第十二章全等三角形 模型探究（二）手拉手模型2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十二章全等三角形 全等三角形 模型探究（二）手拉手模型 【基本模型】 基本模型:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,则△BAD≌△CAE(SAS). 【题型剖析】 1．（24-25八年级·山东济宁·期中）如图，、都是等边三角形，、交于，则的度数为(    ) A. B. C. D. 2.（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，，都是等边三角形，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 3.（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，点为线段上一点，分别以和为边在线段的同侧作两个等边三角形，得到与，连接，，交点为，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 4.（23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）如图：在中，，，分别为、边上的高，、相交于点下列结论：；；：：；若，则正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 5.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图，点为线段上一点，分别以、为边，在同侧作等边和等边，连接，相交于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在等腰中，，，点在的外部，且，，则四边形的面积为______． 7.（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图是两个大小不同的三角板叠放在一起，图是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接现有一只壁虎以的速度从处往处爬，壁虎爬到点所用的时间为            8.（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，．是边上一点，，连接，以为边在的右上方作等边三角形若，则点到边的距离为          ． 9.（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，四边形，，，，，等边三角形的顶点，分别在边和上，点在上，，连接，求证：； 求的长度． 10.（23-24八年级·辽宁辽阳·阶段练习）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”摸型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，，， 求证：≌； 如图，当时，取的中点，的中点，判断的形状并给出证明． 11.（23-24八年级·江苏常州·期末）“模型观念”是数学中的一种重要核心素养，例如：手拉手模型就是一种重要的全等模型，根据你积累的学习经验完成下列问题． 如图，在两个等边三角形和中，连接，则          ，此时线段和线段的数量关系是           如图，在两个等腰直角和中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和线段的数量关系和位置关系，并说明理由 如图，分别以的两边，为边向外作等腰和等腰，，，，连接，，两线交于点，连接，请直接写出线段和线段的数量关系以及的度数用含的代数式表示． 12.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． 问题发现：如图，若和是顶角相等的等腰三角形，，分别是底边，求证：； 解决问题：如图，若和均为等腰直角三角形，． 求的度数；判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 13.（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在中，以为腰，作等腰且，在内部找一点使得，，连接，延长与交于点． 求证：≌； 求证：； 若，求的长． 14.（23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图，在“手拉手”图形中，小胖发现若，，，则． 在图中证明小胖的发现；借助小胖同学总结的规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题： 如图，，，求证：； 15.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，连接则的度数为______度，线段与的数量关系为______用几何语言填写． 如图，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接若，求与的位置关系． 16.（23-24八年级·河北石家庄·期末）已知：如图，是等边三角形，边长为，点为动点，绕点逆时针旋转得到． 如图，连接，，求证 如图，，连接，求证：点，，三点在同一条直线上 如图，点在的高上，连接，求的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章全等三角形 全等三角形 模型探究（二）手拉手模型 【基本模型】 基本模型:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,则△BAD≌△CAE(SAS). 【题型剖析】 1．（24-25八年级·山东济宁·期中）如图，、都是等边三角形，、交于，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、都是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 的度数为， 故选：． 2.（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，，都是等边三角形，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，都是等边三角形， ，，，， ， ， ≌， ， ， 的度数是， 故选：． 3.（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，点为线段上一点，分别以和为边在线段的同侧作两个等边三角形，得到与，连接，，交点为，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， 可得， ， ，， ≌， ， ， ， 故选：． 4.（23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）如图：在中，，，分别为、边上的高，、相交于点下列结论：；；：：；若，则正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ≌， ， ， 故正确； ，， ， 故不正确； ， ：：， 故正确； ≌， ， ， 为的中点， ， 为线段的垂直平分线， ， 故正确， 所以，正确结论的序号是：， 故选：． 5.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图，点为线段上一点，分别以、为边，在同侧作等边和等边，连接，相交于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：点为线段上一点， 由平角定义得，， 和是等边三角形， ，，， ，则， 在和中， ， ≌， ， 在和中，如图所示： ， ， 由三角形内角和定理可得， ， 故选：． 6.（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在等腰中，，，点在的外部，且，，则四边形的面积为______． 【答案】  【解析】解：如图所示， 作，并截取，连接，，． ， ， 又因为， 在和中， ， ≌． ，． 又， 由三角形内角和定理可得， 设于点， ，≌， ， ，， ， 在和中， ， ≌． ，， 从而， ， ， ， 过点作直线于点，则必垂直于， ， ，， ， 在和中， ， ≌． ， ． 故答案为：． 7.（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图是两个大小不同的三角板叠放在一起，图是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接现有一只壁虎以的速度从处往处爬，壁虎爬到点所用的时间为            【答案】  【解析】解：， ， ， 在与中， ≌， ， 壁虎以的速度从处往处爬， ． 故答案为：． 8.（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，．是边上一点，，连接，以为边在的右上方作等边三角形若，则点到边的距离为          ． 【答案】  【解析】【分析】过点  作  ，垂足为  ，根据垂直定义可得  ，再利用直角三角形的两个锐角互余可得  ，从而利用含度角的直角三角形的性质可得  ，然后证明手拉手模型  旋转型全等  ，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【解答】解：过点  作  ，垂足为  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  是等边三角形，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  点  到边  的距离为， 故答案为：． 9.（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，四边形，，，，，等边三角形的顶点，分别在边和上，点在上，，连接，求证：； 求的长度． 【答案】证明：连接． ，， 为等边三角形， ，， 等边三角形， ，， ． 在和中， ． ≌， ． 解：过作． ≌， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形为长方形， ． ． ，， ． ．  10.（23-24八年级·辽宁辽阳·阶段练习）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”摸型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，，， 求证：≌； 如图，当时，取的中点，的中点，判断的形状并给出证明． 【答案】证明：， ， 即， 在和中， ， ≌． 解：为等腰直角三角形，理由如下： 由知，≌， ，， ，分别为，的中点， ． ， 在和中， ， ≌， ，， ， ． ， 即， 为等腰直角三角形．  11.（23-24八年级·江苏常州·期末）“模型观念”是数学中的一种重要核心素养，例如：手拉手模型就是一种重要的全等模型，根据你积累的学习经验完成下列问题． 如图，在两个等边三角形和中，连接，则          ，此时线段和线段的数量关系是           如图，在两个等腰直角和中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和线段的数量关系和位置关系，并说明理由 如图，分别以的两边，为边向外作等腰和等腰，，，，连接，，两线交于点，连接，请直接写出线段和线段的数量关系以及的度数用含的代数式表示． 【答案】解： 、      即：  在与中    ≌     又   、  【解析】解：， ， 即， 在和中， ， ≌， ， 故答案为：，； 见答案；  、 过点作，， ≌，  ，  ， 又  ≌ 平分 ， 12.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． 问题发现：如图，若和是顶角相等的等腰三角形，，分别是底边，求证：； 解决问题：如图，若和均为等腰直角三角形，． 求的度数；判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】证明：和是顶角相等的等腰三角形， ，，， ，即， ≌， ； 解：和均为等腰直角三角形， ，，， ， ≌， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 结论：， 理由：，， ， ， ， ， ．  13.（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在中，以为腰，作等腰且，在内部找一点使得，，连接，延长与交于点． 求证：≌； 求证：； 若，求的长． 【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ≌； 证明：由得：≌， ， ， ， ， ， ， ； 解：在上截取，连接， 由得：≌， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， ， ， 的长为．  14.（23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图，在“手拉手”图形中，小胖发现若，，，则． 在图中证明小胖的发现；借助小胖同学总结的规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题： 如图，，，求证：； 【答案】证明：如图中， ， ， ， 在和中， ≌， ． 证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ≌， ， ． ．  15.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，连接则的度数为______度，线段与的数量关系为______用几何语言填写． 如图，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接若，求与的位置关系． 【答案】    【解析】解：和均为等腰三角形，且， ，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， 故答案为：；； ， 理由：和均为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ≌， ， ， ． 16.（23-24八年级·河北石家庄·期末）已知：如图，是等边三角形，边长为，点为动点，绕点逆时针旋转得到． 如图，连接，，求证 如图，，连接，求证：点，，三点在同一条直线上 如图，点在的高上，连接，求的最小值． 【答案】证明：是等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 即：， 在和中， ， ≌， ； 由知：， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， 、、在同一条直线上； 解：如图， 连接， 由得：≌， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 当垂直于该直线时，最小图中点， ，， ， 的最小值为：．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$