内蒙古包头市第五中学2024-2025学年九年级上学期第一次段考数学试卷

2024-2025学年内蒙古包头五中九年级（上）第一次段考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.关于矩形的性质，以下说法不正确的是(    ) A. 对边平行且相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 2.关于x的方程是一元二次方程，则m的值是(    ) A. B. 2 C. D. 0 3.已知菱形ABCD，，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于(    ) A. 5 B. 10 C. D. 20 4.若m、n是关于x的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 6.在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有(    ) A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 7.如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点已知，则线段AE的长度为(    ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8.用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为(    ) A. B. 2024 C. D. 1 9.某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙墙长22米的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为(    ) A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 不存在 10.如图，下列条件中不能判定和相似的是(    ) A. B. C. D. 11.如图，一块矩形ABCD绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于(    ) A. B. C. 2 D. 12.如图，O为正方形ABCD对角线AC上的一动点，连接OD，过O点作于点E，连接DE交AC于点G，，结论：①；②；③；④若，，则其中正确结论的序号为(    ) A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 13.若，则______. 14.如图，中，D为AB的中点，，垂足为若，，则BE的长度是______. 15.已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是______________. 16.如图所示，在中，CD是斜边AB上的高，，，那么______. 17.如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为，动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时，以 B、Q、P为顶点的三角形与相似． 18.如图，在中，，且，，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接MN，则线段MN的最小值为__________. 19.如图，在中，D在AC边上，AD：：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：______. 20.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠点E在边CD上，折叠后顶点D恰好落在边BC上的点F处，若，，则EC的长是______. 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题8分 解方程： ； 22.本小题6分 如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O， 求证：平行四边形是矩形； 若，，求该矩形的面积. 23.本小题8分 大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：注：利润=销售价-进货价 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价元/枚 15 20 销售价元/枚 25 32 网店第一次用580元购进A、B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； 大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时.才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 24.本小题8分 如图所示在举行ABCD中，，，动点M以的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动时间为 当t为何值时，的面积等于矩形ABCD面积的？ 是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求出t的值；若不存在请说明理由. 25.本小题10分 如图，四边形ABCD中，AC平分，，E为AB的中点，DE交AC于点 求证：； 求证：； 若，，求的值． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、矩形对边平行且相等，说法正确； B、矩形的对角线相等，说法正确； C、矩形对角线相等，但不一定互相垂直，说法错误； D、矩形是轴对称图形，说法正确. 故选： 根据矩形的性质判断即可． 本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：关于x的方程是一元二次方程， ， 解得：， 的值为 故选： 利用一元二次方程的定义，可列出关于m的不等式及含绝对值的方程，解之即可得出m的值． 本题考查了一元二次方程的定义以及绝对值，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：设AC与BD交于点O，如图： 四边形ABCD是菱形，， ，，，， 菱形ABCD的面积， ， 即， ， ， 在中，由勾股定理得：， 菱形ABCD的周长， 故选： 由菱形的面积求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理，求出AC的长是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：是关于x的一元二次方程的根， ， 、n是关于x的一元二次方程的两根， ， 故选： 利用一元二次方程的解，可得出，利用根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出及是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：一元二次方程有实数根， ，且， 解得且， 故选： 根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断． 此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物， 依题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 参加聚会的同学有10人． 故选： 设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：四边形ABCD为正方形， ，， ，， ∽， ， ， ，， 为的中位线， 故选： 根据正方形的性质可得出，进而可得出∽，根据相似三角形的性质可得出，结合可求出FG、AG的长度，由、可得出CG为的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解． 本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出FG的长度是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：由题知， ， ， ， ， 所以，， 所以 故选： 根据配方法对所给一元二次方程进行转化即可解决问题． 本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米， 由题意列方程可得：， 解得，， 当菜地垂直于墙的一边的长为10米时，平行于墙的一边的长为30米，大于墙长的22米， 所以菜地垂直于墙的一边的长为15米． 故选： 根据题意设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则根据图并利用长宽=面积，建立方程并求解即可． 本题考查的是一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 10.【答案】C  【解析】解：，， ∽， 故此选项能判定和相似，不符合题意； B.，， ∽， 故此选项能判定和相似，不符合题意； C.由不能判定和， 故此选项符合题意； D.， ， ， ∽， 故此选项能判定和相似，不符合题意； 故选： 根据相似三角形的判定逐项排除即可． 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 11.【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【解答】 解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ， 解得或舍弃， ， 故选 12.【答案】C  【解析】解：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故①正确，符合题意； 四边形ABCD是正方形， ， ， ， ，，， ， 故②正确，符合题意； 四边形ABCD是正方形， ， ， ， ， ∽， ， ； 故③正确，符合题意； 四边形ABCD是正方形，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故④错误，不符合题意， 故选： 根据是等腰直角三角形，判断①正确；根据正方形的性质和三角形内角和定理，可判断②正确；根据两个角相等，证明∽，可判断③正确；利用勾股定理得出DE的长，再根据等腰直角三角形的性质可判断④正确． 本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：， 故答案为 根据，则有求解． 本题考查了比例的性质：若，则 14.【答案】  【解析】解：，D为AB中点， ， 在中，， 故答案为： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式计算即可得解． 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质与定理是解题的关键． 15.【答案】3  【解析】【分析】 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求出m的值． 【解答】 解：、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根； ，； ； ； 解得或； 一元二次方程有两个不相等的实数根； ； ； 不合题意舍去； 故答案为： 16.【答案】  【解析】解：在中，CD是斜边AB上的高， ， ， ∽， ， ， ， ， 故答案为： 由中，CD是斜边AB上的高，得，证明∽，应用相似三角形的性质即可求解． 本题考查了射影定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 17.【答案】2或  【解析】解：设经过t秒时，以与相似，则厘米，厘米，厘米， ， 当时，∽，即，解得：； 当时，∽，即，解得：； 即经过2秒或秒时，与相似． 故答案为：2或 设经过t秒时，以与相似，则厘米，厘米，厘米，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论，由相似三角形的性质列出方程可求解． 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键． 18.【答案】  【解析】【分析】 由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【解答】 解：如图，连接AD， ，且，， ， ，， ， 四边形DMAN是矩形， ， 当时，AD的值最小， 此时，的面积， ， 的最小值为； 故答案为： 19.【答案】1：3  【解析】解：作交BC于F，如图， ， ， 即， ， ， ， ：：： 故答案为1： 作交BC于F，如图，利用得到，所以，利用得到，所以，然后计算BE： 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键． 20.【答案】  【解析】解：四边形ABCD为矩形，，， ，， 矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即EC的长为 故答案为： 根据折叠的性质得到，所以在直角中，利用勾股定理来求，然后设，则，，根据勾股定理列方程求出EC即可． 本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． 21.【答案】解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； ， 移项得：， 分解因式得：，即， 可得：或， 解得：，  【解析】利用配方法解一元二次方程即可； 利用因式分解法解一元二次方程即可． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程． 22.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ，， 又， ， ， 四边形ABCD是矩形； 解：四边形ABCD是矩形， ， ， ， 由勾股定理得： ， 矩形ABCD的面积是  【解析】根据等角对等边得出，根据平行四边形性质求出，根据矩形的判定即可得解． 根据矩形的性质求出BD，再根据勾股定理求出AD，即可根据面积公式得到解答． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能求出四边形ABCD是矩形是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 23.【答案】解：设购进A款纪念币x枚，购进B款纪念币y枚， 根据题意得， 解得， 答：购进A款纪念币12枚，购进B款纪念币20枚； 设A款纪念币售价定为每枚a元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得， 解得，， 答：销售价定为每枚21或22元，A款纪念币平均每天销售利润为84元．  【解析】设购进A款纪念币x枚，购进B款纪念币y枚，根据题意列出，然后解方程组即可； 设A款纪念币售价定为每枚a元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，根据题意得，然后解方程即可． 本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组化为一元二次方程是解题的关键． 24.【答案】解：由题意得，， ， 的面积等于矩形ABCD面积的， ， 解得：， 时，的面积等于矩形ABCD面积的； 解：存在某一时刻使得以A、M、N为顶点的三角形与相似． 理由如下： 与相似， 可分为两种情况： ①当∽时， ， ， 解得：； ②当∽时， ， ， 解得， 综上所述，当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似．  【解析】由的面积等于矩形ABCD面积的，可得，即可求得； 与相似，分为两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 本题考查了相似三角形——动点问题和平行四边形的动点问题，熟练掌握相似三角形的性质和矩形的性质是解决问题的关键． 25.【答案】证明：平分， ， ， ∽， ， ，， ， ， ， ， ，，   【解析】欲证明，只要证明∽； 根据直角三角形斜边中线的性质可知，推出即可证明； 由，可得； 本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$