2024年高一数学强基竞赛集训（二）

高一数学强基计划集训（二） 一、填空题 1．记，，集合的子集，满足，则符合条件的集合的个数为 ．（用具体数字作答） 2．设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 3．定义为中的最大值，设，则的最小值为 . 4．函数 ( ，且 )，若对 成立，则实数的取值范围是 . 5．已知全集为，函数的定义域为集合，集合，若，则实数的取值范围是 ． 6．定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 7．定义域是一个函数的三要素之一.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 8．设函数．若且，则的取值范围是 ． 二、解答题 9．设集合、，且，求实数k的取值范围. 10．设集合为函数的定义域，集合为函数的值域，集合为不等式的解集. (1)求； (2)若，求的取值范围. 11．已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 12．二次函数为实数，对任意的都有和恒成立.已知的函数图象与的图象有且只有一个公共点，这个公共点在第二象限. (1)求证：； (2)若的最小值为-10，求函数的解析式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【详解】不妨设，对，如果，就在这两个数之间画一条红线；如果，就在这两个数之间画一条蓝线. 显然，一个数不能同时引出两条线. ①如果总共有两条线，线在不考虑颜色的情况下的组合方式有3种，每种线都对应如下问题：在中取三个数，任意两个数之差大于6（如果两线均为红，；如果一红一蓝，；如果都是蓝，） 这又等价于在中任取三个数，有种 所以此时有种； ②如果总共有一条线，线在不考虑颜色的情况下有4种可能，每种线都对应如下问题：在中取四个数，任意两个数之差大于6（如果是红线，；如果是蓝线，） 这又等价于在中任取四个数，有种取法 所以此时有种 ③如果没有线，那么就是在中取五个数，任意两个数之差大于6，这不可能. 所以总共有种. 故答案为：717. 2． 【分析】先求出集合A，再根据集合的子集关系和二次函数性质求出参数范围 【详解】因为，要使, 则,则,所以.故答案为：. 3．【详解】分别画出 的图象，则函数 的图象为图中实线部分. 由图知：函数 的最低点为 由 ，解得 . 所以 的最小值为 .故答案为：. 4． .【详解】解: 当时， ， 设 ，则在上是减函数，所以 . 故 .当 时， ， 设 ，则 在 上均为减函数， 所以 ， 所以 ，此不等式组无解. 综上，实数 的取值范围是 ，故答案为：. 5．或． 【详解】函数的定义域为，解得：， 所以，，所以 ， ，所以 ， 则当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上：或． 故答案为：或．. 6．26 【详解】． 故答案为：26 7． 【分析】应用抽象函数定义域定义计算即可. 【详解】已知函数的定义域为, 则函数，得， 则，则函数定义域为. 故答案为：. 8． 【详解】由， ，， 所以，， 得且， 从而，． 令，．则单调递减，无最大值且． 因此，，即的取值范围是． 故答案为： 9．或 【详解】或， 令，即，所以，， 当时，，， 由得或，解得； 当时，，， 由得或，解得； 综上，或. 10． 【详解】（1）由得，所以， 又，当时，，当且仅当时等号成立， 当时，， 当且仅当时等号成立，所以函数的值域为， 即，所以得. （2）因为，由，知， ①当时，不等式变为，解得， 即，不满足； ②当时，不等式变为，解得或， 即，欲使，则，解得或（舍去），所以， 综上所述，所求的范围是. 11． 【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，且， 所以， 所以，解得，即． 经检验，是奇函数，满足题意，所以. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递减． 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递增． （3）由题意知， 令，则， 由（2）可知函数在上单调递减， ∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的，都有恒成立， ∴， 即，解得， 又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为． 12． 【详解】（1）解：由题意可得， 当时，； 当时，， 则①， ， 同时有， 利用①式解得②， 已知函数与只在第二象限有唯一公共点，则二次函数开口向下，③， 由②③可得. （2）由（1）可得二次函数对称轴 ，则在上单调递减， 即， 方程的判别式 ， 解得或 若成立，则，不满足 ，故舍去； 若成立，则，满足， 函数解析式. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$