专题5-1 一元一次方程及解法（考点清单，3大考点&12题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版2024）

清单5-1 一元一次方程及解法（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 【清单02】等式的性质 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．． 【清单03】解一元一次方程的步骤 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 (a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【考点题型一】正负数的意义 【例1】下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，故不是方程，不符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】在以下的式子中：；；；；；；其中是一元一次方程的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程概念，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0的整式方程是一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐一进行判断即可得． 【详解】解：和符合一元一次方程的定义，共2个； 不是等式，不符合一元一次方程的定义； 含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义； 未知数的次数是2次，不符合一元一次方程的定义； 不含未知数，不符合一元一次方程的定义； 故选：A． 【变式1-2】下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是一元一次方程的识别，根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的次数为1次的整式方程叫做一元一次方程，逐一判断即可． 【详解】A． 不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；     B． 是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；         C． 是一元一次方程，故本选项符合题意；     D． 含有2个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 【考点题型二】方程的解 【例2】下列四个方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将分别代入选项中的方程验证即可． 【详解】解：A、将代入得， ，故A不符合题意； B、将代入得， ，故B不符合题意； C、将代入得， ，故C不符合题意； D、将代入得， ，故D符合题意； 故选：D． 【变式2-1】若是关于x的方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的位置上的值，据此把代入原方程得到，则，再根据代值计算即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】若是方程的解，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查一元一次方程的解，代数式求值，把代入方程，得，将变形为：，即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：13． 【考点题型三】列方程 【例3】把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图书的数量不变，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了列一元一次方程，解题的关系式：根据图书数量不变，列出等量关系式． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 【变式3-1】“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据文字描述，直接列出等式即可． 【详解】解：由题意，得 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系． 【变式3-2】根据“x的3倍与5的和等于x的4倍”可列出方程来 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．根据题意列式即可． 【详解】x的3倍为与5的和等于x的4倍， ， 故答案为：． 【考点题型四】等式的性质 【例4】下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．由，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质．解决本题的关键是根据等式的两边同时加上或减去同一个数仍是等式；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数仍是等式． 【详解】解：A选项：已知，根据等式的基本性质两边同时减去可得：，故A选项正确； B选项：已知，根据等式的基本性质两边同时乘以可得：，故B选项错误； C选项：，把的两边同时除以可得：，故C选项正确； D选项：已知，移项可得：，故D选项正确． 故选：B． 【变式4-1】如果，下列变形中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，分别判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ， ， ， 故B不符合题意； ， ， 故C不符合题意； ，当时，， 故D符合题意， 故选：D． 【变式4-2】观察如图，一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的（　　） A．8倍 B．6倍 C．4倍 D．2倍 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y．根据天平两边质量相等构建关系式可得结论． 【详解】解：设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y． 由题意， ∴， ∴一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的4倍． 故选：C． 【考点题型五】解一元一次方程 【例5】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：移项得 合并得 系数化为得； （2）去分母得 去括号得 移项得 合并得 系数化为得． 【变式5-1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照拆分，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 得：． 【变式5-2】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想． （1）将看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可． （2）将、分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可． 【详解】（1）解：移项，得， 整体合并，得， 即，解得. （2）解：， 移项、合并同类项得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得． 【考点题型六】方程的同解问题 【例6】如果的解与的解相同，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】此题主要考查了同解方程，首先计算出方程的解，再把x的值代入方程，解出a即可． 【详解】解：， 解得：， 把代入中得：， 解得：． 故选：A． 【变式6-1】已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求a的值； (2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程，有理数的乘方运算： （1）先求出方程的解，再把解代入方程中，进行求解即可； （2）易得互为相反数，，然后根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 把代入，得：， 解得：； （2）∵a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴， ∵c是最大的负整数， ∴， ∴． 【变式6-2】已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求k的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得：，再把代入方程中求出k的值即可； （2）根据（1）所求可得，则由非负数的性质得到，即，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵方程与关于x的方程的解相同， ∴是关于x的方程的解， ∴， 解得； （2）解：∵，即， ∴， ∴， ∴． 【考点题型七】解一元一次方程的步骤 【例7】下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得，（第一步） 去括号，得，（第二步） 移项，得，（第三步） 全并同类项，得，（第四步） 系数化为1，得．（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：________________； 任务三：请你写出解该方程的正确解题过程． 【答案】任务一：①等式的性质；②三，移项没有变号；任务二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括号要注意符号或养成口头检验的习惯等；任务三：见解析 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解本题的关键． 任务一：观察这位同学解方程的步骤，利用等式的基本性质，判断即可得到结果； 任务二：答案不唯一，建议只要合理即可； 任务三：根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】解：任务一：①第一步的变形依据是等式的性质； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号； 任务二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括号要注意符号或养成口头检验的习惯等 任务三：解方程：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得：， 系数化为1，得． 【变式7-1】下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 任务一：填空 （1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ； 任务二：请你求出方程正确的解． 【答案】任务一：（1）等式的性质2；（2）二，括号前面是减号，去括号时括号里的符号没变号；任务二：见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 任务一：（1）根据等式的性质判断即可； （2）根据去括号法则即可判断解方程中的错误处； 任务二：根据等式的性质（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1）求解即可． 【详解】解：（1）以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的； （2）第二步开始出现错误，这一步的错误的原因是：括号前面是减号，去括号时括号里的符号没变号， 正确解法为： 解：． 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 【变式7-2】小丽做作业时解方程的步骤如下： 解：①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． (1)小丽的解答过程正确吗？答：______（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是______．（填序号） (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)不正确，①； (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）根据小丽的解题过程分析即可； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：小丽的解答过程不正确，最早出现错误的步骤是①， 故答案为：不正确，①； （2）解： 去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． 【考点题型八】方程的错解问题 【例8】小强在解方程“”时，将“”中的“－”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出的值是解此题的关键．把代入方程求出的值，确定出正确的方程，求出解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得， 原方程为： 解这个方程，得． 故选：A． 【变式8-1】小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，那么原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键． 去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是，把代入即可求得的值，然后把的值代入原方程，解方程即可． 【详解】解：去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是， 把代入方程得， 解得：， 把代入方程得 ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 故选：B． 【变式8-2】小娟在对方程去分母时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则m的值为 ，原方程的正确解为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 将代入方程，整理即可求出m的值；将m的值代入方程即可求出正确的解． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：； 把代入方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 则方程的正确解为， 故答案为：1，2． 【考点题型九】方程被遮挡问题 【例9】小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ． 【答案】 【分析】本题重点考查了一元一次方程的解法以及方程的解的意义，本题的关键是掌握一元一次方程的基本解法．知道方程的解，根据方程的解的意义，把方程的解代入到原方程中，从而得到一个新的方程，再求解即可． 【详解】解：是方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 【变式9-1】方程中被阴影盖住的部分是一个常数，且此方程的解是，求这个常数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和解一元一次方程，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程中，即可求出被阴影盖住的常数． 【详解】解：设阴影部分表示的常数为a． 将代入，得， 即， 两边同时加上，得， 两边同时加上a，得． 【变式9-2】小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，设被污染的正整数为，则有，解方程得到，根据方程的解为正整数得到是正整数，且为正整数，可得或或，进一步解答即可得到答案． 【详解】解：设被污染的正整数为，则有， ∴， 解得， ∵这个方程的解是正整数， ∴是正整数，且为正整数， ∴或或， ∴当或时，不是正整数， 时，，符合题意， ∴被污染的正整数是2． 【考点题型十】方程的整数解 【例10】关于x的方程的解为整数，则整数m的所有可能的取值之和为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．先求出原方程的解为，根据原方程有整数解可得或，求出m的值，再求和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 关于x的方程的解为整数， 或， 解得m的值为4或2或5或1， 整数m的所有可能的取值之和为：， 故答案为：12． 【变式10-1】关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为_______． 【答案】8或10 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程解的情况求参数．正确求出，进而得到或，是解题的关键． 先按照解一元一次方程的方法求出方程的解，再根据方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵原方程解是正整数， ∴且为整数， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或10． 【变式10-2】在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程步骤是解题关键． （1）把代入原方程，根据解一元一次方程步骤求出x； （2）先求出方程的解，再根据然后根据x是正整数，m是正整数，求出m. 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得； （2）解：解方程， 得， 方程有正整数解，是正整数， ． 【考点题型十一】绝对值方程 【例11】已知，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了化简绝对值，解一元一次方程，正确分类讨论，去绝对值是解题的关键． 分类讨论，分别解一元一次方程即可． 【详解】解：当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：，不符合题意，舍； 当时，则， 解得：， ∴或， 故答案为：或． 【变式11-1】根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为：或， 当时，则有， ； 当时，则有， ； 综上，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或20 【分析】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． （1）由绝对值的意义可得或，再解一元一次方程即可得解； （2）由绝对值的意义可得或，将看成整体解方程即可得解． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得：或； 方程的解为或； （2）解：∵， ∴或， 解得：或， ∴的值为或20． 【变式11-2】解绝对值方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的意义分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，先化简绝对值，然后分别求出结果即可． 【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； ∴原方程无解． 【考点题型十二】新定义一元一次方程问题 【例12】我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：的解为，且，则该方程是和解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否为和解方程； (2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值． 【答案】(1)是和解方程，理由见解析； (2)的值为． 【分析】（）根据新定义代入判断即可； （）根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 本题考查的是新定义情境下的一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：是和解方程，理由： 由可得， ，解得：， ∴， ∴是和解方程； （2）解：根据题意得：， 又， ∵关于的一元一次方程是和解方程， ∴， 解得：， ∴的值为． 【变式12-1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“成双方程”． 例如：判断方程和，是否互为“成双方程”． 解：方程和是互为“成双方程”，理由如下： 解方程，解得．解方程，解得． ，方程和互为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数加法运算等知识点，准确理解并运用题目新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）分别解两个方程，然后根据“成双方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解分别为，，再根据关于的方程与方程互为“成双方程”得出，解关于的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 解方程， 解得：， 解方程， 解得：， ， 方程与方程不是“成双方程”； （2）解：解关于的方程， 解得：， 解方程， 解得：， 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：． 【变式12-2】我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程． (1)方程和 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”） (2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值； (3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解． 【答案】(1)不是； (2)； (3)． 【分析】（）分别解出两个方程，再根据“仁爱”方程的定义，即可求解； （）分别解出两个方程，再根据“仁爱”方程的定义，即可求解； （）先解出由的解为，再根据“仁爱”方程的定义，得关于的一元一次方程的解为，由得，然后对比即可求解； 本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“仁爱”方程的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由， ， ∴， 即的解是； 由 ， ， ∴， 即的解是； ∵， ∴方程和 不是“仁爱”方程， 故答案为：不是； （2）解：由，得； 由， ， ， ∴， ∵关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， ∴， 解得：； （3）解：由得， ∵关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， ∴关于的一元一次方程的解为， ∵由得， ∴， ∴， ∴关于的一元一次方程的解为． 1．关于x的方程与的解相同，则m等于（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，先求出的解，代入得到关于m的一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：解，得：， 将代入，得：， 解得， 故选A． 2．下列方程是一元一次方程的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程”是解题的关键． 利用一元一次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A. 是二元一次方程，该选项不符合题意； B. 是一元二次方程，该选项不符合题意； C. 是分式方程，该选项不符合题意； D. 是一元一次方程，该选项符合题意； 故选：D. 3．下列变形错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变，等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果不变，可得答案． 【详解】解：．若，则，原变形正确，故该选项不符合题意； ．若，则，原变形正确，故该选项不符合题意； ．若，则，原变形错误，故该选项符合题意； ．若，则，原变形正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，正确将所求方程变形为是解题的关键． 先把所求方程变形为，设，则，根据题意可得关于m的一元一次方程的解为，则可求出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于m的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴关于y的一元一次方程的解为． 故选：D． 5．小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（  ） A．第11个 B．第12个 C．第13个 D．第14个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减运算及解一元一次方程，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键．先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定写出的运算符号是第12个． 【详解】解： ， 运算结果比小， “”错写成“”， 设写错符号的数是， ， 解得， 写错的运算符号第12个， 故选：B 6．已知规定一种新运算：；，例如：；．若的值为17，且，则x的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程以及有理数混合运算．先计算出，根据求得a的值，代入列出关于x的方程，解之可得． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 7．如图，按下面的程序计算，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则满足条件的的不同值最多有（　　）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】此题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，解决题目的关键是看懂图表后再分情况讨论．根据题意可知，若运算一次输出283，则，解出；若运算两次输出283，则第一次输出94，94再代入计算得出283，故，以此类推，得出符合题意的值即可． 【详解】解：若运算一次即输出283，则，； 若运算两次输出283，则第一次输出94，令，； 若运算三次输出283，则第一次输出31，令，； 若运算四次输出283，则第一次输出10，令，， 若运算五次输出283，则第一次输出3，令，，因为为正整数，不合题意； 满足条件的的不同的值有4个． 故选：C． 8．已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 9．若关于x的方程的解是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，代数式求值，根据题意得出，则，整体代入即可求解． 【详解】解：根据题意得出，则， 故答案为：． 11．□、△各代表一个数，已知，．则□= ， ． 【答案】 4 12 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4，12． 12．若关于x的一元一次方程的解为；则称该方程为“奇异方程”，例如：的解为，则该方程是“奇异方程”已知关于x的一元一次方程是奇异方程，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据奇异方程的定义可求出方程的解，再把方程的解代入原方程得到关于m的方程，解方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程是奇异方程， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 13．代数式的值等于代数式的值，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意可得，再解方程即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：3． 14．列等式表示“x的3倍与5的和等于x的4倍与2的差”为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，x的3倍与5的和可表示为，x的4倍与2的差可表示为，据此建立方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 15．解方程∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的步骤是解本题的关键． （1）利用去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可得到答案； （2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可得到答案； 【详解】（1）解：整理得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得：； （2）解：方程整理得：， 去括号得： 移项合并得：， 解得：． 16．已知关于x的方程和方程的解相同，求： (1)m的值； (2)求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于m的方程，要正确理解方程解的含义． （1）解出两个方程的解，根据两解相等，得到关于m的方程，从而可以求出m的值； （2）将代入或，求解即可得答案． 【详解】（1）解：由，解得， 由，解得， ∵关于x的方程和方程的解相同， ∴，解得：． （2）解：当时，代入得， 故方程的解为． 17．某同学在解关于x的方程时，移项过程中没有改变符号，得到方程的解为．求a的值及原方程的解． 【答案】a的值为3， 【分析】本题考查方程的错解复原问题，将错就错求出的值，再解方程即可． 【详解】解：根据题意，得是关于x的方程的解， ∴， 解得． 把代入原方程，得， 解得， 所以a的值为3，原方程的解是． 18．对于有理数a，b，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①    ② (2)若是关于x的一元一次方程的解，求m的值． 【答案】(1)①3，② (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程， （1）①根据新运算定义列式计算即可；②根据新运算定义列式计算即可； （2）根据新运算定义列方程求解即可； 解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ； ②∵， ∴ ； （2）解：由题意得， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去）， 综上所述，m的值为1． 19．若是关于x的一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，求代数式的值，根据一元一次方程的定义，得到，求出的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ， ， ． 20．已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解的定义以及代数式求值，掌握解的定义是解答本题的关键． 将代入，解出，再将代入计算即可求解． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ． 21．我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”． 例知：的解为， 且所以方程是“乘解方程”， 请回答下列问题， (1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“乘解方程”，求a的值． 【答案】(1)不是“乘解方程”，理由见解析 (2)a的值为 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据“乘解方程”的概念直接进行判断即可； （2）根据“乘解方程”的概念，列出关于的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】（1）不是“乘解方程”， ， 解得：， ∴方程不是“乘解方程”； （2）由解得：． ∵关于x的一元一次方程是“乘解方程” ∴， 解得：， ∴a的值为． 22．方程可以有多种不同的解法，观察此方程，设． (1)原方程可变形为，解方程得： ，从而可得 ． (2)上述解法所用到的数学思想是 ． (3)利用上述方法解方程： 【答案】(1)， (2)换元思想（整体思想） (3) 【分析】本题通过代换法的应用以及解一元一次方程，掌握换元思想是解题关键． （1）解出方程得到的值，进而得到的值即可； （2）解题方法用到了换元思想； （3）设，将原方程换成的方程，解出方程得到的值，进而得到的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴，解得， 故答案为：，． （2）上述解法用到的数学思想为换元思想或者整体思想． 故答案为：换元思想（整体思想）． （3）设，原方程变形为：， ， ， ， ， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单5-1 一元一次方程及解法（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 【清单02】等式的性质 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．． 【清单03】解一元一次方程的步骤 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 (a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【考点题型一】正负数的意义 【例1】下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在以下的式子中：；；；；；；其中是一元一次方程的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】方程的解 【例2】下列四个方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若是关于x的方程的解，则 ． 【变式2-2】若是方程的解，则的值为 ． 【考点题型三】列方程 【例3】把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】根据“x的3倍与5的和等于x的4倍”可列出方程来 ． 【考点题型四】等式的性质 【例4】下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．由，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-1】如果，下列变形中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】观察如图，一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的（　　） A．8倍 B．6倍 C．4倍 D．2倍 【考点题型五】解一元一次方程 【例5】解下列方程： (1)； (2)． 【变式5-1】计算： 【变式5-2】解方程 (1)； (2)． 【考点题型六】方程的同解问题 【例6】如果的解与的解相同，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6-1】已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求a的值； (2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值． 【变式6-2】已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求k的值； (2)若，求的值． 【考点题型七】解一元一次方程的步骤 【例7】下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得，（第一步） 去括号，得，（第二步） 移项，得，（第三步） 全并同类项，得，（第四步） 系数化为1，得．（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：________________； 任务三：请你写出解该方程的正确解题过程． 【变式7-1】下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 任务一：填空 （1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ； 任务二：请你求出方程正确的解． 【变式7-2】小丽做作业时解方程的步骤如下： 解：①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． (1)小丽的解答过程正确吗？答：______（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是______．（填序号） (2)请写出正确的解答过程． 【考点题型八】方程的错解问题 【例8】小强在解方程“”时，将“”中的“－”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（） A． B． C． D． 【变式8-1】小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，那么原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】小娟在对方程去分母时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则m的值为 ，原方程的正确解为 ． 【考点题型九】方程被遮挡问题 【例9】小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ． 【变式9-1】方程中被阴影盖住的部分是一个常数，且此方程的解是，求这个常数． 【变式9-2】小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值． 【考点题型十】方程的整数解 【例10】关于x的方程的解为整数，则整数m的所有可能的取值之和为 ． 【变式10-1】关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为_______． 【变式10-2】在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 【考点题型十一】绝对值方程 【例11】已知，则 ． 【变式11-1】根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为：或， 当时，则有， ； 当时，则有， ； 综上，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【变式11-2】解绝对值方程：． 【考点题型十二】新定义一元一次方程问题 【例12】我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：的解为，且，则该方程是和解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否为和解方程； (2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值． 【变式12-1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“成双方程”． 例如：判断方程和，是否互为“成双方程”． 解：方程和是互为“成双方程”，理由如下： 解方程，解得．解方程，解得． ，方程和互为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【变式12-2】我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程． (1)方程和 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”） (2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值； (3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解． 1．关于x的方程与的解相同，则m等于（   ） A．5 B．4 C． D． 2．下列方程是一元一次方程的为（   ） A． B． C． D． 3．下列变形错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 5．小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（  ） A．第11个 B．第12个 C．第13个 D．第14个 6．已知规定一种新运算：；，例如：；．若的值为17，且，则x的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D． 7．如图，按下面的程序计算，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则满足条件的的不同值最多有（　　）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 8．已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 9．若关于x的方程的解是，则代数式的值为 ． 10．已知，则代数式的值为 ． 11．□、△各代表一个数，已知，．则□= ， ． 12．若关于x的一元一次方程的解为；则称该方程为“奇异方程”，例如：的解为，则该方程是“奇异方程”已知关于x的一元一次方程是奇异方程，则m的值为 ． 13．代数式的值等于代数式的值，则 ． 14．列等式表示“x的3倍与5的和等于x的4倍与2的差”为 ． 15．解方程∶ (1)； (2)． 16．已知关于x的方程和方程的解相同，求： (1)m的值； (2)求方程的解． 17．某同学在解关于x的方程时，移项过程中没有改变符号，得到方程的解为．求a的值及原方程的解． 18．对于有理数a，b，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①    ② (2)若是关于x的一元一次方程的解，求m的值． 19．若是关于x的一元一次方程，求的值． 20．已知关于的方程的解是，求的值． 21．我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”． 例知：的解为， 且所以方程是“乘解方程”， 请回答下列问题， (1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“乘解方程”，求a的值． 22．方程可以有多种不同的解法，观察此方程，设． (1)原方程可变形为，解方程得： ，从而可得 ． (2)上述解法所用到的数学思想是 ． (3)利用上述方法解方程： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$