圆锥曲线与方程综合练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆锥曲线与方程综合练习 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，则m＝（　　） A．1 B．2 C．8 D．16 2．已知椭圆，则“m＝2”是“椭圆C的离心率为的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MF|＝4，O为坐标原点，则|OM|＝（　　） A．4 B．4 C．5 D．2 4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）与斜率为32p的直线恰有一个公共点P，则点P的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 5．已知椭圆，斜率为2的直线与椭圆相交于两点M，N，MN的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆C的离心率是（　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线C：x2﹣y2＝1右支上两点，若AB＝6，则AB中点横坐标的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⊥MF2的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若且，则λ＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．若直线l：x﹣y+1＝0与抛物线y2＝﹣4x交于A，B两点，则（　　） A．l的倾斜角为45° B．|AB|＝7 C．l的倾斜角为135° D．|AB|＝8 （多选）10．已知双曲线C：，则下列说法正确的是（　　） A．直线与双曲线有两个交点 B．双曲线C与有相同的渐近线 C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3 D．双曲线的焦点坐标为（﹣13，0），（13，0） （多选）11．下列说法正确的是（　　） A．椭圆的长轴长是2 B．抛物线y2＝4x的焦点是（0，1） C．等轴双曲线的离心率是 D．x2+y2﹣2x+2＝0不是圆方程 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知圆x2+y2+4x＝0上恰有3个点到双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 　 　． 13．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 　 　． 14．双曲线的实轴长为4，则a＝　 　． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F作直线l交抛物线E于A，B两点，D为抛物线E上的动点，且|DF|的最小值为1． （1）求抛物线E的方程； （2）若直线l交抛物线E的准线于点C（﹣1，﹣2），求线段AB的中点的坐标． 16．已知M（4，0）、N（1，0），若动点P满足． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若斜率为1的直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 17．抛物线x2＝16y的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，点A（2，0），求|PF|﹣|PA|的最大值． 18．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，又知此抛物线顶点到焦点的距离为2． （1）求此抛物线的方程； （2）若此抛物线方程与直线y＝kx﹣2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值． 19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，过点P（0，a）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，当l过坐标原点O时，|AB|＝2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当l斜率存在时，线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之和为定值．若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线与方程综合练习 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，则m＝（　　） A．1 B．2 C．8 D．16 【分析】由双曲线方程求得其渐近线方程，结合已知列式求得m值． 【解答】解：∵曲线C是双曲线， ∴m＞0，双曲线的焦点在y轴上， 此时a＝2，b＝，渐近线方程为y＝， 又双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x， ∴，即m＝1． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线渐近线方程的应用，是基础题． 2．已知椭圆，则“m＝2”是“椭圆C的离心率为的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由题意得，再分椭圆焦点在x轴上和椭圆焦点在y轴上，求得m后即可求解． 【解答】解：椭圆C的离心率为，即， 若椭圆焦点在x轴上，则，得m＝2， 若椭圆焦点在y轴上，则，得m＝， 故“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题． 3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MF|＝4，O为坐标原点，则|OM|＝（　　） A．4 B．4 C．5 D．2 【分析】根据抛物线的定义求得点M的坐标，进而求得|OM|． 【解答】解：∵知抛物线C方程为：y2＝8x，∴p＝4， 设M（x0，y0），由|MF|＝4，得， 又p＝4，所以x0＝2， ∴M（2，±4），． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题． 4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）与斜率为32p的直线恰有一个公共点P，则点P的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】设直线方程为y＝32px+m，联立，则，则，然后求解． 【解答】解：已知抛物线y2＝2px（p＞0）与斜率为32p的直线恰有一个公共点P， 设直线方程为y＝32px+m， 联立， 则， 则， 即， 即， 即， 即点P的纵坐标为． 故选：B． 【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题． 5．已知椭圆，斜率为2的直线与椭圆相交于两点M，N，MN的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆C的离心率是（　　） A． B． C． D． 【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），所以，两式相减化简即得解． 【解答】解：椭圆，斜率为2的直线与椭圆相交于两点M，N，MN的中点坐标为（1，﹣1）， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则①，②， ∵MN的中点坐标为（1，﹣1），∴， ∵直线MN的方程是y＝2（x﹣1）﹣1，∴y1﹣y2＝2（x1﹣x2）， ①②两式相减可得：， ∴，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 6．在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线C：x2﹣y2＝1右支上两点，若AB＝6，则AB中点横坐标的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用双曲线的第二定义可得＝e＝，＝e＝，即可利用中位线以及三点共线求解最值． 【解答】解：双曲线﹣＝1右支上的点到右焦点的距离与到准线x＝的距离之比等于离心率， 由双曲线为等轴双曲线，得离心率为e＝， 双曲线右焦点为F，连接AF，BF，取AB中点为M， 过A，B，M，分别作准线x＝的垂线，垂足分别为A′，B′，M′， 设P（x，y），F（c，0）， 则＝＝＝＝＝， ∴由双曲线的第二定义得：＝＝e＝， 则|MM′|＝（|AA′|+|BB′|）＝（）＝（|AF|+|BF|）≥（|AB|）＝＝， 当且仅当A，B，F三点共线时，取最小值， ∴AB中点横坐标的最小值为＝2． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线第二定义、直线与双曲线位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⊥MF2的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】M在F1F2为直径的圆上，即x2+y2＝c2，根据c＜b得到离心率范围． 【解答】解：因为MF1⊥MF2，故M在F1F2为直径的圆上，即x2+y2＝c2， 圆在椭圆内部，故c＜b，， 故． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题． 8．已知抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若且，则λ＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】设准线与x轴的交点为K，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，可得，可求|FB|，进而可得，求解即可． 【解答】解：设准线与x轴的交点为K，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1， 则BB1∥FK∥AA1．根据抛物线定义知|BB1|＝|BF|，|AA1|＝|AF|， 又若，且， 因为BB1∥FK∥AA1，设|BF|＝m， 则，∴，又p＝3，解得m＝2，∴|AF|＝λ|FB|＝2λ， 所以|BA|＝2+2λ，因为BB1∥FK∥AA1， 所以，∴，解得λ＝3． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线的性质，属于中档题． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．若直线l：x﹣y+1＝0与抛物线y2＝﹣4x交于A，B两点，则（　　） A．l的倾斜角为45° B．|AB|＝7 C．l的倾斜角为135° D．|AB|＝8 【分析】根据直线方程可求出斜率从而得到倾斜角，联立直线和抛物线方程，由直线过焦点可得|AB|的值． 【解答】解：因为y2＝﹣4x的焦点F（﹣1，0）， 直线l：x﹣y+1＝0，过（﹣1，0），k＝1， 所以直线l的倾斜角为45°，故A正确，C错误； 联立，得x2+6x+1＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2＝﹣6， 则|AB|＝p﹣（x1+x2）＝8， 故D正确，B错误． 故选：AD． 【点评】本题考查了直线方程及直线和抛物线相交的弦长问题，属于基础题． （多选）10．已知双曲线C：，则下列说法正确的是（　　） A．直线与双曲线有两个交点 B．双曲线C与有相同的渐近线 C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3 D．双曲线的焦点坐标为（﹣13，0），（13，0） 【分析】由双曲线C的方程可得渐近线的方程及焦点坐标，可判断A，D不正确；判断B，C正确． 【解答】解：双曲线C：，可得渐近线的方程y＝±x，且焦点坐标为（±，0）， A中，因为直线与其中一条渐近线平行，所以直线与双曲线只有一个交点，所以A不正确； B中，双曲线的渐近线方程为y＝±x，可得与C的渐近线相同，所以B正确； C中，其中一个焦点（，0），其中一条渐近线方程为3x+2y＝0，所以焦点到渐近线的解得d＝＝3，所以C正确； D中，双曲线的焦点坐标为（±，0），所以D不正确． 故选：BC． 【点评】本题考查双曲线的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． （多选）11．下列说法正确的是（　　） A．椭圆的长轴长是2 B．抛物线y2＝4x的焦点是（0，1） C．等轴双曲线的离心率是 D．x2+y2﹣2x+2＝0不是圆方程 【分析】根据圆锥曲线的性质逐一判断即可． 【解答】解：椭圆中a＝3，故长轴长2a＝6，A错； 抛物线y2＝4x的焦点是（1，0），B错； 等轴双曲线的离心率是，C对； x2+y2﹣2x+2＝（x﹣1）2+y2+1＝0不是圆方程，D对． 故选：CD． 【点评】本题主要考查圆锥曲线的性质，考查计算能力，属于基础题． 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知圆x2+y2+4x＝0上恰有3个点到双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 　　． 【分析】求得圆的圆心和半径，由题意可得圆心到一条渐近线的距离为1，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系式，进而得到离心率． 【解答】解：圆x2+y2+4x＝0的圆心为（﹣2，0），半径为2， 双曲线的渐近线方程为bx﹣ay＝0和bx+ay＝0， 由题意可得圆心到一条渐近线的距离为1， 即有＝1，化为a2＝3b2， 可得e＝＝＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质和圆的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 13．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 　　． 【分析】由a＞b＞0，∴，从而判断渐近线的倾斜角为，得到，再根据c2＝a2+b2，得到离心率． 【解答】解：∵a＞b＞0，∴，因为两条渐近线的夹角为， 所以，渐近线的倾斜角为，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题的关键是由渐近线的夹角求出a． 14．双曲线的实轴长为4，则a＝　1　． 【分析】根据给定条件，确定双曲线的焦点位置，再列式计算即得． 【解答】解：显然a2+a+2＞0恒成立，则双曲线E的焦点在x轴上， 于是，所以a＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F作直线l交抛物线E于A，B两点，D为抛物线E上的动点，且|DF|的最小值为1． （1）求抛物线E的方程； （2）若直线l交抛物线E的准线于点C（﹣1，﹣2），求线段AB的中点的坐标． 【分析】（1）由题意，列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程； （2）先得到直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理再进行求解即可． 【解答】解：（1）易知抛物线E的焦点F（，0）， 因为D为抛物线E上的动点，且|DF|的最小值为1， 所以＝1， 解得p＝2， 则抛物线E的方程为y2＝4x； （2）由（1）知，过焦点F（1，0）的直线l交抛物线E的准线于点C（﹣1，﹣2）， 可得直线l的方程为y＝x﹣1， 联立，消去y并整理得x2﹣6x+1＝0， 此时Δ＞0恒成立， 由韦达定理得x1+x2＝6， 不妨设线段AB的中点为M（x，y）， 此时＝3， 又点M在直线y＝x﹣1上， 解得y＝2， 故线段AB的中点的坐标为（3，2）． 【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 16．已知M（4，0）、N（1，0），若动点P满足． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若斜率为1的直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 【分析】（1）设P（x，y），求出，，，代入求解即可； （2）设直线l的方程为：y＝x+m，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可 【解答】解：（1）设P（x，y）， 则＝（﹣3，0），＝（x﹣4，y），＝（1﹣x，﹣y）， 又因为， 所以﹣3（x﹣4）＝6， 整理得：3x2+4y2＝12， 即， 所以C的轨迹方程为； （2）设直线l的方程为：y＝x+m， 由，可得7x2+8mx+4m2﹣12＝0， Δ＝64m2﹣28（4m2﹣12）＝﹣48m2+12×28＞0， 解得m2＜7， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2＝﹣，x1x2＝， 所以|AB|＝•＝•， 又因为， 所以•＝， 所以＝， 所以m2＝4＜7， 解得m＝2或m＝﹣2， 所以直线l的方程为y＝x+2或y＝x﹣2． 【点评】本题考查了求椭圆方程、韦达定理及弦长公式的应用，属于中档题． 17．抛物线x2＝16y的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，点A（2，0），求|PF|﹣|PA|的最大值． 【分析】求出抛物线x2＝16y的焦点坐标和准线方程，作PM⊥准线l，M为垂足，由抛物线的定义得出P，A，M三点共线时，|PF|﹣|PA|取得最大值，求出最大值即可． 【解答】解：由x2＝16y，得2p＝16，所以p＝8，＝4， 所以抛物线的焦点为F（0，4），准线方程为l：y＝﹣4； 作PM⊥准线l，M为垂足，又A（2，0），由抛物线的定义得|PF|﹣|PA|＝|PM|﹣|PA|， 当P，A，M三点共线时，|PF|﹣|PA|取最大值，最大值为|AM|＝0﹣（﹣4）＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了抛物线的定义与应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题． 18．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，又知此抛物线顶点到焦点的距离为2． （1）求此抛物线的方程； （2）若此抛物线方程与直线y＝kx﹣2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值． 【分析】（1）由题意设抛物线方程为：y2＝2px（p＞0），由＝2即可求解； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和抛物线方程由韦达定理即得解． 【解答】解：（1）∵抛物线顶点在原点，焦点在x轴正半轴上， ∴设抛物线方程为：y2＝2px（p＞0）， 又知此抛物线顶点到焦点的距离为2， ∴＝2，p＝4， 则抛物线的方程为y2＝8x； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由得k2x2﹣（8+4k）x+4＝0， ∵此抛物线方程与直线y＝kx﹣2相交于不同的两点A，B， ∴Δ＝（8+4k）2﹣16k2＞0，即k＞﹣1， 又AB中点的横坐标为2， ∴，即k＝﹣1或k＝2， 又k＞﹣1，所以k＝2． 【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，过点P（0，a）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，当l过坐标原点O时，|AB|＝2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当l斜率存在时，线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之和为定值．若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（Ⅰ）由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程； （Ⅱ）假设存在点Q满足条件，设出直线l的方程和A，B，Q的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理以及斜率公式进行求证即可． 【解答】解：（Ⅰ）当直线l过坐标原点O时，|AB|＝2b＝2， 解得b＝1， 因为椭圆C的离心率为， 所以， 可得， 解得a＝2， 则椭圆C的方程为； （Ⅱ）假设存在定点Q（0，m），m∈[0，2]满足条件， 不妨设直线l的方程为y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（4k2+1）x2+16kx+12＝0， 此时Δ＞0， 由韦达定理得，， 所以 ＝（2﹣m）（）+2k＝（2﹣m）•+2k＝， 则当时，kQA+kQB＝0为定值． 故存在定点，使得直线QA与直线QB的斜率之和恒为0． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/20 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