16.2 二次根式乘除 解答题常考题型分类训练（5大题型27题）2023—2024学年人教版数学八年级下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第16章 16.2 二次根式乘除 解答题常考题型分类训练（5大题型27题）（解析版） 题型1：二次根式的乘法（8题） 题型2：二次根式的除法（5题） 题型3：二次根式的乘除混合运算（6题） 题型4：最简二次根式的判断及化简（5题） 题型5：已知最简二次根式求参数（3题） 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，实数的混合运算，先计算立方根，算术平方根，二次根式的乘法运算，再合并即可； 【详解】解： ； 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可． （2）利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解： （2） 3．已知，完成下列两题： (1)计算的值： (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法； （1）根据，，可以得到、的值，从而可以得到所求式子的值； （2）将，将、的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ，， 原式 ； （2）解： ，， 原式 ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)63 【分析】本题考查二次根式的乘法运算： （1）根据乘法法则进行计算即可； （2）利用乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 5．计算∶ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的乘法： （1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 6．数学学习小组研究如下问题：已知，，求的值．经过研究给出了下面的解题思路： ； 又 请根据数学学习小组的解题思路，解决下面的问题： 若． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)14 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的乘法运算． （1）利用二次根式的乘法运算法则及完全平方公式计算即可； （2）由（1）知，利用二次根式的乘法运算法则及完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：；， ； （2）解：由（1）知， ， ． 7．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： (1)写出第5个等式； (2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了数字规律，二次根式的乘法，认真观察等式，找出所给规律是解题的关键． （1）根据所给等式可得答案； （2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， 第5个等式： ． （2）解：根据题意，第n个等式为：，理由如下： ， ∴． 8．像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：， 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)若，则______，______． (2)化简：①______，②______ (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1)5，6 (2)①；② (3)46或14 【分析】本题考查完全平方式的应用、二次根式的性质，理解题中运算方法是解答的关键． （1）利用完全平方公式得到，进而可得a、b的值； （2）①②模仿题中运算方法和完全平方式的特点，结合二次根式的性质求解即可； （3）利用完全平方公式得到，然后根据a，m，n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：5，6； （2）解：① ； ② ； （3）解：∵， ∴，即， ∵a，m，n为正整数， ∴或， ∴或， 故a的值为46或14． 9．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键． 10．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 11．化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（1）填空：______，______（填“”、“”或“=”）； （2）若，，求证． 【答案】（1）=，=；（2）见解析 【分析】（1）利用二次根式的性质证明解答即可； （2）利用二次根式的性质证明解答即可． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故． 同理可证，． 故答案为：=，=． （2）∵，， ∴． ∵，， ∴． 13．小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 【答案】(1)不对，见解析 (2)且 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据二次根式的被开方数的非负性可得他的化简不对，利用二次根式的性质化简即可得； （2）根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0即可得． 【详解】（1）解：因为二次根式的被开方数不能小于0，所以他的化简不对． 正确的化简过程如下： ． （2）解：因为二次根式的被开方数不能小于0、分式的分母不能等于0， 所以成立的条件是且． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 15．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘法，再约分即可； （2）先化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简，然后合并同类二次根式即可； （4）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式 （3） 解：原式 （4） 解：原式 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案； （2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； （3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案； （4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 17．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 18．定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式计算可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式解出m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵与是关于C的共轭二次根式， ∴， ∴， ∵C是有理数， ∴， ∴解得． 【点睛】本题通过新定义共轭二次根式考查了二次根式，关键在于理解新定义的含义，并会灵活运用二次根式的性质进行计算． 19．（1）计算： （2）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ①以上化简步骤中第一步化简的依据是：______； ②第______步开始出现错误，请写出错误的原因______； ③该运算正确结果应是______. 【答案】（1）；（2）①商的算术平方根，等于算术平方根的商或（，）；②二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；③. 【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式化简计算即可． （2）①根据二次根式的性质：（，），即可得到答案； ②括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号． ③根据二次根式的性质和运算法则，正确运算即可． 【详解】（1）； （2）①化简步骤中第一化简的依据为（，）， 故答案为：（，）； ②第二步开始出现错误，错误的原因为：括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号； 故答案为：二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号； ③ . 该运算正确结果应是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和性质，熟练掌握二次根式运算的法则是解题的关键． 20．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 【答案】是最简二次根式；其余的式子都不是最简二次根式，化简见解析 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解： 是最简二次根式 21．判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ； ； ． 【答案】（1）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（3）是最简二次根式；（4）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（6）是最简二次根式． 【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可． 【详解】，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 22．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （2）将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （3）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （4）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解： （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算方法是解题的关键． 23．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（，，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键． 24．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 25．已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 26．如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【答案】x=4，y=3． 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 27．已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 【答案】 的值是，的值是；（2）． 【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值； （2）根据算术平方根的概念解答即可． 【详解】∵和是相等的最简二次根式， ∴． 解得，， ∴的值是，的值是； （2）． 【点睛】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键. 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第16章 16.2 二次根式乘除 解答题常考题型分类训练（5大题型27题）（原卷版） 题型1：二次根式的乘法（8题） 题型2：二次根式的除法（5题） 题型3：二次根式的乘除混合运算（6题） 题型4：最简二次根式的判断及化简（5题） 题型5：已知最简二次根式求参数（3题） 题型1：二次根式的乘法（8题） 1．计算：． 2．计算：(1)； (2)． 3．已知，完成下列两题：(1)计算的值：(2)求代数式的值． 4．计算：(1)； (2)． 5．计算∶(1)；(2)； (3)． 6．数学学习小组研究如下问题：已知，，求的值．经过研究给出了下面的解题思路： ； 又 请根据数学学习小组的解题思路，解决下面的问题： 若．(1)求的值；(2)求的值． 7．观察以下等式：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： (1)写出第5个等式；(2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 8．像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：， 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：(1)若，则______，______． (2)化简：①______，②______ (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 题型2：二次根式的除法（5题） 9．计算：(1) (2) (3) (4) 10．计算：(1)； (2)； (3)． 11．化简下列各式：(1) (2) 12．（1）填空：______，______（填“”、“”或“=”）；（2）若，，求证． 13．小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．(1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 题型3：二次根式的乘除混合运算（6题） 14．计算：(1)； (2)； (3)； (4)． 15．计算：(1)； (2)； (3) (4)． 16．计算：(1)； (2)； (3)； (4)． 17．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则______；(2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 18．定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______；(2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 19．（1）计算： （2）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题： ……第一步……第二步 ……第三步 ……第四步 ①以上化简步骤中第一步化简的依据是：______；②第______步开始出现错误，请写出错误的原因______； ③该运算正确结果应是______. 题型4：最简二次根式的判断及化简（5题） 20．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 21．判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ；；；；；． 22．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)；(2)；(3)（）(4)（，，）． 23．将下列二次根式化成最简二次根式：(1)；(2)；(3)（，，）． 题型5：已知最简二次根式求参数（3题） 24．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 25．已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 26．如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 27．已知和是相等的最简二次根式．求，的值；求的值． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$