点，所以为中位线，即， 即，设，可得， 在中，，所以， 解得，故，所以可得为上顶点或下顶点， 所以直线斜率为或，即或． 所以的值为． 18．(17分)已知函数. (1)若，求的值； (2)证明：函数的图像关于对称； (3)现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数， 关于的不等式恒成立，求的取值范围. 解：(1) 因为，解得. (2)因为， ， 故，即函数的图像关于对称； (3)函数的图像关于对称，函数在上是严格减函数，在 上是严格增函数，不等式恒成立， 等价于，整理得， 当时，不等式成立，此时； 当时，，而，当时等号成立， 故，即. 综上所述：的取值范围为. 19．(17分)已知在中，满足(其中，，分别是角， ，的对边)． (1)求角的大小； (2)若角的平分线长为，且，求外接圆的面积； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围． 解析：(1)因为， 由正弦定理得 ， 所以，又， 即，且，即． (2)由等面积法：， 即，即， 由余弦定理得，， 则， 设外接圆半径为，则，， 则外接圆的面积为． (3)由为锐角三角形可得， 则， 由，得， 又， 所以，则. 2024年下期宁远一中高三数学周练(五)参考答案 1～8 CCDB DDAD 9．BC 10. BD 11. ABD 12． 13． 14． 11．因为， 所以，则. 又，所以. 因为， 所以当时，取得最小值，且最小值为. ，令，则， 当时，；当时，.故， 从而当时，取得最小值，且最小值为. 14．如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度. 设，则. 过作垂直内侧墙壁于，作垂直内侧墙壁于， 则，，. 在直角三角形中，，所以. 同理可得. 所以. 因为(当且仅当 且时等号成立).所以. 因为走廊的宽度与高度都是米， 所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为. 15．(1)由已知当，时，，， 所以，又， 所以，所以， 所以数列为等差数列，公差为，又，所以， 所以当，时，， 又，所以，. (2)， 所以数列的前项和为： . 16．(1)证明：如图分别取与中点，.连接，，，， 易知，，，四边形是平行四边形. ∴平面，∵平面，∴， ∵，∴. (2)解：由(1)知为二面角的平面角，即， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图， 设，则，，，，，， ∴，，， 设平面的一个法向量为，则 ，进而求的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则 . 17．(1)由题意可得，又，可得，所以， 所以椭圆的方程为：. (2)连接，由为的中点，而为的中点，所以为中位线，即， 即，设，可得， 在中，，所以， 解得，故，所以可得为上顶点或下顶点， 所以直线斜率为或，即或． 所以的值为． 18． (1) 因为，解得. (2)因为， ， 故，即函数的图像关于对称； (3)函数的图像关于对称，函数在上是严格减函数，在 上是严格增函数，不等式恒成立， 等价于，整理得， 当时，不等式成立，此时； 当时，，而，当时等号成立， 故，即. 综上所述：的取值范围为. 19． (1)因为， 由正弦定理得 ， 所以，又， 即，且，即． (2)由等面积法：， 即，即， 由余弦定理得，， 则， 设外接圆半径为，则，， 则外接圆的面积为． (3)由为锐角三角形可得， 则， 由，得， 又， 所以，则. 学科网（北京）股份有限公司 $$