专题4.2 对数与对数函数（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第一册）

专题4.2对数与对数函数 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024·湖南·高考真题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高三·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A． B． C．15 D． 3．（23-24高一上·湖南湘西·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一·全国·专题练习）已知奇函数在上是增函数，若， ， ，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·陕西渭南·期中）若，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·江西·期末）已知实数x，y满足，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数（为正整数），若存在正整数满足，那么我们将叫做关于的“对整数”，当时，“对整数”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（24-25高三上·重庆·期中）已知函数满足条件，其中，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一·全国·课后作业）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   10．（24-25高一上·江苏南通·期中）下列说法中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．（23-24高一上·浙江杭州·期末）养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（    ） A．函数的定义域为，且是奇函数 B．对于任意的，都有 C．对于任意的，都有 D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解为 ． 13．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 14．（23-24高一上·上海宝山·期末）设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点，，若在函数的图像上存在点，使得为等边三角形，则点的纵坐标为 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一上·全国·单元测试）（1） （2）. 16．（2025高三·全国·专题练习）求值：（1）若，求的值； （2）若，求的值． 17．（24-25高一上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，其中. （1）求函数的定义域； （2）若函数的最大值为2.求a的值. 18．（23-24高一上·北京西城·期末）在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2． （Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由； （Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围； （Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点． 19．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数，常数. （1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间； （2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2对数与对数函数 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024·湖南·高考真题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分母不为0且对数式的真数大于0，求解不等式即可得到答案 【详解】要使原函数有意义，则， 即，解得或． 所以原函数的定义域为或． 故选：D． 2．（24-25高三·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A． B． C．15 D． 【答案】A 【分析】根据解析式求解即可. 【详解】. 故选：A． 3．（23-24高一上·湖南湘西·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数与对数函数的图象判断． 【详解】因为，，是减函数，是增函数，只有D满足． 故选：D． 4．（2024高一·全国·专题练习）已知奇函数在上是增函数，若， ， ，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的奇偶性得到，判断出，根据单调性得到的大小. 【详解】因为在上是奇函数， ∵，， ，因为在上是增函数， 所以，即，即. 故选：C. 5．（23-24高三上·陕西渭南·期中）若，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据使等式有意义列出关系式，求出的范围；再利用对数运算法则对等式进行变形，得；最后利用基本不等式求解即可. 【详解】 ，解得. ∵， ∴， 即. ∴ ， 当且仅当且， 即时，等号成立. 所以取得最小值时的值为. 故选：B 6．（23-24高三上·江西·期末）已知实数x，y满足，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，然后逐项分析即得. 【详解】由得， 所以，所以，故A正确； ，，所以，故B正确； ∵，故C正确： 由选项A，得.则；另一方面，，则，所以不成立，故D错误. 故选：D. 7．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数（为正整数），若存在正整数满足，那么我们将叫做关于的“对整数”，当时，“对整数”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题目给出的新定义，把代入乘积式化简后得，则，求出，内满足的的个数． 【详解】， ， ，时满足要求， 当，时，则“对整数”的个数为9个． 故选：C． 【点睛】本题以新定义运算为背景，考查对数的运算性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 8．（24-25高三上·重庆·期中）已知函数满足条件，其中，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数解析式可得，再由，即可得解. 【详解】解：由函数，可得， 所以， 由于， 所以， 所以由，可得. 故选：B. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一·全国·课后作业）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】分和两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项. 【详解】若，则函数的图象单调递减且过点， 函数的图象单调递减且过点； 若，则函数的图象单调递增且过点， 而函数的图象单调递增且过点， 只有A,C的图象符合． 故选：AC 10．（24-25高一上·江苏南通·期中）下列说法中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据对数的运算性质，结合指数幂的运算性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以本选项说法不正确； B：因为，所以，因此本选项说法正确； C：由，所以本选项说法正确； D：，所以本选项说法正确， 故选：BCD 11．（23-24高一上·浙江杭州·期末）养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（    ） A．函数的定义域为，且是奇函数 B．对于任意的，都有 C．对于任意的，都有 D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 【答案】ABC 【分析】根据真数大于0求定义域，利用奇偶性定义判断奇偶性可判断A，根据对数运算化简即可判断BC，取特殊值判断D. 【详解】由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数，故A正确； 任意的，，故B正确； 因为，， 所以，故C正确； 取，则，，故D错误. 故选：ABC 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解为 ． 【答案】 【分析】设在上单调递增，根据函数的单调性求解即可. 【详解】设在上单调递增， 因为，所以解不等式即， 所以. 故答案为： 13．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得在R上恒成立，且，即在R上成立，且，然后结合基本不等式可求得结果. 【详解】解：根据题意，不等式在R上恒成立，且， 即在R上成立，且． 因为，当且仅当时，即时等号成立， 所以，解得， 所以k的取值范围是． 故答案为：． 14．（23-24高一上·上海宝山·期末）设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点，，若在函数的图像上存在点，使得为等边三角形，则点的纵坐标为 . 【答案】 【解析】设直线的方程为，求得点，坐标，得到，取的中点，连接，根据三角形为等边三角形，表示出点坐标，根据点在函数的图象上，得到关于的方程，求出，进而可得点的纵坐标. 【详解】 设直线的方程为，由，得，所以点， 由，得，所以点，从而， 如图，取的中点，连接， 因为为等边三角形，则，所以，， 则点， 因为点在函数的图象上，则， 解得，所以点的纵坐标为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于先由同一参数表示出点坐标，再代入求解；本题中，先设直线，分别求出，坐标，得到等边三角形的边长，由此用表示出点坐标，即可求解. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一上·全国·单元测试）（1） （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】根据对数的运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：由对数的运算性质，可得 ； （2）解：由对数的运算性质，可得 . 16．（2025高三·全国·专题练习）求值：（1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】(1)由可得、，代入中利用对数运算求值即可；(2) 可得，代入中利用对数运算求值即可 【详解】（1）由已知，，则； （2）由已知，则 【点睛】本题考查了指数与对数的互化，并利用对数的运算性质求值 17．（24-25高一上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，其中. （1）求函数的定义域； （2）若函数的最大值为2.求a的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据对数的性质进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合配方法、对数复合函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）要使函数有意义，则有， 解得， 所以函数的定义域为. （2）函数可化. 因为，所以. 因为，所以， 即， 由，解得. 18．（23-24高一上·北京西城·期末）在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2． （Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由； （Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围； （Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点． 【答案】（Ⅰ）f(2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log25,3)；（Ⅲ）证明见解析 【解析】(Ⅰ)因为，求出f (2)的值，结合函数的单调性判断f (2)和1的大小． (Ⅱ)因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f (x)＜1”，推出．求解即可． (Ⅲ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线C1和C2没有交点． 【详解】解： (Ⅰ)因为， 又函数y＝log3x是 (0，+∞)上的增函数， 所以f (2)＝log34＞log33＝1． (Ⅱ)因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f (x)＜1”， 所以． 因为 函数y＝log3x是 (0，+∞)上的增函数， 所以 0＜8﹣2x＜3， 即 5＜2x＜8， 所以x的取值范围是  (log25，3)． (Ⅲ)因为f (x)有意义当且仅当8﹣2x＞0， 解得x＜3． 所以f (x)的定义域为D1＝ (﹣∞，3)． g (x)有意义当且仅当x﹣3≥0， 解得x≥3． 所以g (x)的定义域为D2＝[3，+∞)． 因为D1∩D2＝∅， 所以曲线C1和C2没有交点． 【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 19．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数，常数. （1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间； （2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；单调增区间为，；（2）. 【解析】（1）时，，求其定义域，计算即可. （2）将不等式整理为，，只需要.利用单调性即可求出，进而可得. 【详解】（1）证明：当时，. 的定义域为. 当时， . ∴， ∴是奇函数， 是由和复合而成， 单调递减， 在 和单调递减， 所以在 和单调递增， 所以的单调增区间为，. （2）由， 得， 令， 若使题中不等式恒成立，只需要. 由（1）知在上是增函数，单调递减， 所以在上是增函数， 所以. 所以的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的单调性求最值，考查了恒成立问题，属于中档题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$