3.2.2双曲线的标准方程及性质的应用第2课时同步检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2　第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用（同步检测） 一、选择题 1.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A.(－2,2) B.[－2,2) C.(－2,2] D.[－2,2] 2.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为(　　) A. B. C. D.7 4.设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 5.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 6.双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离为3，则P到直线x＝的距离为(　　) A. B. C. D. 7.直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 8.(多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是(　　) A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y＝±x D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点 9.(多选)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列结论正确的是 (　　) A.＝2 B.e1e2＝ C.e12＋e22＝ D.e22－e12＝1 二、填空题 10.过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________ 11.双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________ 12.双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________ 13.祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家．他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点，则双曲线的方程为____________；若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为________ 三、解答题 14.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长． 15.已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)，讨论过点P的直线l的斜率的情况，使l与双曲线C分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 解析：易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2. 2.B 解析：直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一公共点． 3.B 解析：双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4,0)，经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－4)，代入x2－y2＝8并整理得3x2－32x＋72＝0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝24，所以直线被双曲线截得的线段的长为×＝. 4.D 解析：设F1(－c,0)，A(－c，y0)，则－＝1，∴＝－1＝＝＝， ∴y＝，∴|AB|＝2|y0|＝.又＝2，∴·2c· |AB|＝·2c·＝＝2，∴＝， ∴＝＝.∴该双曲线的渐近线方程为y＝±x. 5.C 解析：设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，将x＝c代入双曲线－＝1， 得y＝±，不妨取C，B，又A1(－a,0)，A2(a,0)，故＝＝－，＝＝.因为A1B⊥A2C，故－×＝－1，即＝1，即＝1， 所以a＝b，故渐近线方程是y＝±x＝±x. 6.C 解析：由题意，双曲线－＝1，可得a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2，c＝＝，可得双曲线的离心率为e＝＝，设右焦点为F2，因为双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离为3，即|PF2|＝3，可得点P到直线x＝的距离为d＝＝. 7.C　解析：点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点，故这样的直线只有3条． 8.AC 解析：由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；因为双曲线C的离心率为＝＝，所以选项B不正确；因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确；将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确． 9.BD　解析：因为·＝0且||＝||，所以△MF1F2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝.在焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，则故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，所以(a′)2＝，即e2＝，故＝，e1e2＝，e12＋e22＝2，e22－e12＝1.故选BD. 二、填空题 10.答案：4 解析：由双曲线方程可得右焦点为(2,0)，渐近线方程为y＝±x，把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2，故|AB|＝4. 11.答案：2 解析：设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2， ∴c＝|OB|＝2.又∠AOB＝，∴＝tan＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 12.答案：　 解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x．不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，所以B．所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝． 13.答案：－x2＝1，3π 解析：∵双曲线C的离心率e＝＝，∴c＝a，∴c2＝a2＋b2＝a2，∴b2＝a2， ∵双曲线的方程为－＝1过点(，2)，即－＝1，a2＝3，b2＝1， ∴双曲线方程为－x2＝1，则渐近线方程为y＝±x，取直线x＝m(0≤m≤1)， 代入－x2＝1，得y＝，代入y＝x，得y＝m，∴直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝(3＋3m2)π－3m2π＝3π.又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积为3π. 三、解答题 14.解：双曲线方程可化为x2－＝1，故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4， ∴c＝2.∴F2(2,0)， 又直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线l的方程为y＝x－2， 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵x1·x2＝－<0，∴A，B两点不位于双曲线的同一支上． ∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－， ∴|AB|＝＝·＝6. 15.解：①当l垂直于x轴时，直线l与双曲线C相切，有一个公共点． ②当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)， 代入双曲线C的方程，得(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0. 当k2＝2，即k＝或－时，方程有一个解． 当k2≠2时，Δ＝48－32k， 令Δ＝0，可得k＝；令Δ>0，可得k<且k≠±；令Δ<0，可得k>. 综上所述，当直线l的斜率k∈或直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C有一个公共点； 当直线l的斜率k∈∪∪时，直线l与双曲线C有两个公共点； 当直线l的斜率k∈时，直线l与双曲线C没有公共点． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$