专题05 指数与指数函数-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（重庆专用）

专题05 2023-2024新高考高一指数与指数函数重庆期末汇编 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·重庆·期末）设为定义在R上的偶函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．第6个月时，浮萍面积为 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 7．（23-24高一上·重庆·期末）已知，，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（23-24高一上·重庆·期末）化简： . 9．（23-24高一上·重庆·期末）若满足以下条件：①；②的图象关于对称；③对于不相等的两个正实数，有成立，则的解析式可能为 . 10．（23-24高一上·重庆·期末）函数且的定点为 . 11．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知，若，则实数的值为 ． 12．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 . 13．（23-24高一上·重庆·期末）函数的值域是 . 四、解答题 14．（23-24高一上·重庆渝中·期末）双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下： 双曲正弦函数，双曲余弦函数： (1)请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分） ①    ② (2)求函数在R上的值域. 15．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数为奇函数. (1)求m的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围. 16．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，的图像关于点中心对称. (1)求实数的值： (2)探究的单调性，并证明你的结论； (3)解关于的不等式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 2023-2024新高考高一指数与指数函数重庆期末汇编 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由周期函数转换然后代入表达式求解即可. 【详解】由题意当时，，此时是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：C. 2．（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值，列出不等式，计算即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数型函数和分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，函数单调递增，故有， 此时函数的值域为， 当时，函数单调递减，故有， 此时函数的值域为， 要想函数的值域为， 只需， 故选：B 4．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据时，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可. 【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天， 即，则， 所以质量为的锶89经过30天衰减后， 质量大约为． 故选：D． 二、多选题 5．（23-24高一上·重庆·期末）设为定义在R上的偶函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的奇偶性的性质逐一判断即可. 【详解】A：显然该函数的定义域为全体实数， 因为， 所以该函数是奇函数，不符合题意； B：显然该函数的定义域为全体实数， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意； C：显然该函数的定义域为全体实数， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意； D：由该函数的解析式可知，显然该函数的定义域不为全体实数，不符合题意， 故选：BC 6．（23-24高一上·重庆·期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．第6个月时，浮萍面积为 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 【答案】BD 【分析】由函数图象经过可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可. 【详解】由图可知，函数图象经过，即，则，所以， 所以不是常数，则浮藻每个月的面积是上个月的2倍， 则每个月的增长率为，故A错误，C错误； 当时，，故B正确； 若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，， 则，由指数函数的单调性知，故D正确； 故选：BD 7．（23-24高一上·重庆·期末）已知，，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】取特值可判断AD；由指数函数的单调性可判断B；作差法判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，设，则在R上单调递增， 而，所以，故B正确； 对于C，， 因为，，所以，，， 所以，所以，故C正确； 对于D，取，，所以，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 8．（23-24高一上·重庆·期末）化简： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 9．（23-24高一上·重庆·期末）若满足以下条件：①；②的图象关于对称；③对于不相等的两个正实数，有成立，则的解析式可能为 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】由指数函数的性质，图象关于对称，和对于不相等的两个正实数，有成立共同得出即可. 【详解】设， 因为，故满足①； 图象为： 故满足②； 设，则，由指数函数的性质可知，故，所以满足③；当，则，由指数函数的性质可知，故，也满足③. 故答案为：(答案不唯一). 10．（23-24高一上·重庆·期末）函数且的定点为 . 【答案】 【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标． 【详解】因为且，令，得到，此时， 所以函数的定点为， 故答案为：. 11．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】结合分段函数性质与指数幂运算即可得. 【详解】因为， 所以， 故. 故答案为：. 12．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 . 【答案】（或者，答案不唯一） 【分析】根据抽象函数关系，结合指数幂运算及指数函数性质判断函数即可. 【详解】由，知满足条件， 又时，，可得，故满足这两个条件的一个函数为. 故答案为：（或者，答案不唯一）. 13．（23-24高一上·重庆·期末）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数性质、指数函数性质求出值域即得. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 因此， 所以函数的值域是. 故答案为： 四、解答题 14．（23-24高一上·重庆渝中·期末）双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下： 双曲正弦函数，双曲余弦函数： (1)请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分） ①    ② (2)求函数在R上的值域. 【答案】(1)选择见解析，证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意直接求出、的值，即可证明； （2）由（1），，令，利用换元法可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）若选择①：由题意，， 则； 若选择②： ； （2）法一：由（1）知，， 则， 令，则，当且仅当时取等， 令， 又函数在上单调递增，故， 故的值域为，即的值域为； 法二：，令， ， 令，则， 所以在上单调递增，故，故的值域为， 即的值域为. 15．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数为奇函数. (1)求m的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据整理可得； （2）利用定义法，结合指数函数单调性证明即可； （3）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，然后参变分离，利用基本不等式求解可得. 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 整理得，故. （2）设，且， 则， 因为，单调递增，所以， 所以，， 所以，即， 所以函数在R上单调递增. （3）因为函数为奇函数， 所以， 又因为在R上单调递增， 所以，即在区间上恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即a的取值范围为. 16．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，的图像关于点中心对称. (1)求实数的值： (2)探究的单调性，并证明你的结论； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的平移性质，结合函数的对称性进行求解即可； （2）根据函数的单调性定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可； （3）根据函数的对称性和单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为函数，的图像关于点中心对称， 所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称， 即函数的图像关于点中心对称， 因此函数是奇函数， 于是有，即， 因为， 所以是奇函数，因此符合题意； （2）因为，所以， 设是任意两个实数，且， ， 因为，所以，因此， 所以函数是增函数； （3）因为函数，的图像关于点中心对称， 所以，即， 所以由， 因为函数是增函数， 所以，或， 解得，或， 因此原不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$