精品解析：广东省广州市广东省实验中学2024--2025学年九年级数学上学期期中考试卷

广东实验中学教育集团2024-2025学年第一学期教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，25小题，满分120分，不允许使用计算器； 2．选择题使用2B铅笔填涂，非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔在指定区域内作答，不允许使用涂改液，否则作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 方程的根是（ ） A. 9 B. 1 C. 9或1 D. 4或5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用平方根的定义解方程．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 开方得， ∴或， 解得或， 故选：C． 4. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移的特征：左加右减，上加下减法则解题． 【详解】把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线的平移，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 函数的最小值为 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， ，函数的图象开口向上， 故选项A正确，不符合题意； 函数的最小值为， 故选项B正确，不符合题意； 图象的顶点坐标为， 故选项C不正确，符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象、性质、最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 6. 如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转34°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（　　） A. 60° B. 64° C. 66° D. 68° 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转性质得到∠D和∠DCF的度数，再由外角性质得到∠EFC的度数即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：∠D=∠A=30°，∠DCF=34°， ∴∠EFC=∠A+∠DCF=30°+34°=64°； 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 7. 如图，点A、B、C、D在上，，那么是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵点A、B、C、D在上， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的综合；根据两个函数的图象确定出a、c的符号，矛盾的则不符合题意，相同的则符合题意，则可判断． 【详解】解：A、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； B、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； C、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； D、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，符合题意； 故选：D． 9. 如图，是的直径，是的切线，切点为与的延长线交于点C，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，含角直角三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，先根据圆周角定理得到，再利用含角的直角三角形的三边关系得出，，再证明，再根据切线的性质得出，再求出的长，最后计算． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选： D． 10. 如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③为任意实数，则；④当时，．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据时y的值判定②，由抛物线图象和性质判定④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴对称轴为直线， 则 即， 抛物线与轴的交点在负半轴，则， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点 ∴ 又 ∴，即，故②错误； ∵对称轴为直线，， ∴当时，的最小值， ∴当为任意实数，则， 即，故③错误； ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴当时，．故④正确； 综上，①④正确； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知点与点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，求得的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是正确掌握横纵坐标的符号关系． 12. 如图，中，，，，把绕着点逆时针旋转得到，连接，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得，，根据勾股定理，即可求出． 【详解】∵中，，，， ∴， ∴， ∵把绕着点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转，勾股定理的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，勾股定理的运用． 13. 若是方程的解，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线长定理得到，．即可求出的周长．熟练掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵分别切于A、B． ∴ ∵过点C的切线分别交于点E、F． ∴． ∴的周长 ． 故答案为： 15. 已知点，，都在二次函数（a是常数，且）的图象上，则，，的大小关系（用“”连接）是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：是常数，且 图象的开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而增大， 关于直线的对称点是， ， ， 故答案为：． 16. 如图，已知，，，，点在所在直线上运动，以为边作等边三角形．在点运动过程中，的最小值_____． 【答案】 【解析】 【分析】以为边作正，并作，垂足为点，连接、，由直角三角形可求， 由“”可证，得，最小即是最小，此时，故的 最小值是. 【详解】解：以为边作正，并作，垂足为点，连接、， 在中，，，， ∴,， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴, , , ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴最小即是最小， ∵当时，最小，此时， ∴四边形是矩形， ∴ , ∴的最小值是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质． 三、解答题（共9题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解法主要包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得，即， 开方得， 解得； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 于是得， 解得． 18. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知． （1）作出以O为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形）． （2）请在y轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点P即为所求，点P的坐标． ． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换． （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，中，弦，相交于点，． （1）比较与的长度，并证明你的结论； （2）求证：． 【答案】（1） 解：与的长度相等，理由如下： ， ， ， ； （2） 证明：在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到． （2）由证明，即可推出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式，结合图象求不等式解集等． （1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值； （2）先求两个函数的交点C的坐标，把代入中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可； （3）根据，，结合图象，即可确定x的取值范围． 【小问1详解】 解：当时， ， 解得：，， ∴抛物线与x轴交于，． ∵直线经过A点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， 联立得：， 整理得 解得：（舍），， 把代入，得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，， 当或时，抛物线在直线的上方， ∴当时，或． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为、，且，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）的值为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）只要证明恒成立即可； （2）由题意可得，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，方程的两实根为， ， ， 即， 解得：，． 的值为或． 22. 如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又于点C， ∴于点E， ∵是的半径， ∴为的切线 （2）2.5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明； （2）设半径为r，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出r即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设半径为r， 在中，， ∴（， 解得： 即⊙O的半径为2.5． 23. 如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面6m，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为x轴、所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由， 【答案】（1）此桥拱截面所在抛物线的表达式为； （2） 解：此船不能通过，理由： 当时，， 解得或， ∵， ∴此船不能通过桥洞． 【解析】 【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可； （2）求出当时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差的绝对值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意知，， 设抛物线解析式为， 把代入解析式得，， 解得， ∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 24. 【问题提出】如图1，在中，，，是等边三角形，点在边上，探究与的数量关系． 【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图1，当点E在边上时，猜想和数量关系，并加以证明； （2）再探究一般情形，如图2，当点E在内部时，证明（1）中的结论仍然成立． 【问题拓展】（3）如图3，当点E在外部时，于点H，过点E作，交线段的延长线于点G，，．直接写出的长． 【答案】 （1）解：，理由如下， 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 证明：取的中点，连接、， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质及外角的性质可得，根据等腰三角形的判定定理证明； （2）取的中点，连接、，分别证明和，根据全等三角形的性质证明； （3）取的中点，连接、、，根据（2）的结论得到，根据全等三角形的性质解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点，连接、、， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 即． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C． （1）如图1，， ①直接写出A，B，C三点的坐标； ②抛物线上存在点D，使得，直接写出D点的坐标； （2）如图2，设经过A，B，C三点的交y轴于另外一点E，，经过点M的直线交抛物线于G，H两点，若的长等于的直径长，求的值． 【答案】（1）①，，；②， （2） 【解析】 【分析】（1）①当时，该抛物线表达式为，把和代入，求出对应的x和y的值，即可得出点A、B、C的坐标； ②得，则，连接，令交x轴于点F，设，直线的函数表达式为，用待定系数法求出直线的函数表达式为，则，根据，列出方程求解即可； （2）连接，得，根据圆周角定理推出，则，得出，进而得出该抛物线表达式为，求出．过点作轴于点，连接，根据两点之间距离公式求出，则，推出直线表达式为，联立得出，则，，，，进而得到，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，该抛物线表达式为， 把代入得：， 解得：，， ∴， 把代入得：， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴， 连接，令交y轴于点F， 设，直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，， 解得：或， ∴或， 当时，整理得：， ∵， ∴该方程无解， 综上：，； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由可得，，， ∴，， ∴， ∵点A、C、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该抛物线表达式为， ∴，，，， ∵点M为圆心， ∴点M横坐标与中点横坐标相等，点M纵坐标与中点纵坐标相等， ∴，即． 过点作轴于点，连接， ∴， ∴， ∵把代入得：， 整理得：， ∴直线表达式为 ∴联立， ， ∴，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合和一次函数，圆周角定理，垂径定理，两点之间的距离公式，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法步骤． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学教育集团2024-2025学年第一学期教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，25小题，满分120分，不允许使用计算器； 2．选择题使用2B铅笔填涂，非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔在指定区域内作答，不允许使用涂改液，否则作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根是（ ） A. 9 B. 1 C. 9或1 D. 4或5 4. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　　） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 函数的最小值为 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 6. 如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转34°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（　　） A. 60° B. 64° C. 66° D. 68° 7. 如图，点A、B、C、D在上，，那么是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，是的切线，切点为与的延长线交于点C，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③为任意实数，则；④当时，．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知点与点关于原点对称，则___________． 12. 如图，中，，，，把绕着点逆时针旋转得到，连接，则的长是______． 13. 若是方程的解，则代数式的值为______． 14. 如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为_______． 15. 已知点，，都在二次函数（a是常数，且）的图象上，则，，的大小关系（用“”连接）是______． 16. 如图，已知，，，，点在所在直线上运动，以为边作等边三角形．在点运动过程中，的最小值_____． 三、解答题（共9题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知． （1）作出以O为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形）． （2）请在y轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 19. 如图，中，弦，相交于点，． （1）比较与的长度，并证明你的结论； （2）求证：． 20. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为、，且，求的值． 22. 如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面6m，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为x轴、所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由， 24. 【问题提出】如图1，在中，，，是等边三角形，点在边上，探究与的数量关系． 【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图1，当点E在边上时，猜想和数量关系，并加以证明； （2）再探究一般情形，如图2，当点E在内部时，证明（1）中的结论仍然成立． 【问题拓展】（3）如图3，当点E在外部时，于点H，过点E作，交线段的延长线于点G，，．直接写出的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C． （1）如图1，， ①直接写出A，B，C三点的坐标； ②抛物线上存在点D，使得，直接写出D点的坐标； （2）如图2，设经过A，B，C三点的交y轴于另外一点E，，经过点M的直线交抛物线于G，H两点，若的长等于的直径长，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $