三角函数与解三角形小题训练（8+3+3）-2025届高三数学一轮复习

三角函数与解三角形小题训练-2025年高三数学上学期一轮复习 一、单选题 1．若对于任意的实数都有成立，则的值可能是（    ） A． B． C． D．0 2．已知函数，且是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 3．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，函数的图象经过点和，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．函数的图象与直线仅有三个公共点 6．已知的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则的值为（   ） A．－8 B．－6 C．6 D．8 8．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（） A． B．当时， C．当时， D．当时， 11．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，，则是直角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若为钝角三角形，且，，，则的面积为 三、填空题 12．在中，若，则 . 13．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 . 14．中，，AD为的平分线，D点在线段BC上，则的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A C D A C AC ACD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】利用两角和差公式和诱导公式求解即可. 【详解】， 故，即， 当时， 故选：A 2．A 【分析】分析可知，可求出的值，然后利用辅助角公式化简函数的解析式，验证为奇函数即可. 【详解】因为函数为奇函数，即， 且函数的定义域为，所以，， 可得，解得， 所以，， 则为奇函数，合乎题意. 因此，. 故选：A. 3．D 【分析】首先根据三角函数的定义，求出的值，得到的值，结合两角差的正切公式，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点， 因为， 所以且，解得， 所以，则． 故选：D． 4．A 【分析】由余弦定理求解即可； 【详解】如图，由题可知. 在中，由余弦定理可得海里， 所以乙船至少需要航行的海里数为. 故选：A. 5．C 【分析】根据函数图象求出周期，即可求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式，最后根据二倍角公式及正弦型函数的图象和性质判断即可. 【详解】由已知，函数的图象经过点和， 所以，所以，所以，故A正确； 得，由的图象过点， 且在附近单调递增，所以， 又，可得，故B正确； 所以， 由，得，故C错误； 对于D，作图可知函数的图象与直线有三个公共点，故D正确. 故选：C. 6．D 【分析】先弦化切结合正弦和角公式得出，再根据正弦定理与余弦定理得，利用基本不等式计算最值即可 【详解】因为 ， 又，所以， 所以，由正弦定理可得， 又余弦定理，即， 所以，则由余弦定理， 当且仅当时取得等号. 故选：D 【点睛】思路点睛：利用同角三角函数的商数关系切化弦，结合正余弦定理角化边再利用基本不等式计算最值. 7．A 【分析】先由，，求出，然后利用诱导公式化简式子求值即可. 【详解】，， 所以，所以 ， 故选：A 8．C 【分析】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得，利用正弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其范围. 【详解】由和，可得， 由正弦定理，，即， 因，故得， 因是锐角三角形，故，则有，从而，. 又由正弦定理，， 即得 于是 ， 由可得， 则，故， 故的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理在求解三角形中的应用，属于难题. 解题关键是，首先要将代入已知等式，将其化成边的齐次型，为正弦定理化边为角创造条件，再次，要会将的范围通过定理转化为角的三角函数问题，利用正（余）弦型函数的值域求其范围即可. 9．AC 【分析】根据同角三角函数关系式计算可判断A；根据余弦两角和差的公式计算可判断B，C；根据二倍角公式结合和差公式可判断D . 【详解】因为，故，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 10．ACD 【分析】对于A，用和差化积公式及二倍角公式化简可以判断；对于B，利用导数研究的单调性，进而可求的最值；对于C，利用B的单调性比较自变量的大小即可比较函数值的大小；对于D，运用分析法，多次使用和差化积、积化和差公式即可推导. 【详解】对于A，， 由和差化积公式:得： , 其中，故所以即A正确； 对于B，对求导,， 在上，令得令得 所以在和单调递减,在单调递增, 故在区间上的最大值为,且,故B错误； 对于C，当时单调递增,故在上单调递增, 而当时,，且,故正确； 对于D， ， 由和差化积公式:得 因为，所以，所以， 所以 而, , 由积化和差得 ,其中, 上述不等式显然成立，故D正确, 故选：ACD 【点睛】结论点睛：和差化积与积化和差公式 和差化积公式： . 积化和差公式： ， ， ， . 11．AC 【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A选项；利用余弦定理即可判断B选项；利用正弦定理边化角即可判断C选项；利用余弦定理求出或，再进行分类讨论即可判断D选项. 【详解】对于A, 若为锐角三角形，则 即， 故，故A正确； 对于B，若，，则， 即，故，且，故是等边三角形，故B错误； 对于C，若，则 即即 故，是等腰三角形.故C正确； 对于D，，解得或， 且， 当时，，为钝角，故， 当时，，B为钝角，故，故D错误. 故选：AC 12． 【分析】利用同角三角函数的平方关系与商数关系计算即可. 【详解】由题意可知， 所以，即， 所以. 故选：. 13． 【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可. 【详解】，故， 因为在区间上的值域为， 且，故必有 ， 如图所示，则故 故答案为： 14．9 【分析】先利用等面积法求出，再利用基本不等式求解. 【详解】为的角平分线，，如图，    由等面积法， 所以， 所以 当且仅当时等号成立，即最小值为9. 故答案为：9 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$