3.3抛物线练习基础版-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

练习八 一、单选题 1．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．若拋物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是（    ） A． B． C．0 D．2 5．抛物线的焦点坐标是，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 6．若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则m的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 7．已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 8．抛物线的准线方程是，则实数的值（    ） A． B． C．8 D． 9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．1 10．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 11．抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 二、多选题 13．对于抛物线，下列描述不正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．准线方程为 D．准线方程为 14．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 15．已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C是圆 B．若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C．若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线 D．曲线C可以是抛物线 16．已知抛物线：，则抛物线的焦点坐标为 ． 17．抛物线的准线方程为 .18．抛物线的焦点坐标为 ． 19．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 20．根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是； （2）准线方程是； （3）焦点到准线的距离是． 21．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)求抛物线的标准方程. 22．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程； (2)准线方程为的抛物线的标准方程； (3)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程. 23．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A A A B A B B 题号 11 12 13 14 15 答案 B BC AC AC 1．C 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，代入点的坐标求出即可得解. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得的坐标为． 设抛物线的标准方程为，则，解得． 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：C 2．D 【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程. 【详解】∵椭圆的右焦点坐标为， ∴抛物线的焦点坐标为， ∴抛物线的准线方程为， 故选：D. 3．D 【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程. 【详解】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上， 故抛物线的标准方程是. 故选：D 4．A 【分析】将抛物线方程化为标准形式，根据焦半径公式得到方程，求出答案. 【详解】化为标准形式为，故焦点坐标为，准线方程为， 由焦半径可得，解得. 故选：A 5．A 【分析】根据抛物线的标准方程的知识求解． 【详解】由题意，，即抛物线标准方程为，所以焦点到准线的距离为， 故选：A． 6．A 【分析】找到椭圆的右焦点，利用的准线过焦点，即可求解. 【详解】解：椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的右焦点，可得，解得． 故选：A． 7．B 【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线的准线方程为， 又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为. 故选：B 8．A 【分析】根据抛物线的准线方程列式得出结果. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：A. 9．B 【分析】 根据抛物线定义求解即可. 【详解】由题意得，，抛物线中， 所以，所以所求距离为. 故选：B 10．B 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 11．B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 12．BD 【分析】根据圆、双曲线、抛物线相关知识进行辨析即可. 【详解】对于A，因为动点P到点，的距离之差的绝对值为2，但，所以点P的轨迹不是双曲线，故A错误； 对于B，由于在抛物线外，所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有三条， 一条平行于轴，一条与轴重合，另外一条与抛物线相切，故B正确； 对于C，双曲线渐近线为，双曲线渐近线为，故C错误； 对于D，因为，所以点在圆内，故D正确. 故选：BD 13．BC 【分析】把抛物线的方程化为标准方程，结合性质可得答案. 【详解】因为，所以，所以抛物线开口向上，焦点为，其准线方程为，结合选项可得A,D正确. 故选：BC. 14．AC 【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论 【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 15．AC 【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案. 【详解】A选项，当时，曲线，表示圆心在原点， 半径为的圆，所以A选项正确. B选项，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B选项错误. C选项，当时，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确. D选项，由于是非零实数，所以的最高次项都是， 所以曲线不可能是抛物线，D选项错误. 故选：AC 16．/ 【分析】把抛物线的方程化成标准形式，再写出焦点坐标即可. 【详解】抛物线：，即， 所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 17． 【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程. 【详解】抛物线的准线方程是. 故答案为：. 18． 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 19． 【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可. 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 20．（1）；（2）；（3）或. 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标可写出抛物线的标准方程； （2）根据抛物线的准线方程可写出抛物线的标准方程； （3）根据抛物线的焦点到准线的距离可写出抛物线的标准方程. 【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为， 则，可得，所以，抛物线的标准方程为； （2）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为， 则，可得，因此，抛物线的标准方程为； （3）抛物线的焦点到准线的距离为， 所以，抛物线的标准方程为或. 21．(1) (2) 【分析】（1）将已知点代入双曲线方程，然后可得； （2）由双曲线右焦点与抛物线的焦点相同可解. 【详解】（1）因为双曲线过点， 所以  所以，得 又因为，所以 所以双曲线的渐近线方程 （2）由（1）得 所以   所以双曲线的右焦点是 所以抛物线的焦点是 所以，所以 所以抛物线的标准方程 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）由长轴长和离心率求出，进而求出的值，得椭圆的标准方程； （2）由准线方程得，得抛物线方程； （3）由顶点坐标和焦点坐标得，的值，求得，得双曲线的方程. 【详解】（1）由已知，，，得：，， 从而. 所以椭圆的标准方程为. （2）抛物线的准线方程为， 所以抛物线的焦点在轴的正半轴，且焦点到准线的距离是， 所求抛物线的标准方程为： （3）设双曲线方程为， 由题设可得，故，故双曲线方程为. 23．（1）；（2）. 【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程； （2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值． 【详解】（1）， 所以，即抛物线C的方程. （2）设， 由得 所以， 所以 . 【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法， (1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)． (2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解． 26．(1). (2). 【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程. （2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程． 【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为， ∴抛物线定义知：，可得， ∴. （2）由题设，直线l的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程， 有，整理得，则，又P是线段的中点， ∴，即，故. 学科网（北京）股份有限公司 $$