专题06 平面直角坐标系中的几何问题分类训练（3种类型30道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版）

专题06 平面直角坐标系中的几何问题分类训练 （3种类型30道） 目录 【题型1 动点最值问题】 1 【题型2 探究数量关系】 6 【题型3 动点存在性问题】 10 【题型1 动点最值问题】 1．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 2．已知，在平面直角坐标系中，点，，过点作直线与轴互相垂直，为轴上的一个动点，且． (1)如图1，若点是第二象限内的一个点，且时，则点的坐标为___________；___________． (2)如图2，若点是第三象限内的一个点，设点的坐标，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，连接，作的平分线，点分别是射线与边上的两个动点，连接，当时，试求的最小值． 3．如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接、，可知此时是等腰直角三角形． (1)如图2，在长方形中，点P是边上一点，在边、上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，．要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【问题探究】 (2)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是等腰直角三角形，则点C的坐标？ 【问题解决】 (3)如图4，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值． 4．如图，已知点A（a，0），点C（0，b），其中a、b满足|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，四边形OABC为长方形，将长方形OABC沿直线AC对折，点B与点B′对应，连接点C交x轴于点D． （1）求点A、C的坐标； （2）求OD的长； （3）E是直线AC上一个动点，F是y轴上一个动点，求△DEF周长的最小值． 5．平面直角坐标系中，A（0，4），B（﹣4，0），点C为x轴上的点，且△ABC的面积为2． （1）如图1，求点C的坐标； （2）如图2，若点C在点B的右侧，连AC并延长至点D，使得DO＝AO，过点B作BE∥y轴交OD的延长线于点E，求OE﹣BE的值； （3）如图3，若点C在点B的右侧，点P为y轴上一点，CP为腰作等腰△CPQ，其中PC＝PQ，且∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），AC＝5，连接OQ，求线段OQ的最小值． 6．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足：（m＋n ）2＋|n－6| ＝0．    （1）求：①m，n的值；② S△ABE 的值； （2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标． （3）如图2，点E为y轴正半轴上一点，且 ∠OAE＝ 30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段OA上一动点，试求OM＋MN 的最小值（图1与图2中点A的坐标相同）． 7．问题：在平面直角坐标系中有两点，，如何求线段的长度？小明在网上搜索到下面的文字材料： 在轴上有两个点，它们的坐标分别为和．则这两点所成线段长为；同样的，若在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为． 根据上面材料，完成探究： （1）如图1，在直角坐标系中的任意两点P₁，P₂其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边____，_____，利用勾股定理可得，_____． 应用： （2）平面直角坐标系中，已知两点．和 线段_____． （3）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是x轴上的动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，点C在什么位置时的周长最小？最小值是多少？ 8．在平面直角坐标系中，已知． (1)如图1，若点，直接写出点的坐标； (2)如图2，若点，求点的坐标（用含的式子表示），并直接写出的最小值． 9．如图，，，都在边长为1个单位的正方形网格的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)画出点关于直线的对称点，连，．直接写出为 ； (3)点，分别为边，上的动点，请找出点，的位置，使得最小，直接写出的最小值为 ． 10．已知点A（4m﹣6，0），B（0，m+3）分别为两坐标轴正半轴上一点，OA＝OB． （1）求m的值及点A、点B的坐标； （2）若点D为线段OA上一点（不与O，A重合）． 　 ①如图1，将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处，点P是直线BD上一动点，求△PEA的周长的最小值； ②如图2，点F为AB的中点，点C在y轴负半轴上，若AD+OC＝CD，则∠CFD的大小是否发生改变，若不变，请求出∠CFD度数；若变化，请说明理由． 【题型2 探究数量关系】 11．已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 12．如图，点、，且a、b满足． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t，当时，求t的取值范围： (3)如图3，点C在线段上，（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论． 13．如图，点，且满足． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点C在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，且，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段长为定值，请求出该定值 14．如图，点，，满足，若点为射线上异于原点和点A的一个动点． (1)如图1，①直接写出：点A的坐标为________，点的坐标为________； ②当点位于点与点A之间时，连接，以线段为边作等腰直角（为直角顶点，，，按逆时针方向排列），连接．求证：；（提示：在同一三角形中，等角对等边） (2)点是直线上异于点A与点的一点，使得，过点作交轴于点，探究，，之间的数量关系，并证明． 15．在平面直角坐标系中，，，，P点为y轴上一动点，且． (1)求点A、B、M的坐标； (2)当P点在线段上运动时，试问是否存在一个点P使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)不论P点运动到直线上的任何位置（不包括点O、M），、、三者之间是否都存在某种固定的数量关系，如果有，请利用所学知识找出并证明；如果没有，请说明理由． 16．如图1，以直角的直角顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，并且满足． (1)直接写出点A，点C的坐标； (2)如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段的中点D的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且平分，点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在上运动的过程中，探究之间的数量关系，直接写出结论． 17．在平面直角坐标系中，点和点在坐标轴上，其中点，满足，将线段平移至线段处，且点的对应点为点，点的对应点为点． (1)求，两点的坐标． (2)如图1，若点在第四象限且坐标为，的面积等于15，求点的坐标． (3)如图2，若平移后，两点在坐标轴上，为线段上一动点（不包括点和点），连接，平分，，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，点，点P从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，且点P，点Q同时出发，设运动时间为t秒． (1)和位置关系是_________________； ___________； ___________；（用含t的式子表示） (2)如图1，当点P，点Q分别是线段上时，连接，若，求出点P的坐标； (3)在点P，点Q运动过程中，当时，请猜想和的数量关系，并说明理由． 19．等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 20．如图①，在平面直角坐标系中，已知，，，点B在x轴上，，且，连接，． (1)直接写出点B的坐标：B（_____，______） (2)连接，若点M在y轴上且三角形的面积是三角形面积的2倍，求点M的坐标； (3)如图②，若点E是线段延长线上的一点，连接，，判断，，之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【题型3 动点存在性问题】 21．已知在平面直角坐标系中有三点，请回答如下问题： (1)在坐标系内描出点A、B、C的位置，连接，则的面积是 ； (2)画出关于x轴对称的； (3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为5．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中 b，c满足，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S． (1)求a，b，c的值； (2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S； (3)是否存在点M，使得S等于三角形的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， (1)求点C的坐标． (2)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． (3)坐标轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)若x轴上存在一点P，使得周长最短，周长最小值为__________，此时点P的坐标为__________． ； 25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)请在下图中画出与关于轴对称的； (2)求的面积； (3)连接，在轴是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，当的面积等于的面积的一半时，求t的值； (3)当P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，分别以所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)直角三角形的面积为______； (3)已知轴、轴上分别有动点，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴负方向匀速移动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴正方向匀速移动，两点同时出发，当点到达点时，整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒，是否存在这样的值，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 28．已知在平面直角坐标系中有点，，，． (1)在坐标系内描出的位置； (2)求出的面积； (3)在y轴上是否存在一点P使得以三点为顶点的三角形面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 29．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． (1)直接写出点和点的坐标，其中点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)动点若从点出发，沿射线以1个单位长度/秒的速度运动，运动时间为（秒），当为直角三角形时，求的值． (3)动点若从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动，运动时间为（秒），点，连接、，是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 30．综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________． (2)当点P在线段上时（不含端点），如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）． (3)在（2）条件下，若，则t的值为__________． (4)若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形能与全等？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面直角坐标系中的几何问题分类训练 （3种类型30道） 目录 【题型1 动点最值问题】 1 【题型2 探究数量关系】 27 【题型3 动点存在性问题】 50 【题型1 动点最值问题】 1．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 2．已知，在平面直角坐标系中，点，，过点作直线与轴互相垂直，为轴上的一个动点，且． (1)如图1，若点是第二象限内的一个点，且时，则点的坐标为___________；___________． (2)如图2，若点是第三象限内的一个点，设点的坐标，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，连接，作的平分线，点分别是射线与边上的两个动点，连接，当时，试求的最小值． 【答案】(1)， (2)不变， (3) 【分析】（1）如图1，过点作轴于点，由“”可证，可得，即可求解； （2）如图2，过点作轴于点，则，由“”可证，可得，由点在第三象限，可求解； （3）如图3，在上截取，由“”可证，可得，则，当三点共线，且与点重合时，有最小值，为的长，由勾股定理可求解． 【详解】（1）如图1，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，点在轴负半轴， ∴点． 故答案为：，． （2）不变，． 理由：如图2，过点作轴于点，则， ∵， ∴，且， ∴， ∵点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标， ∴， ∴． （3）如图3，在上截取， ∵是的平分线， ∴，且， ∴ ∴， ∴， ∴当三点共线，且与点重合时，有最小值， 此时最小值为， 由（1）可知：点， ∴， ∴ ∴的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是本题的关键． 3．如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接、，可知此时是等腰直角三角形． (1)如图2，在长方形中，点P是边上一点，在边、上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，．要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【问题探究】 (2)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是等腰直角三角形，则点C的坐标？ 【问题解决】 (3)如图4，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)或或； (3) 【分析】（1）以点D为圆心以的长为半径画弧交于F，以点C为圆心以的长为半径画弧交于E，则点E、F即为所求； （2）分三种情况：①当，时，②当，时，③当，时，分别作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质求解即可； （3）作于H，设点C的坐标为，可得，求出的最小值，相当于求点到点和点距离之和的最小值，然后作M关于直线的对称点，易得，连接，则为和距离之和的最小值，即的最小值，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图2，以点D为圆心以的长为半径画弧交于F，以点C为圆心以的长为半径画弧交于E，则点E、F即为所求； 证明：连接、、， 由作图可知：，， ∵在长方形中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：分三种情况： ①当，时， 如图3，过C作轴于D，过B作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当，时， 如图4，过B作轴于E，过C作轴于G，作于F，则，， 同①得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ③当，时， 如图5，过B作轴于E，过C作轴于D，过B作于F，过A作于G，则，，，， 同①得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点C的坐标是或或； （3）解：如图，作于H， 设点C的坐标为， 由（2）①知：，， 则点， 则， 求的最小值，相当于求点到点和点距离之和的最小值， ∴点P在一、三象限的角平分线上， 如图，作M关于直线的对称点，易得，连接， 则为和距离之和的最小值，即的最小值， ∵ ， ∴的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、尺规作图以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 4．如图，已知点A（a，0），点C（0，b），其中a、b满足|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，四边形OABC为长方形，将长方形OABC沿直线AC对折，点B与点B′对应，连接点C交x轴于点D． （1）求点A、C的坐标； （2）求OD的长； （3）E是直线AC上一个动点，F是y轴上一个动点，求△DEF周长的最小值． 【答案】（1）A点的坐标为（8，0），C点的坐标为（0，4）；（2）OD的长为3；（3）△DEF周长的最小值为4． 【分析】（1）根据非负数的性质可得a、b的值，由此可得问题的答案； （2）根据长方形的性质和折叠的性质可得A＝AB＝4，C＝CB＝8，∠＝∠B＝90°，设OD＝x，CD＝y，根据勾股定理列方程，求解可得答案； （3）作点D关于y轴对称点为H，作点D关于直线AC对称点G，连接EG，HF，HG，由翻折的性质得D、H、G点的坐标，当点H，F，E，G四点共线时，DE+DF+EF长取得最小值，由此可得答案． 【详解】解：（1）∵|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0， ∴|a﹣8|+（b﹣4）2＝0， ∵|a﹣8|≥0，（b﹣4）2≥0， ∴a﹣8＝0，b﹣4＝0， ∴a＝8，b＝4， ∴A点的坐标为（8，0），C点的坐标为（0，4）； （2）∵A点的坐标为（8，0），C点的坐标为（0，4）， ∴OA＝8，OC＝4， ∵四边形OABC为长方形， ∴AB＝OC＝4BC＝OA＝8，∠B＝∠COA＝∠OCB＝∠OAB＝90°， 由折叠性质可知：A＝AB＝4，C＝CB＝8，∠＝∠B＝90°， 设OD＝x，CD＝y， 则AD＝OA﹣OD＝8﹣x，D＝C﹣CD＝8﹣y， Rt△OCD中，CD2＝OC2+OD2， 即x2+16＝y2①， Rt△AD中，AD2＝D2+A2， 即（8﹣x）2＝（8﹣y）2+16②， 联立①②式解得：， ∴OD＝3， 故OD的长为3． （3）如图所示，作点D关于y轴对称点为H，作点D关于直线AC对称点G，连接EG，HF，HG， ∵△AC为△ACB沿AC翻折得到，点D在BC上， ∴点D关于AC对称点G在BC上， 由对称性可知：CG＝CD，HF＝DF， ∵OD＝3，CD＝5， ∴D点的坐标为（3，0）， 又∵H的坐标为（﹣3，0）， ∴CG＝CD＝5， ∴G点的坐标为（5，4）， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝HF+EG+EF≥GH， 当点H，F，E，G四点共线时，DE+DF+EF长取得最小值为： GH＝＝4， 故△DEF周长的最小值为4． 【点睛】本题属于四边形综合题目，考查了一次函数的性质，长方形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，属于中考压轴题． 5．平面直角坐标系中，A（0，4），B（﹣4，0），点C为x轴上的点，且△ABC的面积为2． （1）如图1，求点C的坐标； （2）如图2，若点C在点B的右侧，连AC并延长至点D，使得DO＝AO，过点B作BE∥y轴交OD的延长线于点E，求OE﹣BE的值； （3）如图3，若点C在点B的右侧，点P为y轴上一点，CP为腰作等腰△CPQ，其中PC＝PQ，且∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），AC＝5，连接OQ，求线段OQ的最小值． 【答案】（1）点C的坐标为（﹣3，0）或（﹣5，0）；（2）OE﹣BE＝3；（3）OQ的最小值为． 【分析】（1）利用△ABC的面积＝BC•OA＝×|m+4|×4＝2，即可求解； （2）过点A作AK⊥y轴，使AK＝BE，连接OK交AE于点G，证明△COD≌△GOA，得到KA＝KG，则OE﹣BE＝OK﹣AK＝OK﹣KG＝OG＝OC＝3； （3）延长AC至M，使AP＝PM，连接AQ交x轴于点N，证明△MPC≌△APQ，则ON＝OC＝3，AN＝AC＝5，在Rt△AON中，设AN边长的高为h，则S△AON＝×AO•ON＝AN•h，即可求解； 【详解】解：（1）设点C(m，0)， 则△ABC的面积＝BC•OA＝×|m+4|×4＝2， 解得m＝﹣3或﹣5， 故点C的坐标为(﹣3，0)或(﹣5，0)； （2）如图2，过点A作AK⊥y轴，使AK＝BE，连接OK交AE于点G， ∴∠OAK＝∠OBE＝90°， ∵AO＝OB＝4， ∴△AOK≌△BOE（SAS）， ∴∠AOG＝∠COD，OK＝OE， ∵AO＝DO，故∠CDO＝∠GAO， 在△GAO和△COD中， ， ∴△COD≌△GOA（AAS）， ∴OC＝OG，则∠OCG＝∠OGC， 而∠KAG＝∠OCG，∠KGA＝∠OGC， ∴∠KAG＝∠KGA， ∴KA＝KG， ∴OE﹣BE＝OK﹣AK＝OK﹣KG＝OG＝OC＝3； （3）在Rt△AOC中，AC＝5，AO＝4，则OC＝3． 如图3，延长AC至M，使AP＝PM，连接AQ交x轴于点N， 在△AOC中，∠CAO＝90°﹣∠ACO＝90°﹣α＝∠MAP， ∵AP＝MP，则∠M＝∠MAP＝90°﹣α， 在等腰△APM中，∠APM＝∠MPC+∠CPO＝180°﹣2∠M＝2α， 而∠CPQ＝∠CPO+∠APQ＝2α， ∴∠APQ＝∠MPC， ∵AP＝PM，CP＝PQ， ∴△MPC≌△APQ（SAS）， ∴∠M＝∠PAQ＝∠CAO， 又∵AO＝AO，∠AOC＝∠AON＝90°， ∴△AOC≌△AON（AAS）， ∴ON＝OC＝3，AN＝AC＝5， 在Rt△AON中，设AN边长的高为h， 则S△AON＝×AO•ON＝AN•h， 即3×4＝5h，解得h＝ ， 即OQ的最小值为． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的问题，作辅助线形成全等三角形是本题解题的难点和关键； 6．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足：（m＋n ）2＋|n－6| ＝0．    （1）求：①m，n的值；② S△ABE 的值； （2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标． （3）如图2，点E为y轴正半轴上一点，且 ∠OAE＝ 30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段OA上一动点，试求OM＋MN 的最小值（图1与图2中点A的坐标相同）． 【答案】（1）①；②18；（2）；（3）最小值为3 【分析】（1）①利用非负数的性质即可解决问题．②先确定出OA＝OB＝6，从而求得△ABO的面积． （2）先判断出△DEM≌△BDO得出EM＝DO，MD＝OB＝OA＝6，进而判断出AM＝EM，即可得出∠OAF＝45°，即可得出点F坐标，最后用待定系数法得出直线EA解析式． （3）过点O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，连接MN，此时OM＋MN的值最小． 【详解】解：， 又． ， ． 直线与轴交于点，与轴交于 ， ， 如图1，过点作轴于    是等腰直角三角形， 在和中， ， 如图2中，    过点作于交于作于连接， 此时的值最小． ， 在中，， 的最小值为． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了非负数的性质，三角形面积公式，全等三角形的判断和性质，对称的性质，解本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 7．问题：在平面直角坐标系中有两点，，如何求线段的长度？小明在网上搜索到下面的文字材料： 在轴上有两个点，它们的坐标分别为和．则这两点所成线段长为；同样的，若在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为． 根据上面材料，完成探究： （1）如图1，在直角坐标系中的任意两点P₁，P₂其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边____，_____，利用勾股定理可得，_____． 应用： （2）平面直角坐标系中，已知两点．和 线段_____． （3）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是x轴上的动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，点C在什么位置时的周长最小？最小值是多少？ 【答案】（1），，；（2）5；（3）点，的周长最小值为． 【分析】本题考查了两点之间距离公式，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识； （1）先求出点坐标，即可求解； （2）由两点之间距离公式可求解； （3）作点关于轴的对称点，当点在线段上时，的周长有最小值，再由两点之间距离公式和等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）两点其坐标分别是和，轴，轴， 点， ，， ， 故答案为：，，； （2）两点和， ， 故答案为：； （3）如图2，作点关于轴的对称点，连接    ， 点，的坐标分别为和， ， 的周长， 的周长， 当点在线段上时，的周长有最小值， 点，的坐标分别为和， ， 的周长最小值为， 过点作于， 点， ，， 点， ， ， ， ， ， 点． 综上所述：点，的周长最小值为． 8．在平面直角坐标系中，已知． (1)如图1，若点，直接写出点的坐标； (2)如图2，若点，求点的坐标（用含的式子表示），并直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为3 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，垂线段最短，图形与坐标等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． （1）过点C作轴，交于点H，证明，得出，即可求解． （2）过点B作轴，过点A作轴，过点C作轴，可知四边形是长方形，得出，证明，得出，即可求出点坐标，再根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】（1）解：过点C作轴，交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点B作轴，过点A作轴，过点C作轴， 则， ∴四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 由垂线段最短可知，，即最小值为3． 9．如图，，，都在边长为1个单位的正方形网格的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)画出点关于直线的对称点，连，．直接写出为 ； (3)点，分别为边，上的动点，请找出点，的位置，使得最小，直接写出的最小值为 ． 【答案】(1)△ACB是直角三角形，理由见解析； (2)作图见解析，8； (3)． 【分析】（1）求出各线段长，利用勾股定理逆定理可得答案； （2）作出图形，利用三角形的面积公式可得答案； （3）先取C点关于AB的对称点D，再取格点E，则ED⊥BC，连接ED交AB于P，交BC于Q，此时PC+PQ最短，利用三角形的面积可得答案． 【详解】（1）△ACB是直角三角形， ∵AC2=5，BC2=20，AB2=25， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB是直角三角形； （2）如图所示： △CDB的面积为：×CD×4=×4×4=8， 故答案为：8； （3）如图所示：先取C点关于AB的对称点D，再取格点E，则ED⊥BC，连接ED交AB于P，交BC于Q，此时PC+PQ最短， ∵， ∴， ∴DQ=， ∴CP+PQ的最小值， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形． 10．已知点A（4m﹣6，0），B（0，m+3）分别为两坐标轴正半轴上一点，OA＝OB． （1）求m的值及点A、点B的坐标； （2）若点D为线段OA上一点（不与O，A重合）． 　 ①如图1，将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处，点P是直线BD上一动点，求△PEA的周长的最小值； ②如图2，点F为AB的中点，点C在y轴负半轴上，若AD+OC＝CD，则∠CFD的大小是否发生改变，若不变，请求出∠CFD度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）m＝3，A（6，0），B（0，6）；（2）①△PEA周长的最小值为；②∠CFD的大小不发生改变，∠DFC＝45°． 【分析】（1）由OA＝OB列方程，解方程即可求解； （2）①连接OP，在Rt△AOB中，由勾股定理解得AB的长，再由翻折的性质得到BE＝BO＝6，OP＝PE，据此解得当点P与点D重合时，△PEA的周长最短； ②连接OF，在BO上截取OH＝AD，连接HF，证明△ADF≌△OHF（SAS），得到HF＝DF，∠AFD＝∠OFH，再证明△CFD≌△CFH（SSS），由全等三角形的对应角相等解题． 【详解】解：（1）∵OA＝OB， 又∵点A（4m﹣6，0），B（0，m+3）， ∴4m﹣6＝m+3， ∴m＝3， ∴点A（6，0），点B（0，6）， ∴m＝3，A（6，0），B（0，6）； （2）①如图，连接OP， ∵点A（6，0），点B（0，6）， 在Rt△AOB中，AO＝BO＝6， ∴AB ∵将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处， ∴BE＝BO＝6，OP＝PE， ∵△PEA的周长＝PE+EA+PA＝OP+EA+AP， ∴当点P与点D重合时，△PEA的周长最短， ∴△PEA周长的最小值＝EA+OP+PA＝EA+OA＝AB＝6； （2）②∠CFD的大小不发生改变， 理由如下：如图2，连接OF，在BO上截取OH＝AD，连接HF， ∵OA＝OB，点F是AB的中点，∠AOB＝90°， ∴OF⊥AB，OF＝AF＝BF，∠BAO＝∠BOF＝45°， 又∵OH＝AD， ∴△ADF≌△OHF（SAS）， ∴HF＝DF，∠AFD＝∠OFH， ∵∠AFD+∠DFC+∠OFC＝90°， ∴∠DFC+∠OFC+∠HFO＝90°， ∴∠HFD＝90°，∵AD+OC＝CD，OH+OC＝HC， ∴HC＝CD，又∵CF＝CF，HF＝FD，   ∴△CFD≌△CFH（SSS）， ∴∠DFC＝∠HFC＝45°． 【题型2 探究数量关系】 11．已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； （2）解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． （3）解：，过程如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 12．如图，点、，且a、b满足． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t，当时，求t的取值范围： (3)如图3，点C在线段上，（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b的值，再求出的值，根据三角形的面积公式即可求解； （2）先求出，再分两种情况，当点E在上时和当点E在的延长线上时，利用运动表示出，进而表示出和的面积，根据即可得出结论； （3）由题意可知，在中，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ，， ， 即、， ； （2）由（1）知，， ，， 由运动知，， 当点E在上时，即时，则， ， ， ， ， ， 即； 当点E在的延长线上时，即，则， ， ， ， ， ， 即或； （3）猜想，证明如下： ， ， 在中，， ， 由（1）可知， ， ． 13．如图，点，且满足． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点C在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，且，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段长为定值，请求出该定值 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)2 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，可得到结果； （2）将绕点逆时针旋转得到，根据已知条件得到，由，，可得，求出，推出≌，根据全等三角形的性质得到； （3）作于，在上截取，由，得到，，根据余角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，得到．即：，从而由等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】（1）解：（1）∵， ，， ，， 、， ，， 的面积； （2），证明如下： 如图2，将绕点逆时针旋转得到， ，， ，即，，共线， ，， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ， ； （3）解：作于，在上截取，如图 且， ， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ，即， ， ， ， ． 线段为定值2． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．如图，点，，满足，若点为射线上异于原点和点A的一个动点． (1)如图1，①直接写出：点A的坐标为________，点的坐标为________； ②当点位于点与点A之间时，连接，以线段为边作等腰直角（为直角顶点，，，按逆时针方向排列），连接．求证：；（提示：在同一三角形中，等角对等边） (2)点是直线上异于点A与点的一点，使得，过点作交轴于点，探究，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；②见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性，求出a和b的值，即可得出点A和点B的坐标；②通过证明，得出，则，再推出，即可得出，即可求证； （2）根据题意进行分类讨论：①当点在线段上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论；②当点在延长线上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为：，； ②证明：过点作交轴于点 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：①当点在线段上， 过点作交延长线与点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当点在延长线上， 过点作交延长线与点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等绝对值的非负性，三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．在平面直角坐标系中，，，，P点为y轴上一动点，且． (1)求点A、B、M的坐标； (2)当P点在线段上运动时，试问是否存在一个点P使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)不论P点运动到直线上的任何位置（不包括点O、M），、、三者之间是否都存在某种固定的数量关系，如果有，请利用所学知识找出并证明；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在， (3)存在，理由见详解 【分析】（1）利用非负数的性质，求出、、即可解决问题； （2）设．根据，构建方程即可解决问题； （3）分四种情形，分别画出图形解决问题即可； 【详解】（1）解：， 又 ，，， ，，． ，，； （2）解：设． ，四边形是直角梯形， ， ， ； （3）解：①如图中，当点在线段上时，结论：； 理由：作，则， ，， ， 即， ； ②如图中所示，当点在的延长线上时，结论：． 理由：， ， ， ． ③如图中，当点在的延长线上时，结论：． 理由：， ， ， ． ④如图4， 理由：， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合题坐标与图形、平行线的性质、三角形的面积、非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 16．如图1，以直角的直角顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，并且满足． (1)直接写出点A，点C的坐标； (2)如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段的中点D的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且平分，点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在上运动的过程中，探究之间的数量关系，直接写出结论． 【答案】(1) (2)存在时，使得与的面积相等； (3) 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． （1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论； （2）先表示出，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出，进而判断出，即可判断出，同理，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ； （2）由（1）知，， ， 由运动知， ， ，， 与的面积相等， ， ， ∴存在时，使得与的面积相等； （3）猜想：， 理由如下： 轴轴， ， ， 又， ， 轴平分， ， ， ， 如图，过点H作交x轴于F， ， ， 同理， ， ， ， 即． 17．在平面直角坐标系中，点和点在坐标轴上，其中点，满足，将线段平移至线段处，且点的对应点为点，点的对应点为点． (1)求，两点的坐标． (2)如图1，若点在第四象限且坐标为，的面积等于15，求点的坐标． (3)如图2，若平移后，两点在坐标轴上，为线段上一动点（不包括点和点），连接，平分，，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）利用非负数的性质求解即可． （2）如图1中，分别过点，作轴，轴的垂线交于点，过点作于．根据构建方程求解即可． （3）过点作，由平行线的性质得出，，则可得出答案． 本题属于三角形综合题，考查了平移变换，平行线的性质，三角形的面积，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用面积法求点的坐标，学会利用基本几何模型解决问题． 【详解】（1）解：（1）， 又，， ，， ，． （2）如图1中，分别过点，作轴，轴的垂线交于点，过点作于． ∵， ， 解得， ． （3）． 理由如下：如图2，过点作， ， ， ， ， ， 同理可得， 平分， ， ， ， ． 18．如图，在平面直角坐标系中，点，点P从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，且点P，点Q同时出发，设运动时间为t秒． (1)和位置关系是_________________； ___________； ___________；（用含t的式子表示） (2)如图1，当点P，点Q分别是线段上时，连接，若，求出点P的坐标； (3)在点P，点Q运动过程中，当时，请猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）根据，即可得出结论，由两点间距离即可求出；； （2）设时间经过秒，，则，，得到，由，，及可得的值即可求得的坐标； （3）分情况讨论：当点在点的上方时和当点在点的下方时两种情况讨论即可． 【详解】（1）解： ， 与x轴重合，， ； 根据题意得：，； （2）解：设时间经过秒，，则，， ∴， ∴，， ∵ ∴ 解得， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：或， 理由如下：①当点在点的下方时，过点作，如图所示， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点的上方时；过点作，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 综上所述，或． 【点睛】本题考查动点问题，涉及点的坐标、坐标与图形、平行线的判定与性质，三角形的面积． 19．等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析． 【分析】（1）过点作轴于点，通过证明，得到，，即可求解， （2）在上截取，连接，通过证明，得到，，通过证明，，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形，， ，，， ， 在和中，， ， ，， ， ， 故答案为：， （2）解：在上截取，连接， 由对称性得，， ， ， 是的平分线， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：． 20．如图①，在平面直角坐标系中，已知，，，点B在x轴上，，且，连接，． (1)直接写出点B的坐标：B（_____，______） (2)连接，若点M在y轴上且三角形的面积是三角形面积的2倍，求点M的坐标； (3)如图②，若点E是线段延长线上的一点，连接，，判断，，之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移、三角形面积的计算、平行线的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握平移和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）求出，由且，得出点A向右平移4个单位到点B，即可得出结果； （2）由已知坐标得出，则，得出设点，由，得，求出y的值，即可得出答案； （3）过点E作，易证，得出，，由，即可得出． 【详解】（1）解：，，， ， ，且， 点A向右平移4个单位到点B， 点B的坐标为， 故答案为：； （2）∵点，点， ，， ， ∵， ， 设点， ∵点， ，即， 解得或， 点M的坐标为或； （3），理由如下： 如图②，过点E作， ∵， ， ，， ∵， ． 【题型3 动点存在性问题】 21．已知在平面直角坐标系中有三点，请回答如下问题： (1)在坐标系内描出点A、B、C的位置，连接，则的面积是 ； (2)画出关于x轴对称的； (3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为5．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)图见解析，5 (2)图见解析 (3)存在，或 【分析】本题考查了坐标与图形以及画轴对称图形，掌握相关结论即可． （1）利用“割补法”即可求解； （2）确定各顶点关于x轴的对称点即可完成作图； （3）设点P坐标为，由题意得，，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示： 的面积， 故答案为： （2）解：如图所示： （3）解：设点P坐标为， 由题意得，， 解得或 ∴点P的坐标为或 22．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中 b，c满足，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S． (1)求a，b，c的值； (2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S； (3)是否存在点M，使得S等于三角形的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或． 【分析】此题考查了坐标与图形，算术平方根和平方的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据算术平方根和平方的非负性求出，，然后根据平方根的性质求出； （2）首先求出点M到x轴的距离为，然后根据结合三角形面积公式代入求解即可； （3）首先求出三角形的面积，然后分两种情况讨论：当点M在第四象限时和当点M在第一象限时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵a，b是同一个数的两个不相等的平方根 ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M在第四象限，点M的坐标为 ∴点M到x轴的距离为 ∴； （3）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴三角形的面积 当点M在第四象限时， ∵S等于三角形的面积 ∴ ∴ ∴； 当点M在第一象限时， ∵S等于三角形的面积 ∴ ∴ ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 23．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， (1)求点C的坐标． (2)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． (3)坐标轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的坐标为：或或． 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求解，可得，从而可得答案； （2）先求解，可得，设，可得，再利用面积公式建立方程求解即可； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论：当，此时重合，当，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点D在y轴上， ∴设， ∴， ∵，且满足， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：当重合时，为直角三角形， ∴； 如图，当时，设， ∴，而， ∴， 解得：， ∴， 当时，设， 同理可得： ， 解得：， ∴， 综上：的坐标为：或或． 24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)若x轴上存在一点P，使得周长最短，周长最小值为__________，此时点P的坐标为__________． 【答案】(1)图见解析， (2)3.5 (3)， 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质． （1）根据轴对称性质即可画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）利用割补法求解即可； （3）根据两点之间线段最短即可在x轴上找出一点P，使得的值最小即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；， ； （2）解：的面积； （3）解：如图，点P即为所求． 作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小， 故的周长最小，最小值为．． 故答案为：，． 25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)请在下图中画出与关于轴对称的； (2)求的面积； (3)连接，在轴是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据关于轴对称的特征作出点、、，再顺次连接即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）求出，设，再分两种情况，分别利用割补法计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积； （3）解：点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴， 设， 如图：当点在下方时， ，， 解得：，此时； 如图：当点在上方时， ，， 解得：，此时； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，当的面积等于的面积的一半时，求t的值； (3)当P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)1或9 (3)存在；或2 ；或或或 【分析】（1）根据算术平方根的性质可得m，n的值，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，根据的面积等于的面积的一半，可得，从而得到，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵ ∴A、C两点的坐标分别为；； （2）解：根据题意得：， 设点P的坐标为，则， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， 即， ∴， 当时，， 此时； 当时，； 综上所述，t的值为1或9； （3）解：当P在线段上运动时，在y轴上存在点Q，使与全等， 当时，，此时， ∴Q点的坐标为或； ②当≌时，，此时， ∴Q点的坐标为或． 综上所述：Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形面积公式，全等三角形的性质，平面直角坐标系点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 27．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，分别以所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)直角三角形的面积为______； (3)已知轴、轴上分别有动点，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴负方向匀速移动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴正方向匀速移动，两点同时出发，当点到达点时，整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒，是否存在这样的值，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，． 【分析】本题考查了直角坐标系与几何图形的结合，绝对值和算术平方根非负性，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据 即可得到点、点的坐标； （）根据（）进而利用三角形面积公式即可得直角三角形的面积； （）根据点和点的运动方向和速度，由题意得，，，利用三角形面积公式并根据，即可得到的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：由（）得点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）解：存在， 由题意易知点从点运动到点的时间为秒，点从点运动到点的时间为秒， ∴当时，点在线段上，点在线段上， 由题意得， ∴，， ∵点的坐标是， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 28．已知在平面直角坐标系中有点，，，． (1)在坐标系内描出的位置； (2)求出的面积； (3)在y轴上是否存在一点P使得以三点为顶点的三角形面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)7 (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系点坐标画图，求网格中三角形面积，利用面积求点坐标等． （1）根据题意在平面直角坐标系中描出三个点，，，继而得到答案； （2）先在平面直角坐标系中找出点并顺次连接得到，根据补全法求三角形面积公式即可； （3）设点P的坐标为，继而利用面积公式列式继而求出点P的坐标． 【详解】（1）解：根据题意在平面直角坐标系中描出三个点，，，并顺次连接如下图所示： （2）解：∵，，， ∴在平面直角坐标系中顺次连接得到， ∴； （3）解：∵以三点为顶点的三角形面积为10， ∴点P的坐标为，在平面直角坐标系顺次连接， 设三点围成的三角形高为， ∴， ∵， ∴， ∴点到直线距离为， 当点在轴正半轴上时，，即， 当点在轴负半轴上时，，即， ∴点P的坐标为或． 29．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． (1)直接写出点和点的坐标，其中点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)动点若从点出发，沿射线以1个单位长度/秒的速度运动，运动时间为（秒），当为直角三角形时，求的值． (3)动点若从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动，运动时间为（秒），点，连接、，是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当或时，为直角三角形 (3)当或时， 【分析】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用； （1）根据，结合坐标系可得答案； （2）分两种情况讨论，先画出图形，再结合图形性质与勾股定理可得答案； （3）先求解，再分情况画出图形，结合三角形的面积公式求解即可； 【详解】（1）解：∵为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． ∴，； （2）解：如图， 当重合时，为直角三角形， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：当或时，为直角三角形； （3）解：∵，轴，轴，， ∴， 当在上时，，如图，， ∴， ∴， 解得：， 当在上时，，如图，而， ∴， ∴， 解得：； 综上：当或时，； 30．综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________． (2)当点P在线段上时（不含端点），如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）． (3)在（2）条件下，若，则t的值为__________． (4)若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形能与全等？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)4 (4)存在，或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）判断出，即可得出结论； （3）列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）∵点在线段上， ， ； 故答案为：4； （4）存在 理由如下： ，，点， ，； 当Q在正半轴时， ∴ ∴ 当Q在负半轴时， ∴ ∴ 综上所述：或． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$