专题07 函数与方程-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（重庆专用）

专题07 2023-2024新高考高一函数与方程重庆期末汇编 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期末）方程的解所在区间可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数（其中），若是的一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·重庆·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆·期末）函数的交点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，是函数的4个零点，且，给出以下结论：①m的取值范围是；②；③的最小值是4；④的最大值是.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高一上·重庆·期末）设函数，满足，，若存在零点，则下列选项中一定错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高一上·重庆·期末）我们知道：函数为奇函数的充要条件是的图象关于原点成中心对称：我们还可以将其推广为：若函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现已知函数为定义在R上的奇函数，又有函数，且函数与的图象恰好有2024个不同的交点，，…，，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C． D． 9．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高一上·重庆·期末）已知，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 . 11．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数，若，则的最小值为 ；若函数恰有两个零点，则正数的取值范围是 ． 12．（23-24高一上·重庆北碚·期末）用二分法求图象是连续不断的函数在内零点近似值的过程中得到，，，则函数的零点落在区间 . 四、解答题 13．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数. (1)若对于，使得成立，求实数的取值范围； (2)若与的图象有且仅有一个交点，求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)若，判断并用定义证明函数的单调性； (3)设，且在区间上不存在零点，求实数的取值范围. 15．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数.    (1)在给出的坐标系中作出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间； (3)试讨论方程的根的情况. 16．（23-24高一上·重庆江北·期末）已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围． 17．（23-24高一上·重庆·期末）已知定义在上的函数． (1)当时，解关于的不等式：； (2)若函数的图象与函数的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·重庆·期末）小红学了高一年级《基本不等式》后，高兴地告诉她正读高三的哥哥小东说：“哥哥，我知道你以前说的“基本不等式”是怎么回事了，我还可以对它扩充呢”.然后小红在草稿本上工工整整地写下了“若，，则”.小东微笑着说：“恭喜你获得了新知，加油！等你上高三了还可以往这个不等式里面补充内容，看我写一个.”然后小东就把刚才小红写的内容改成了：“若，，，则”.小东看着小红崇拜的眼睛，又补充说：“虽然你现在还不能完全证明它，但是你可以用‘若，，，则’作为条件来证明另一个结论：‘若，则’”. (1)请完成小东所说结论的证明，即用“若，，，则”作为条件，证明结论“若，则”成立； (2)请用（1）中的结论解决问题：已知函数有两个不同的零点，证明； (3)小红成功完成（2）中的证明后，翻开哥哥小东的高三资料发现这样一道题：若函数有两个不同的零点，证明.她兴奋地对哥哥说：“我发现这个题在本质上跟（2）中的题目是一模一样的！”.请问你认同小红的说法吗？写出你的观点并说明理由. 19．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数. (1)请用单调性的定义证明函数在时为单调递增函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 20．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的图象经过点和点，. (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在区间上有实数根，求的取值范围； (3)设，若对于任意，都有，求的取值范围. 21．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)用表示，中的最大值，设函数，，试讨论的图象与轴的交点个数. 22．（23-24高一上·重庆北碚·期末）函数（为自然对数的底数）. (1)若，求； (2)若关于的方程有三个不相等的实数解.求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 2023-2024新高考高一函数与方程重庆期末汇编 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期末）方程的解所在区间可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在性定理判断即可. 【详解】方程所对应的函数为， 在上为增函数. ， ， 所以由零点存在性定理可知：方程的解所在区间为：. 故选：C. 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数（其中），若是的一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的单调性，结合零点存在性定理得到，再变形得到，根据对勾函数性质得到答案. 【详解】由于在R上单调递减， ，在R上单调递减， 故在R上单调递减， ，， 由零点存在性定理可得，故， 由题意得，故， 故， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 故. 故选：C 3．（23-24高一上·重庆·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在上连续且单调递减，分别计算，，，，，根据零点存在性定理可得结果. 【详解】当时，函数和都是减函数， 所以函数在区间上单调递减， ， ， 因为， 所以， 又，， 所以， 又函数在上连续， 根据零点存在性定理可得零点所在的区间为. 故选：. 4．（23-24高一上·重庆·期末）函数的交点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，再根据零点的存在性定理即可得解. 【详解】构造函数， 因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 又， 所以函数的零点在内， 即函数的交点所在的一个区间是. 故选：B． 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，是函数的4个零点，且，给出以下结论：①m的取值范围是；②；③的最小值是4；④的最大值是.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】作出的图象，结合图象判断①；对方程化简计算判断②；由对数的运算性质得出，利用基本不等式判断③④. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 因为是函数的4个零点， 所以直线与函数的图象有四个交点，且， 结合图象可知：，故①错误； 对于②，由图可知，，则，所以， ，则，所以， 所以，所以，故②错误； 对于③，当时，或， 结合图象可知，，由得， 即，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然不满足， 所以，故③错误； 对于④，因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值是，故④正确. 综上，正确结论为④，共1个. 故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 6．（23-24高一上·重庆·期末）设函数，满足，，若存在零点，则下列选项中一定错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式可得函数的单调性，由单调性及确定的大小及正负，利用零点存在性定理即可得解. 【详解】因为在上为增函数， 所以在上为增函数， 又，所以， ， 或， 当时， 由存在零点，可知，此时AC选项正确，BD选项错误； 当时， 由存在零点，可知，此时ABC选项错误，D选项正确； 综上，选项中一定错误的是B选项， 故选：B. 7．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把函数的零点转化为两个函数的图象的交点的横坐标，画出图象，即可求解. 【详解】因为函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 在同一坐标系内，分别画出函数的图象，如图所示， 由图象可得：，所以. 故选：B. 二、多选题 8．（23-24高一上·重庆·期末）我们知道：函数为奇函数的充要条件是的图象关于原点成中心对称：我们还可以将其推广为：若函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现已知函数为定义在R上的奇函数，又有函数，且函数与的图象恰好有2024个不同的交点，，…，，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意可得的图象关于对称，从而判断AB；再结合函数的图象的对称性，得到两函数交点的对称性，可计算CD. 【详解】由于函数为奇函数，则图象关于点成中心对称， 而函数为定义在上的奇函数， 所以的图象关于对称，故A错误，B正确； 又函数的图象也关于对称， 所以与的函数的交点关于对称， 不妨设， 所以， ， 所以，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 9．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由的图象，求出特殊点，结合条件逐一比较分析判断. 【详解】当时，，当时，，当时，， 由图像可知，，此时，解得，故A对； 因为关于对称，所以，又， ，故B对； 由，得 ，由，得 ， 由，得 ，故C错； ，故D对. 故选：ABD    三、填空题 10．（23-24高一上·重庆·期末）已知，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合函数的图象与性质知，，，将化简为，进而化简为，求出范围即可. 【详解】作出函数的图象：    方程有四个不同的解， 则，且，，所以， 则， 设，所以， 因为，所以，则， 所以则的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数零点问题要充分利用函数与方程的基本思想，并充分利用数形结合画出函数图象，利用图象即可求得参数范围以及零点问题. 11．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数，若，则的最小值为 ；若函数恰有两个零点，则正数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】若，分别计算分段函数每段的范围或最小值即可得的最小值；若函数恰有两个零点，分别计算分段函数每段的零点个数，结合函数性质即可得正数的取值范围. 【详解】若，则， 则当时，， 当时，， 故有最小值，综上，的最小值为； 若函数恰有两个零点， 当时，令，解得，符合题意， 即是的一个零点，则时亦有一零点， 当时，由为正数，令， 即或，则有且，即. 故. 故答案为：；. 【点睛】本题考查分段函数、指数型函数以及二次函数，重点在二次函数零点分布. 12．（23-24高一上·重庆北碚·期末）用二分法求图象是连续不断的函数在内零点近似值的过程中得到，，，则函数的零点落在区间 . 【答案】 【分析】因函数在给定区间上连续，且，，，故由零点存在定理即可判断零点所在区间. 【详解】因函数是连续不断的，且，又有，，，由，而， 根据零点存在定理知，函数的零点落在区间上. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数. (1)若对于，使得成立，求实数的取值范围； (2)若与的图象有且仅有一个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得到，再由基本不等式得到在上有解，再结合基本不等式求出； （2）由已知把问题转化成设，则在上有且仅有一个根，再分，，利用二次函数的性质求出结果即可. 【详解】（1）由题知，， 因为，令，则， 在上有解， 设，则在上有解，即， 在上单调递减，在上单调递增， 时，时，. ，即的取值范围为. （2）据分析，只有一个解， 只有一个解. 设，则在上有且仅有一个根， 当时，时，与矛盾，故不符； 当时，的对称轴为， 由知，求得； 当时，的图象开口朝上，且， 则在上有且仅有一个根恒成立. 综上，. 14．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)若，判断并用定义证明函数的单调性； (3)设，且在区间上不存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上是单调递增的，证明见解析 (3) 【分析】（1）法一由对数函数的性质和奇函数关于原点对称得出；法二奇函数的定义和对数函数的性质得出； （2）由函数单调性的定义证明即可； （3）问题转化为求令在上有零点，则在上有解，再由单调性列出不等式，求出，再取补集即可. 【详解】（1）（法一）因为有意义时，， 又因为为奇函数，所以定义域关于原点对称， 即经检验适合题意. （法二）由知， 即，则， 经检验，时，无意义，故. （2）在上是单调递增的，证明如下： , 设，则， 由知，，则 且，所以 从而，即， 则在上是单调递增函数. （3）令在上有零点，则在上有解， 令， 由在上单调递增，在上单调递减知： ，即， 那么在区间上不存在零点时， 15．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数.    (1)在给出的坐标系中作出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间； (3)试讨论方程的根的情况. 【答案】(1)作图见解析 (2)减区间为，增区间为. (3)答案见解析 【分析】（1）去绝对值符号，利用函数图象变换分段画出函数图象； （2）根据函数的图象，直接求出函数的单调区间； （3）根据函数的图象，分类讨论确定函数的图象与的图象交点个数，即可讨论方程根的情况. 【详解】（1）函数，作出函数的图象如图所示：    （2）根据（1）中的函数图象知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）根据图象可知， 当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有两个交点， 此时方程有两个不同的根. 当时，函数的图象与函数（为实数）的图象没有交点， 此时方程没有根. 当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有一个交点， 此时方程有一个不同的根. 16．（23-24高一上·重庆江北·期末）已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）首先化简函数的解析式，再根据对数函数的单调性，即可求函数的最值； （2）首先化简函数，利用换元法，转化为二次函数根的分布问题，即可求解. 【详解】（1）， ， ， 当，，所以的值域为， 所以函数的最大值为5； （2）， 令，则， ， 令，整理可得①， ，作出简图，如下， 当时，，显然不合题意， 当时，有两个根， 当时，有一个根， 因为函数的图象与函数的图象有3个不同的交点， 所以①式有两个根，且一根在区间内，另一根在区间内， 设， 则有或， 即或，解得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是利用换元，化简函数，并将方程转化为，第二个关键点是通过的交点问题，转化为二次方程根的分布问题. 17．（23-24高一上·重庆·期末）已知定义在上的函数． (1)当时，解关于的不等式：； (2)若函数的图象与函数的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据二次不等式以及指数函数单调性解不等式； （2）根据题意可知方方程在内有2个不同的根，换元，结合函数单调性分析可知在内有2个不同的根，分类参数结合对勾函数分析求解. 【详解】（1）当时，不等式即为， 令，可得，解得或（舍去）， 即，解得， 所以关于的不等式的解集为. （2）对于函数， 令，解得， 可知函数的定义域为. 令， 可得，即， 即方程在内有2个不同的根， 令，可得， 因为在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 可知方程有且仅有一个根1， 由题意可知：在内有2个不同的根， 即在内有两个根， 令，可知在内有两个根， 即与在内有两个不同的交点， 由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增， 当时，取到最小值2， 则，可得， 所以实数的取值范围. 【点睛】关键点睛：1.注意对数的真数大于0； 2.利用换元法和转化的思想，结合函数分析函数交点、零点以及方程的根. 18．（23-24高一上·重庆·期末）小红学了高一年级《基本不等式》后，高兴地告诉她正读高三的哥哥小东说：“哥哥，我知道你以前说的“基本不等式”是怎么回事了，我还可以对它扩充呢”.然后小红在草稿本上工工整整地写下了“若，，则”.小东微笑着说：“恭喜你获得了新知，加油！等你上高三了还可以往这个不等式里面补充内容，看我写一个.”然后小东就把刚才小红写的内容改成了：“若，，，则”.小东看着小红崇拜的眼睛，又补充说：“虽然你现在还不能完全证明它，但是你可以用‘若，，，则’作为条件来证明另一个结论：‘若，则’”. (1)请完成小东所说结论的证明，即用“若，，，则”作为条件，证明结论“若，则”成立； (2)请用（1）中的结论解决问题：已知函数有两个不同的零点，证明； (3)小红成功完成（2）中的证明后，翻开哥哥小东的高三资料发现这样一道题：若函数有两个不同的零点，证明.她兴奋地对哥哥说：“我发现这个题在本质上跟（2）中的题目是一模一样的！”.请问你认同小红的说法吗？写出你的观点并说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)认同，理由见解析. 【分析】（1）令,代入整理即可; （2）利用函数有两个不同的零点，得到，表示出 ，通过分析证明即可； （3）利用函数有两个不同的零点，得，，表示出，通过分析证明即可. 【详解】（1）当，，时，有， 令，则, 所以， 即，所以. （2）因为函数有两个不同的零点， 所以， 即， 将两式相加减可得，， 要证，只需证， 即证，即证， 由（1）问当时，有，故显然成立. 所以. （3）认同小红的说法，理由如下： 因为函数有两个不同的零点，且， 所以， 即， 将两式相加减可得，， 要证，即证， 即证， 即证， 即证， 由题意可知：当，，，有， 故显然成立. 故. 【点睛】关键点睛：审清题意，充分借助，构造要证的不等式及，证明即可. 19．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数. (1)请用单调性的定义证明函数在时为单调递增函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用证明函数单调性的定义法即可证明结果； （2）根据条件，能过换元得到，其中，分离常量得，再利用双勾函数的单调性即可求出结果. 【详解】（1）任取，且， 则， 又，且，所以，， 得到，即，所以函数在时为单调递增函数. （2）因为，又， 得到， 令，易知在区间上单调递增，所以， 得到，又，故， 令，任取且， 则， 因为且，所以，则， 得到，即在区间上单调递减， 任取且，则， 因为且，所以，则， 得到，即在区间上单调递增， 所以，当时，， 所以. 20．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的图象经过点和点，. (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在区间上有实数根，求的取值范围； (3)设，若对于任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将两点坐标代入计算即可求解. （2）利用零点存在性定理及对数函数的单调性列不等式组，解不等式组即可求解. （3）先求出的最大值，然后把问题转化为恒成立，构造函数，利用函数单调性求解参数范围即可. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以. （2）因为关于的方程在区间上有实数根， 所以令，则区间上有零点. 因为，所以， 又在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增， 又函数在区间上有零点， 则，即， 所以，解得，所以的取值范围. （3）因为且，所以且， 因为，所以的最大值可能是或， 因为 ，所以， 只需，即恒成立， 设， 因为在上单调递增， 在上单调递增，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以，所以的取值范围是. 21．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)用表示，中的最大值，设函数，，试讨论的图象与轴的交点个数. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由对数函数单调性、二次函数单调性，结合复合函数单调性列出不等式组求解即得. （2）由时，得无零点，当时，，再分类讨论在上的零点即得. 【详解】（1）函数在是增函数，在上单调递增， 当且仅当在上单调递增，且， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. （2）当时，，因此在上无零点； 则只须讨论在上的零点个数，又时，，则只须讨论在上的零点个数， 对，，，对称轴为，， ①当，即时，在上恒成立，则，无零点； ②当，则，在上单调递减，显然，， 则存在唯一的，有，且，因此有2个零点； ③当，即时， （i），即有时，由， 则存在唯一，有，且，则有2个零点； （ii），即有时，，则， 则存在唯一，有，且，则有2个零点； （iii），即有时，， 由，得，则在上无零点，即无零点， 由，得，则在上恰1个零点，即有1个零点， 由，得，则在上有两个零点，即有2个零点， 综上，当时，无零点， 当时，有1个零点， 当时，有2个零点. 【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题. 22．（23-24高一上·重庆北碚·期末）函数（为自然对数的底数）. (1)若，求； (2)若关于的方程有三个不相等的实数解.求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）分类讨论与，结合的解析式即可得解； （2）结合指数函数的单调性作出的大致图象，利用换元法将问题转化为有两个不同的实数解，从而数形结合得到，再利用韦达定理即可得解. 【详解】（1）因为，， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，即，显然无解； 综上，. （2）由（1）得，， 结合的单调性可作出的大致图象，如下， 令，则由，得， 整理得， 因为有三个不相等的实数解， 所以结合图象可知，必有两个不相等的实数解， 且，， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$