2025年山东省九年级中考数学复习提分专训课件（专项 圆中辅助线的添加方法）

2025年山东省中考数学复习提分专训 专项 圆中辅助线的添加方法 1 方法1 连接半径构等腰、全等 1.[2024·石家庄模拟] 如图， 的 直径的延长线与弦 的延长线交 于点，若， ， 则 等于( ) A A. B. C. D. 2 2.如图，等边三角形的三个顶点都在上，点， 分 别在边，上，且，求证： . 3 证明：连接，， ，则 . 为等边三角形， ， ， 易得 ， . ， 4 . 又 ， ， . 方法2 作垂线段构弦心距 3.如图，已知的半径为，弦 的长为，是 的延长线上一点， ，则 等于( ) D A. B. C. D. 6 4.如图，是的弦，， ，点是弦 上一动点（不与点，重合），连接并延长交于点 ， 连接 . （1）求弦 的长. 7 解：如图，过点作于点 ,则 . 在中，， ， . . 8 （2）当 时，求 的度数. 解：如图，连接 . ， ， ， ， . . . 9 （3）当的长度为多少时，以，， 为顶点的三角形与 以，， 为顶点的三角形相似？ 10 解：， ， 要使以，， 为顶点的三角 形与以，， 为顶点的三角形相似，只能 . . . ， 即，. 当时，以， ， 为顶点的三角形与以，， 为顶点的三角形相似. 11 方法3 连弧的中点与圆心构垂径 5.如图，是半径为8的的弦，点 是优 弧的中点， ，求弦 的长. 如图所示，连接，，并延长，交 于点 . 由题知 . 12 解：如图所示，连接，，并延长 ， 交于点.由题知 点 是优弧 的中点，, 易得 .又 ， . . . . 13 方法4 连弧的中点与端点构等腰 6.如图，是的直径，是弦,是 的中点， 于点，，，求 的长. 14 解：连接,,，过点作 于 点是 的中点， , , , .又 ， , ,, 易得 ， , ， . 15 方法5 构同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 7.[2024·泰安模拟] 如图，已知点，， 在上，为 的中点，若 ，则 等于( ) A A. B. C. D. 16 8.如图，四边形内接于，，交 的延长线 于点．若平分，，，求 的长度． 17 解：连接，如图，平分 , 四边形 内接于 , .又 , , , , , ,, 在 中， . 18 方法6 构 圆周角所对的直径 9. 小方的老家有 一个古色古香的圆形门，如图所 示，她测得下面矩形 的边 为，的长为， 的延长线与圆形门交于点，她测得的长约为 ，则图 中整个门的面积约为_ ____________（结果保留根号和 ）. 19 10.如图，为的直径,交弦于点，是 上一点， 弦,且 弦,连接交于点,点在 的延 长线上,.若,,求 的长. 20 解：连接 , ,为 的直 径，经过点 , , , ， , 21 , . . . , , ,, , , , .设 ,则.在 和 中，由勾股定理，得 ， 即 ，解 得, , . 方法7 构直径所对圆周角 11.[2024·南通海安市月考] 如图，中， ， 以为直径的交于点，交于点，过点 作 于点，交的延长线于点 . 24 （1）若，求 的面积； 25 解：连接，，如图.是 的直 径，， , ， , .又 ， ， ， ，即， ， ， 的面积 . 26 （2）若，，求 的长． 27 解：是的直径， ， ，， .由（1）知 ，，是 的中位 线，，设 ，则 ，，, ， ，， 或 （舍去），，， 易得 ，，即， . 28 方法8 连圆心与切点构直角 12.[2024·青岛模拟] 如图，为的直径，为 上一 点，过点作的切线交的延长线于点，连接 ，若 ，求 的长度. 29 解：如图，连接为 的切 线，为 的直 径，, , . .由圆周角定理,得 , , . 30 13.[2024·聊城模拟] 如图，内接于，为 的 直径，延长到点，连接．过点作，交 于 点，交于点，过点作的切线，交 的延长 线于点，且 . 31 （1）求证： ； 32 证明：如图，连接,为 的 直径， . . 与 相切， . , , . , , , , . 33 （2）若，，求 的长． 34 解：在中，, , , ., , , .设, 则 , ,解 得, , 35 . 在 中，,, 由勾股定 理,得. , , 四边形 为平行四边形, . $$