精品解析：北京市日坛中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试题

北京市日坛中学教育集团2024—2025学年度秋季学期 初中期中联考 初二年级 数学试题 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在刚过去的10月份中，同学们以饱满的精神状态参加了北京市中学生体育过程性考核．在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. 坐位体前屈 B. 立定跳远 C. 仰卧起坐 D. 引体向上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 下面四个图形中，线段能表示的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高线， 根据三角形的高线的定义解答即可.从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段是三角形的高线． 【详解】过点B作边上的垂线，B与垂足之间线段长即为高，只有B选项符合，而A、C、D都没有作的垂线，故错误． 故选：B． 3. 课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形.已知三条线段的长分别是，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形第三边取值范围求得不等式的解集，然后求最大整数解即可求解． 【详解】解：∵三条线段的长分别是，能构成三角形， ∴， 即，且为整数， ∴的最大整数解， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，求不等式的最大整数解，理解题意是解题的关键． 4. 一副三角板拼成如图所示的图形，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，三角板中的角度计算，找准题目中的角度准确计算，利用外角性质求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ． 故选：D． 5. 若一个多边形的内角和是外角和的1.5倍，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是，设这个多边形是n边形，内角和是 ，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意， 得， 解得：n=5． 即这个多边形为五边形． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想，关键是掌握内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为． 6. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，原来已经有两条对应边相等，射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等，即可证明，得到，据此可得答案． 【详解】在和中 ， ∴， ∴，即是这个角的平分线， 故选A． 7. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，直角三角形两个锐角互余．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得，， ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点．于点．现有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ） A. ① B. ②④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据角平分线的性质进行判断；②利用的直角三角形的性质，进行判断；③连接，，得到，进而得到，证明，得到，推出，进行判断；④由，得到，证明，得到，利用等量代换，即可得证． 【详解】解：∵平分，，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴，即：；故②正确； 在和中： ， ∴， ∴， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴不平分；故③错误； ∴；故④正确； 综上：正确的有：①②④； 故选C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，中垂线的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．由此即可得出答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，则， ， ∵， ∴， ∵的长是， ∴，即， 故答案为：． 11. 如图，B，E，C，F四个点在一条直线上．，，请添加一个条件使，则添加的条件可以是_______． 【答案】答案不唯一，如等 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】解：要使，已知，， 可以添加，运用来判定其全等； 也可添加一组角，运用来判定其全等； 添加，运用来判定其全等． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 13. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质以及三角形的面积，过点作于，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式计算即可．作出辅助线求得三角形的高是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵是边上的高， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 14. 如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，，的周长为，则的周长是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据垂直平分线的性质可得，，再结合的周长即可求得结果． 【详解】解：是边的垂直平分线 ，， ， 的周长为，即， ， ， 即的周长是． 故答案为：． 15. 如图．在中，按以下步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径作弧．交于，交于； ②分别以、为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线交于． 如果，，那么的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图，以及三角形内角和定理，根据作图方法可得是的角平分线，进而可得，根据等边对等角可得，设，则，利用三角形内角和为列出方程，再计算出的值即可． 【详解】解：根据作图方法可得是的角平分线， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，P，Q是两个动点，其中点P以每秒2个单位长度的速度沿折线（按照）的路线运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿折线（按照）的路线运动，运动过程中点P和Q同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t秒，直线l经过原点O，且，过点P，Q分别作l的垂线段，垂足为E，F，当与全等时，t的值为______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意可分三种情况：①点在上，点在上；②点、都在上，③点在上，点在点处，可画出对应图形，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，，， 当点运动到点时，，当点运动到点B时，， 点运动到点时，，点运动到点时，， 故可分三种情况： ①点在上，点在上，如图， 当与全等时， ∵，， ∴，解得：； ②点、都在上，如图， 当与全等时，点、重合，即， ∵，， ∴，解得：； ③点在上，点在点处，如图， 当与全等时， 则，解得：， 综上，满足条件的t值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、坐标与图形、一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想解决动点问题是解答的关键． 三、解答题（共9题，共52分．17题6分，18、19题5分，20-22题每题6分，23题4分，24题7分，25题7分） 17. 如图，在中，，的角平分线交于点，，．求和的度数． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，由平分，利用角平分线的定义可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中，利用三角形内角和定理可求出的度数即可得答案． 【详解】解：在中，，， ∴ ∵平分， ∴． 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，，， ∴． 18. 通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】 证明：如图所示，     过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】略 19. 已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE.求证:△ACD≌△CBE. 【答案】 证明：∵CD∥BE， ∴∠ACD=∠B.. ∵点C为AB中点， ∴AC=CB. 又∵CD=BE， ∴△ACD≌△CBE（SAS） 【解析】 【详解】试题分析：根据中点定义求出AC=CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE． 试题解析：略 考点：1.平行的性质；2全等三角形的判定. 20. 如图，在中．．点、分别在、上，，与相交于点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的判定是解答的关键． （1）利用“”证明，再利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）根据等腰三角形的性质和判定可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①作线段AB的垂直平分线1，直线l交射线AN于点D； ②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C； ③连接BC，则△ABC即为所求三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠A＝∠　 　． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ∵BC＝BD ∴∠ACB＝∠BDC （ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠ACB＝2∠A． 【答案】 （1）如图所示： （2）证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等　）（填推理的依据）． ∴∠A＝∠　DBA 　． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ∵BC＝BD ∴∠ACB＝∠BDC （ 　等腰三角形两底角相等 　）（填推理的依据）． ∴∠ACB＝2∠A． 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应图形即可； （2）根据证明过程补全相应知识点即可． 【详解】略 【点睛】本题考查尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，圆的任意半径相等，灵活运用性质定理是解题关键． 22. 已知：点， （1）在平面直角坐标系中画出； （2）利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，画出关于轴对称的图形，其中点对应点为，则点坐标为________； （3）在（2）的条件下，分别连结、，则与的位置关系是________，________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， 点坐标为； （3）， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，坐标与图形； （1）根据点，的坐标描点再连线即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）由图可直接得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图可得，与的位置关系是， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 23. 如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复） 【答案】 解：如图，即为所求作： 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称图形的定义设计图案，熟知概念是解题的关键．根据网格结构分别确定不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可． 【详解】略 24. 如图，在等边中，点D是边延长线上一动点（），连接，点B关于直线的对称点为E，过D作交于点F，连接，． （1）依题意补全图形； （2）若，则 ；（用含α的式子表示） （3）写出线段，之间的数量关系并证明． 【答案】（1） 解：如图即为所求； （2） （3） 解：，证明如下： 如图，连接， ∵点关于直线的对称点为， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， 又∵， ∴为等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）依据题意画出相应图形即可； （2）结合等边三角形的性质及轴对称的性质得出，根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理即可求解； （3）连接，先证，再证等边三角形，最后通过证即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ， ， ， ∵点关于直线的对称点为， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定，等边三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，以及轴对称的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，作直线垂直轴于点，已知点，点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第一象限．关于直线的对称图形是．给出如下定义：如果点在上或内部，那么称点是关于直线的“称心点”． （1）当时，在点，，中，关于直线的“称心点”是______； （2）当上只有1个点是关于直线的“称心点”时，直接写出的值； （3）点是关于直线的“称心点”，且总有的面积大于的面积，求的取值范围． 【答案】（1）点，点 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意确定C点坐标，从而确定，，，即可判断关于直线l的“称心点”； （2）由图形的轴对称判定即可； （3）过点A作直线，延长至点M，使，过点M作直线．①当点在直线m的点上时，．过B作x轴的平行线交直线m于点，根据轴，直线，可得，即有，结合图形可得点的坐标为，则有.当点与点重合时，即有．根据，即点还应往左边移动，此时点也应该往左移动，即此时对称轴直线也相应往左移动，可得；②当点在直线n的点上时，，同理可求，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵点，点，是以为斜边的等腰直角三角形，点在第一象限， 又∵， ∴直线与y轴重合， 画出图形如下： 由图可确定， 则有，，， ∵，，， 结合图形可知：关于直线l 的“称心点”是点，点； 故答案为：点，点 【小问2详解】 解：当上只有1个点是关于直线l的“称心点”时， 点C在直线l上， 如图 结合图形可知：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：过点A作直线，延长至点M，使，过点M作直线． ∵点，点，是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，且轴，， ①当点在直线m的点上时，． 如图，过B作x轴的平行线交直线m于点， 又∵，且轴，直线， ∴， ∴， ∴结合图形可得点的坐标为， ∴. 当点与点重合时，即有． ∵， ∴点还应往左边移动，此时点也应该往左移动， 即此时对称轴直线也相应往左移动， ∴； ②当点在直线n的点上时，． 如图，结合图形同（1）可求出， ∴点的坐标为， ∴则有：． 当点与点重合时，即有． ∵， ∴点还应往右边移动，此时点也应该往右移动， 即此时对称轴直线也相应往右移动， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了图形在平面直角坐标系中的轴对称，掌握图像轴对称的性质，并根据题意画出相应的图形，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市日坛中学教育集团2024—2025学年度秋季学期 初中期中联考 初二年级 数学试题 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在刚过去的10月份中，同学们以饱满的精神状态参加了北京市中学生体育过程性考核．在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. 坐位体前屈 B. 立定跳远 C. 仰卧起坐 D. 引体向上 2. 下面四个图形中，线段能表示的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形.已知三条线段的长分别是，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 4 4. 一副三角板拼成如图所示的图形，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个多边形的内角和是外角和的1.5倍，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 6. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 7. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点．于点．现有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ） A. ① B. ②④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 点关于轴对称的点的坐标是______． 10. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是_______． 11. 如图，B，E，C，F四个点在一条直线上．，，请添加一个条件使，则添加的条件可以是_______． 12. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 13. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为____． 14. 如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，，的周长为，则的周长是 ____． 15. 如图．在中，按以下步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径作弧．交于，交于； ②分别以、为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线交于． 如果，，那么的度数为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，P，Q是两个动点，其中点P以每秒2个单位长度的速度沿折线（按照）的路线运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿折线（按照）的路线运动，运动过程中点P和Q同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t秒，直线l经过原点O，且，过点P，Q分别作l的垂线段，垂足为E，F，当与全等时，t的值为______________． 三、解答题（共9题，共52分．17题6分，18、19题5分，20-22题每题6分，23题4分，24题7分，25题7分） 17. 如图，在中，，的角平分线交于点，，．求和的度数． 18. 通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 19. 已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE.求证:△ACD≌△CBE. 20. 如图，在中．．点、分别在、上，，与相交于点．求证： （1）； （2）． 21. 已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①作线段AB的垂直平分线1，直线l交射线AN于点D； ②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C； ③连接BC，则△ABC即为所求三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠A＝∠　 　． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ∵BC＝BD ∴∠ACB＝∠BDC （ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠ACB＝2∠A． 22. 已知：点， （1）在平面直角坐标系中画出； （2）利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，画出关于轴对称的图形，其中点对应点为，则点坐标为________； （3）在（2）的条件下，分别连结、，则与的位置关系是________，________． 23. 如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复） 24. 如图，在等边中，点D是边延长线上一动点（），连接，点B关于直线的对称点为E，过D作交于点F，连接，． （1）依题意补全图形； （2）若，则 ；（用含α的式子表示） （3）写出线段，之间的数量关系并证明． 25. 在平面直角坐标系中，作直线垂直轴于点，已知点，点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第一象限．关于直线的对称图形是．给出如下定义：如果点在上或内部，那么称点是关于直线的“称心点”． （1）当时，在点，，中，关于直线的“称心点”是______； （2）当上只有1个点是关于直线的“称心点”时，直接写出的值； （3）点是关于直线的“称心点”，且总有的面积大于的面积，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $