精品解析：广东省东莞市南城中学2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期期中考试九年级 数学试卷 说明：本试卷共120分，本次考试120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 或， ∴，； 故选：． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把常数项从方程的左边移到方程的右边，再配方，即可得出选项． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 3. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，则下列说法中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，由旋转的性质可得，，，即可求解，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 【详解】∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴，， 故选：D． 4. 一个等腰三角形的底边和腰分别是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ） A. 6 B. 10或8 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形三边关系，求解一元二次方程，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长． 【详解】解：解方程得，； 当底为2，腰为4时，，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为； 当底为4，腰为2时，，不能构成三角形． 故此等腰三角形的周长为10． 故选：D． 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 6. 如图，将绕点A旋转得到．若，，，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、旋转的性质，由，得到，又由旋转的性质即可得到，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点旋转一定的角度得到， ∴， 故选：B． 7. 对于抛物线，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 对称轴为直线 C. 当时，y有最小值6 D. 与y轴的交点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 由，可知图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，可判断B的正误；当时，y随x的增大而减小，可判断A的正误；当时，y有最大值6，可判断C的正误；当时，，可判断D的正误． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴B正确，故符合要求； 当时，y随x的增大而减小，A错误，故不符合要求； 当时，y有最大值6，C错误，故不符合要求； 当时，，D错误，故不符合要求； 故选：B． 8. 公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形，再分别以，为边坐另一边长为5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程　　的解 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知正方形ABCD面积为，长方形BCEI，DCGH的面积均为5x，正方形面积为25，列出方程即可解答. 【详解】正方形面积为，长方形BCEI，的面积均为，正方形面积为25，四者面积之和为与四边形AIFH面积相等， 所以，整理得 故选C． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于理解题意列出方程. 9. 如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 即且， 解得：且， 故选：． 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 关于x的一元二次方程的两个根是， D. （x为任意实数） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，，对称轴为直线，则，，可判断B的正误；当时，，则，可判断A的正误；由题意知，关于x的一元二次方程的两个根是，，可判断C的正误；当时，，则，可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，，对称轴为直线， ∴， ∴，B错误，故符合要求； 当时，， ∴，A正确，故不符合要求； 由题意知，关于x的一元二次方程的两个根是，，C正确，故不符合要求； 当时，， ∴，D正确，故不符合要求； 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. ，是一元二次方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之和等于即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：． 12. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】解：由题意知，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为， 故答案为：． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，有理数的乘方等知识．熟练掌握一元二次方程的根，有理数的乘方是解题的关键． 由题意知，，即，然后代值求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，此飞行器滑行的最大距离是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式求出取得最大值时的的值即可得． 【详解】解：，， 当时，取得最大值， 此飞行器滑行的最大距离是米． 故答案为：． 15. 如图，点是等边三角形内一点，且，，，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质得到，，，求得是边长为的等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到，于是得到结论． 【详解】解把绕点逆时针旋转到，连结， ， ，， 为旋转角， ， 为等边三角形， ，， 在中， ， 为直角三角形， ， ． 故答案为：． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，判断出判别式的值是解决本题的关键． 先判断方程的根的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】解：方程为， ， ， ， ． 17. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同． 求该公司投递快件总件数的月平均增长率； 如果平均每人每月可投递快递万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？ 【答案】该公司投递快件总件数的月平均增长率为该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务 【解析】 【分析】设该公司投递快件总件数的月平均增长率为x，根据该公司今年三月份与五月份完成投递的快件总件数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 根据6月份的快件总件数月份的快递总件数增长率，可求出6月份的快件总件数，利用6月份可完成投递快件总件数每人每月可投递快件件数人数可求出6月份可完成投递快件总件数，二者比较后即可得出结论． 【详解】解：设该公司投递快件总件数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，舍去． 答：该公司投递快件总件数的月平均增长率为． 月份快递总件数为：万件， 万件， ， 该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据数量关系，列式计算． 18. 如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面米，铅球落地点在B处，铅球运行在运动员前4米处（即）达到最高点，最高点高为3米，已知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题． （1）求铅球所经过路线的函数关系式． （2）求该运动员的铅球成绩是多少米？ 【答案】（1） （2）10米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，解题的关键是求出解析式． （1）设抛物线的解析式为，运用待定系数法求出解析式即可； （2）求出（1）中抛物线与x轴正半轴的交点坐标即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：A点坐标为，点坐标为，且为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ， ， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， ， 解得或， ∵因为点在轴正半轴， 点坐标为， ， 铅球的落地点离运动员有10米远， 即该运动员的铅球成绩是10米． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 综合与实践 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，截去四个大小相同小正方形之后，折成如图2所示的长方体形的无盖纸盒，设截取的小正方形边长为． （1）用含有x的代数式分别表示无盖纸盒底面的长（________），宽（________）； （2）若纸盒的底面积为，求小正方形边长为x的值； （3）求出（2）中长方体纸盒的容积． 【答案】（1）， （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，长方体的平面展开图等知识点， （1）根据长两个小正方形的长，宽两个小正方形的宽即可得到答案； （2）根据面积＝长×宽，列出关于x的一元二次方程，解之即可； （3）利用长方体的体积公式计算即可； 根据题意找出等量关系，列出方程是解决此题的关键． 【小问1详解】 根据题意得：长：，宽：； 故答案为：，； 【小问2详解】 根据题意得： 整理得： 解得：（舍去），， ∴小正方形边长为x的值为5； 【小问3详解】 ∵， ∴，， ∴根据题意得：（2）中长方体纸盒的容积为：． 20. 如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为米 （2） 不能围成面积为平方米的花圃． 理由如下： 根据题意，得，整理，得． ∵， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为平方米的花圃． 【解析】 【分析】（1）根据题目设 AD的长为x 米，则 AB=27-3x，得x（27-3x）=54，解一元二次方程，按照条件，解得AD的长； （2）根据题意得：x（27-3x）=90，通过判别式确定方程无根，可得不能围成面积为 90平方米的花圃． 【详解】（1）设的长为米，则，根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵墙的最大可用长度为米， ∴， ∴， ∴，即的长为米； （2）略 【点睛】本题考查用一元二次方程解实际问题，按照题意列出方程，是解题的关键． 21. 友谊书店经销一种学生双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个．调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与单价x（元/个）有如下关系：（，x为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求出w与x之间的函数解析式； （2）这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于45元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）销售单价定为45元/个时，最大利润是225元 （3）每天要获得200元的销售利润，销售单价定为40元/个 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识点， （1）由每天的销售利润＝每天的销售量×每件产品的利润列式，即可得解； （2）根据配方法和二次函数的性质，即可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，列方程，解方程，即可得解； 正确得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键． 【小问1详解】 ， ∴w与x之间的函数解析式； 【小问2详解】 根据题意得：， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值是225， 答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是225元； 【小问3详解】 当时，， 解得，， ∵， ∴（不符合题意，舍）， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【探究】 如图，已知抛物线． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； （2）当时，函数值y取值范围是________； 【应用】 已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （3）当时，函数的最大值是________； （4）若函数的最大值为，求h的值． 【答案】（1）如图， （2）； （3）0； （4）1或6． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． （1）根据画二次函数图象的方法画图即可； （2）利用二次函数的性质并结合函数图象即可得出结论； （3）根据二次函数的图象和性质进行解答即可； （4）根据h的取值分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）抛物线开口向下，当时，y有最大值为4， 当时，；当时， ∴当时，函数值y取值范围是， 故答案为：； （3）抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为0； 故答案为：0 （4）当时，时，y随x的增大而减小，则当时，y有最大值， ∴， 解得，（舍去） 当时，时，y有最大值为0，故不符合题意； 当时，时，y随x的增大而增大，则当时，y有最大值， ∴， 解得（舍去），， 综上，若函数的最大值为，则h的值为1或6． 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中考试九年级 数学试卷 说明：本试卷共120分，本次考试120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，则下列说法中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个等腰三角形的底边和腰分别是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ） A. 6 B. 10或8 C. 8 D. 10 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点A旋转得到．若，，，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 7. 对于抛物线，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 对称轴为直线 C. 当时，y有最小值6 D. 与y轴的交点坐标为 8. 公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形，再分别以，为边坐另一边长为5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程　　的解 A. B. C. D. 9. 如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 关于x的一元二次方程的两个根是， D. （x为任意实数） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. ，是一元二次方程的两根，则______． 12. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为________． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为________． 14. 某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，此飞行器滑行的最大距离是______米． 15. 如图，点是等边三角形内一点，且，，，则的度数是________． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同． 求该公司投递快件总件数的月平均增长率； 如果平均每人每月可投递快递万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？ 18. 如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面米，铅球落地点在B处，铅球运行在运动员前4米处（即）达到最高点，最高点高为3米，已知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题． （1）求铅球所经过路线的函数关系式． （2）求该运动员的铅球成绩是多少米？ 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 综合与实践 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，截去四个大小相同小正方形之后，折成如图2所示的长方体形的无盖纸盒，设截取的小正方形边长为． （1）用含有x的代数式分别表示无盖纸盒底面的长（________），宽（________）； （2）若纸盒的底面积为，求小正方形边长为x的值； （3）求出（2）中长方体纸盒的容积． 20. 如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 21. 友谊书店经销一种学生双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个．调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与单价x（元/个）有如下关系：（，x为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求出w与x之间的函数解析式； （2）这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于45元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？ 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【探究】 如图，已知抛物线． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； （2）当时，函数值y取值范围是________； 【应用】 已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （3）当时，函数的最大值是________； （4）若函数的最大值为，求h的值． 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $