第1章 直角三角形 单元测试A卷2023-2024学年 湘教版数学八年级下册

2023-2024学年初中数学湘教版八年级下学期 第1章 直角三角形 单元测试A卷 一、选择题 1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）。 A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，在中，，，D为上一点，，则的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 4．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　） A．6 B．36 C．64 D．8 5．如图所示，在△ABC中，，，DE为AB的中垂线，，则CD的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 6．如图，l1∥l2∥l3，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为l1，l2，l3上的动点，连结AB ，AC，BC，AC与l2交于点D，∠ABC= 90°，则BD的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7． 在长为，宽为的长方形硬纸板中剪掉一个直角三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所示的数据（单位：）不正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（　　） A．AE＝3CE B．AE＝2CE C．AE＝BD D．BC＝2CE 10．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A．20cm B．30cm C．40cm D．20 cm 二、填空题 11．已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为　 　. 12．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=46°，则∠A的度数为　 　． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝，则AD的长为 　 　． 14．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝10，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为　 　． 15．如图，在中，，点分别在边上，连接，若，且是等边三角形，则　 　． 三、解答题 16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=4，CD=5.求四边形ABCD的面积. 17．如图，长方形 ABCD与长方形AEFG 是全等图形，延长 CD 交 FG 于点 M，连结 AM.设AE 与 CD 相交于点 N，求证：△AMN 是等腰三角形. 18．如图， 在 Rt 中， 于点 . 求 得长. 四、实践探究题 19．阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形并做了如下证明： 设等边三角形的边长为， ， 等边三角形一定是奇异三角形． 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ （1）在中，两直角边长分别是、，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． （2）在中，，，，，且，若是奇异三角形，求：：的值． 20．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题． （1）（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）． 请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）． （2）（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是：　 　． （3）迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形 ， ， ， 的边长分别是 ， ， ， ，则正方形 的面积是　 　． （4）（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是　 　． （5）迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，分别以三边为直径作半圆．若 ， ，则图中阴影部分的面积等于　 　． （6）（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部 尺处时绳索用尽．问绳索长多少？ 五、综合题 21．如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1. （1）分别求出线段AB，CD的长度； （2）在图中画线段EF，使得EF的长为 ，以AB，CD，EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由. 22．如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，。 （1）求的度数； （2）若，，求的长。 23．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 24．如图，在中，，F是的中点，，垂足为点E，连接、． （1）求证：平分； （2）若，，求的面积； （3）请判断线段与的数量关系，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【分析】A、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误； B、∵=，能围成直角三角形，此选项正确； C、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误； D、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误。 故选B。 【点评】 此类试题属于基础性试题，考生直接一招勾股定理把各项代入验证即可。 2．【答案】C 【知识点】含30°角的直角三角形 【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝2CB＝4， 故答案为：C． 【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得AB＝2CB＝4。 3．【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形 【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=30°， ∴∠C=∠B=30°，∠BAC=180°-∠B-∠C=120°， ∵CD=AD， ∴∠C=∠DAC=30°， ∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°， ∴BD=2AD=4， ∴BC=BD+CD=6. 故答案为：C. 【分析】根据等腰三角形的性质得∠C=∠B=30°，∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，∠C=∠DAC=30°，由角的和差得∠DAB=90°，进而根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=2AD=4，最后根据线段的和差可算出答案. 4．【答案】A 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：根据直角三角形的勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，三角形边长的平方即为正方形的面积，故8+A=14，A=6； 故答案为：A。 【分析】根据勾股定理得出8+A=14，进而求出A的面积。 5．【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形 【解析】【解答】解：连接BD，如图 ∵DE是线段AB的垂直平分线 ∴BD=AD=12 ∴∠DBE=∠A=30° ∵， ∴∠ABC=90°−∠A=60° ∴∠CBD=∠ABC−∠DBE=30° ∴ 故答案为：C. 【分析】连接BD，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等可得BD=AD=12，由等腰三角形的性质可得∠DBE=∠A=30°，根据三角形的内角和定理及角的和差得∠ABC=60°，∠CBD=30°，接下来根据含30°角的直角三角形的性质进行计算. 6．【答案】A 【知识点】垂线段最短及其应用；平行线之间的距离；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：由题意得：AD=CD， ∠ABC= 90°， ∴，时，BD有最小值， . 故答案为：A. 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，即得时，BD有最小值，计算求解即可. 7．【答案】B 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】A、∵，∴A正确，不符合题意； B、∵，∴B不正确，符合题意； C、∵，∴C正确，不符合题意； D、∵，∴D正确，不符合题意； 故答案为：B. 【分析】利用勾股定理分别求出阴影线段的长，再比较大小分析求解即可. 8．【答案】A 【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：设BD=x，在Rt△ABC中，由勾股定理，得： AC= = =10． 折叠纸片使AB边与AC边重合，B点落在点E上，AE=AB=6，BD=DE=x，EC=AC﹣AE=10﹣6=4． 由线段的和差，得：DC=BC﹣BD=8﹣x． 在Rt△CED中，由勾股定理，得：DE2+CE2=DC2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3． 故答案为：A． 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=10，设BD=x，利用折叠的性质可得AE=AB=6，BD=DE=x，从而可得EC=4，DC=8﹣x，在Rt△CED中，利用勾股定理可得关于x的方程，求出x值即可. 9．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形 【解析】【解答】连接BE，根据中垂线的性质可得：BE=AE； ∴∠ABE=∠A=30°； 又∵在 中， ∠EBC=30°； ∴CE= BE， 即AE=BE=2CE. 故答案为：B. 【分析】连接BE，根据中垂线的性质可得：BE=AE，∠ABE=∠A=30°，根据直角三角形的性质可得：∠EBC=30°，CE= BE，即AE=BE=2CE. 10．【答案】D 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理 【解析】【解答】解：如图1，图2中，连接AC． 图1中，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝20cm， 在图2中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝ AB＝20 cm； 故答案为：D． 【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可． 11．【答案】54° 【知识点】直角三角形的性质 【解析】【解答】解：另一个锐角的大小为：90°-36°=54°。 故第1空答案为：54°。 【分析】根据直角三角形的性质直接求出另一个锐角。 12．【答案】44° 【知识点】直角三角形的性质 【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠B=46°， ∴∠A=90°﹣46°=44°， 故答案为：44°． 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，再代入∠A的度数可得答案． 13．【答案】 【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形 【解析】【解答】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°， ∴∠BDC=90°-60°=30°， ∴BD=2BC=， ∵∠C=90°，∠A=15°， ∴∠ABC=90°-15°=75°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°， ∴∠ABD=∠A， ∴AD=BD=． 故答案为：． 【分析】先求出∠BDC=90°-60°=30°， 利用含30°角的直角三角形的性质求出BD=2BC=， 再根据∠ABD=∠A， 可得AD=BD=。 14．【答案】20 【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处 ∴∠ADC=∠ADE=90°，DE=DC=EC ∵BC＝10，BE＝2 ∴EC=8 ​​​​​​​∴DE=DC=EC=4，BD=6 ∵AB2 = AD2 + BD2 = AD2 + 36， AC2 = AD2 + DC2 = AD2 +16 ∴AB2﹣AC2 =AD2 + 36-（AD2 +16）=20 故答案为：20. 【分析】由折叠的性质可得∠ADC=∠ADE=90°，DE=DC= EC，从而可得出BD和CD的长，运用勾股定理，可分别表示出 AB2和AC2​​​​​​​，相减可得到答案. 15．【答案】 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形 【解析】【解答】解：过点E坐EH⊥AC于点H， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE=EF，∠DEF=60°， 在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°， ∴∠C=60°，BC=， ∴∠DEF=∠C， ∵∠BEF=∠BED+∠DEF=∠EFH+∠C， ∴∠BED=∠EFH， 在△BDE和△HEF中： ∵∠BED=∠EFH，∠B=∠EHF=90°，DE=EF， ∴△BDE≌△HEF， ∴BD=HE=6，BE=FH， 在Rt△CEH中，∠CHE=90°，∠C=60°， ∴∠CEH=30°， ∴CH=，， ∴BE=BC-CE=， ∴， ∴CF=CH+HF= 故第一空答案为： 【分析】过点E坐EH⊥AC于点H，通过证明△BDE≌△HEF，可得出EH=BD=6，然后在含30°锐角的直角△ABC和△CEH中，可分别求得BC=，CH=，从而可得，FH=BE=，最后得出CF=CH+HF= 16．【答案】解：延长DA和CB交于O，如图： ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠DAB=∠C=∠OAB=90°， ∵∠D=60°， ∴∠O=30°， ∵AB=4，DC=5， ∴OB=2AB=8，OD=2DC=10， 则， ， ∴四边形ABCD的面积=S△OCD-S△OAB =12×OC×CD-12×OA×AB =12×53×5-12×43×4 =923 . 【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理 【解析】【分析】延长DA和CB交于O，根据直角三角形两锐角互余可得∠O=30°，根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半可得OB=8，OD=10，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OA和OC的值，根据四边形ABCD的面积=△OCD的面积-△OAB的面积即可求解. 17．【答案】证明：∵长方形 ABCD与长方形AEFG 是全等图形， ∴AG=AD，∠AGM=∠ADM=∠GAE=90°， ∴∠MAN+∠GAM=90°，∠GAM+∠GMA=90°， ∴∠GMA=∠MAN， 在Rt△AGM和△ADM中 ∴Rt△AGM≌△ADM（HL）， ∴∠GMA=∠DMA， ∴∠MAN=∠DMA， ∴AM=AN， ∴△AMN是等腰三角形. 【知识点】全等图形的概念；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定 【解析】【分析】利用全等图形的性质可证得AG=AD，∠AGM=∠ADM=∠GAE=90°，利用余角的性质可证得∠GMA=∠MAN；利用HL证明Rt△AGM≌△ADM，利用全等三角形的性质可证得∠GMA=∠DMA，据此可推出∠MAN=∠DMA，利用等角对等边可证得AM=AN，据此可证得结论. 18．【答案】解：S△ABC=. ∴AC＝cm， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝(2）²+（）²=27， ∴AB=cm， ∵S△ABC=， ∴CD＝cm. 【知识点】二次根式的乘除法；三角形的面积；勾股定理 【解析】【分析】由S△ABC可求出AC的长，然后利用勾股定理求出AB的长，最后再利用三角形的面积公式即可求出CD的长. 19．【答案】（1）解：当为斜边时，不是奇异三角形； 当为斜边时，， ， 或， 不是奇异三角形． 当为斜边时，是奇异三角形． 当为斜边时，， ， ， ， 是奇异三角形 （2）解：在中，， ，， 是奇异三角形， ， ， ， ， ， ， ：：：：． 【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的应用；定义新运算 【解析】【分析】（1）分①当为斜边时， ②当为斜边时，根据新定义进行验证，即可求解； （2）根据勾股定理可得，根据是奇异三角形，得出，进而得出，即可求解． 20．【答案】（1）由题意得：②的面积为a2+b2+2 ab=a2+b2+ab； 图③的面积为c2+2 ab=c2+ab， ∴a2+b2+ab=c2+ab， 即a2+b2=c2； （2）S1+S2=S3 （3）47 （4）S1+S2=S3 （5）30 （6）设绳索长为x尺，根据题意得： x2-（x-3）2=82， 解得：x= ， 答：绳索长为 尺． 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：【探究二】S1+S2=S3． 证明如下： ∵S3=c2，S1=a2，S2=b2， ∴S1+S2=a2+b2=c2=S3； 故答案为：S1+S2=S3； 迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知 SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47； 故答案为：47； 【探究三】S1+S2=S3． 证明如下： ∵S3= πc2，S1= πa2，S2= πb2， ∴S1+S2= πa2+ πb2= πc2=S3； 故答案为：S1+S2=S3； 迁移应用： 阴影部分面积和=S1+S2+ ab-S3= ab， ∵a=5，c=13， ∴ 12， ∴阴影部分面积和= ×5×12=30， 故答案为：30； 【分析】（1）根据图象，用不同的表达式表示出同一图形的面积，列出等式化简即可； （2）根据勾股定理的性质求解即可； （3）根据勾股定理的性质求解即可； （4）根据勾股定理的性质求解即可； （5）根据勾股定理列出方程求解即可。 21．【答案】（1）解：AB= = ；CD= =2 ． （2）解：如图，EF= = ， ∵CD2+EF2=8+5=13，AB2=13，∴CD2+EF2=AB2，∴以AB、CD、EF三条线段可以组成直角三角形． 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB、CD的长即可； （2）根据勾股定理的逆定理，即可作出判断． 22．【答案】（1）解：∵将△BOC绕点C旋转得到△ADC， ∴OC=CD，∠OCB=∠DCA， ∴∠OCB+∠ACO=∠DCA+∠ACO，即∠ACB=∠DCO. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB=∠DCO=60°， ∴△ODC为等边三角形， ∴∠ODC=60°. （2）解：∵将△BOC绕点C旋转得到△ADC，OB=4，OC=5， ∴AD=OB=4，∠ADC=∠BOC=150°. ∵△OCD为等边三角形， ∴∠OD=OC=5. ∵∠ADC=150°，∠ODC=60°， ∴∠ADO=90°， ∴AO=. 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质 【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得：OC=CD，∠OCB=∠DCA，结合角的和差关系可得∠ACB=∠DCO，由等边三角形的性质可得∠ACB=∠DCO=60°，推出△ODC为等边三角形，据此求解； （2）由旋转的性质可得AD=OB=4，∠ADC=∠BOC=150°，根据等边三角形的性质可得∠OD=OC=5，由角的和差关系可得∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，然后利用勾股定理计算即可. 23．【答案】（1）在中，，； 据勾股定理可得： = （2）解：小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车行驶没有超速． 答：这辆小汽车没有超速． 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【分析】（1）由题意可得AC=30m，AB=50m，然后根据勾股定理计算即可； （2）利用BC的值除以时间求出速度，然后与80进行比较即可判断. 24．【答案】（1）证明：∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：延长、交于点G， 在中，∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，即，且F是的中点， ∴， ∵， ∴． 【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）由中点的概念可得AD=2DF，由已知条件可知AD=2CD，则CD=DF，由等腰三角形的性质可得∠DFC=∠DCF，根据平行线的性质可得∠DFC=∠FCB，则∠DCF=∠BCF，据此证明； （2）延长BA、CF交于点G，由平行四边形以及平行线的性质可得∠G=∠FCD，利用AAS证明△AGF≌△DCF，得到GF=CF，AG=DC，利用勾股定理可得BC的值，然后求出AD、AG、AE、EG的值，由中点的概念可得S△EGF=S△ECG，据此计算； （3）由直角三角形斜边上中线的性质可得EF=CG，然后结合GF=CF进行解答. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$