第19章四边形 单元测试 2024-2025学年沪科版数学八年级下册

第19章学情评估 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.下列图形中不是凸多边形的是(　　) 2．一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是(　　) A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．无法确定 3．如图，在菱形ABCD中，∠D＝110°，则∠BAC的度数为(　　) A．45° B．40° C．35° D．30° (第3题)(第4题)(第5题) 4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列添加的条件不正确的是(　　) A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C 5．如图，在Rt△ABC中， ∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P是BC边上的一点，作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值是(　　) A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 6．只用下列图形不能进行平面镶嵌的是(　　) A．全等的三角形 B．全等的四边形 C．全等的正五边形 D．全等的正六边形 7．为更好地开展劳动教育课程，学校计划在一块▱OABC空地(如图)上修建一条笔直的小路(小路宽度忽略不计)．有两个要求：①经过BC边上一点P；②将▱OABC分成面积相等的两部分，则小路除了经过点P外，还经过(　　) A．点A B．OB的中点 C．OA的中点 D．AB边上的H点，且AH＝CP 8．某超市举办“618促销”活动，小明同学和爸爸去超市采购物品，当把选好的物品放入购物车中时，小明发现购物车和物品放在一起的形状很接近于正五边形，如图，若把购物车和物品的形状抽象成几何示意图，则五边形ABCDE是正五边形，且F，E，A三点在一条直线上，连接EC，则∠FEC的度数为(　　) A．72° B．108° C．128° D．144° (第8题)　　(第9题) 9．如图，矩形ABCD的面积为20 cm2，对角线交于点O，以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，对角线交于点O2，…，以此类推，则平行四边形AOnCn＋1B(n为正整数)的面积为(　　) A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 10．如图，边长为3的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P.若PM＝PC，则AM的长为(　　) A．3(－1) B．3(3 －2) C．6(－1) D．6(3 －2) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝DC，BD＝4，则AC＝________． (第11题)　　(第12题) 12．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则▱ABCD的周长是________． 13．如图，折叠矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，再展开得到折痕EF，再一次折叠，使点D落到EF上的点G处，并使折痕经过点A，AM为折痕，展开纸片后∠DAG的大小为________． (第13题)　　(第14题) 14．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC的中点，连接AE，DE，点F是DE上的一动点，G为AF的中点，连接CG. (1)∠BAE＝________； (2)若AB＝2，则CG的最小值为__________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 15．如果某个多边形的各个内角都相等，且它的每个内角比其外角大100°，那么这个多边形的边数是多少？ 16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.求证：BM＝MN. 四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 17．图①、图②分别是7×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1.请按下列要求画出图形，所画图形的各个顶点均在小正方形的顶点上． (1)在图①中画出一个周长为8 的菱形ABCD(非正方形)； (2)在图②中画出一个面积为9，且∠MNP＝45°的▱MNPQ，并直接写出▱MNPQ较长的对角线的长度． 18．如图，在▱ABCD中，AE＝CF，连接BE，DF，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，FG. (1)求证：四边形EGFH是平行四边形； (2)若▱ABCD的面积为20，DE＝2AE，则四边形EGFH的面积是________． 五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E. (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明． 20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，过C点作CE∥BD, 两线交于E点， 连接 OE，AE，AE交OD于点F. (1)求证：OE＝CD; (2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，则AE的长为________． 六、(本题满分12分) 21. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC. (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF. 七、(本题满分12分) 22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5 ，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(t>0)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. (1)求证：四边形AEFD是平行四边形； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，请直接写出相应的t值；如果不能，说明理由． (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？ 八、(本题满分14分) 23．综合与实践 【模型探索】如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，若AF⊥BE，则AF与BE的数量关系为________； 【模型应用】如图②，将边长为2的正方形ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，点A落在点F处，折痕交AD于点M，交BC于点N，连接BE，求折痕MN的长度； 【迁移应用】如图③，正方形ABCD的边长为12，点F是BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在点B′处，连接BB′，并延长交CD于点E.若CE＝5，求EB′的长度． 答案 一、1.A　2.C　3.C　4.A　5.C　6.C　7.B　8.B 9．B　10.A 二、11.8　12.20 13．60°　点拨：如图所示，设折痕AM交EF于点N. 由题意易得∠1＝∠2，∠DAB＝∠D＝∠AGM＝90°，AB∥EF∥DC，AE＝DE，∴AN＝MN，∴NG＝AM，∴AN＝NG，∴∠2＝∠4.∵EF∥AB，∴∠4＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝×90°＝30°，∴∠DAG＝∠1＋∠2＝60°. 14．(1)30°　(2) 三、15.解：设每个内角的度数为x，这个多边形的边数是n. 由题意，得x－(180°－x)＝100°，解得x＝140°. 所以由n边形内角和可得(n－2)·180°＝140°·n， 解得n＝9.即这个多边形的边数是9. 16．证明：∵在△CAD中，M，N分别是AC，CD的中点， ∴MN＝AD. ∵在△ABC中，∠ABC＝90°，M是AC的中点， ∴BM＝AC. ∵AC＝AD，∴BM＝MN. 四、17.解：(1)如图①，菱形ABCD即为所求． (2)如图②，▱MNPQ即为所求．较长的对角线的长度为3 . 18．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB. ∵AE＝CF，∴AD－AE＝CB－CF，∴DE＝BF. ∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE＝DF，BE∥DF. ∵点G，H分别是BE，DF的中点， ∴EG＝BE，FH＝DF， ∴EG＝FH，∴四边形EGFH是平行四边形． (2) 五、19.(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC. ∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM， ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝∠BAC＋∠CAM＝×180°＝90°. ∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°， ∴四边形ADCE为矩形． (2)解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．证明如下： 由(1)知∠BAD＝∠DAC，四边形ADCE是矩形． ∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝45°. 由(1)知∠ADC＝90°，∴∠DCA＝45°，∴DC＝AD. ∴四边形ADCE是正方形． 20．(1)证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形，AC，BD为对角线， ∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD. (2)2 　点拨：∵四边形ABCD为菱形，且边长为4， ∴BC＝AD＝AB＝4，AO＝CO＝AC. 又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝4.∴AO＝2. ∵AC⊥BD，∴∠AOD＝90°. 在Rt△AOD中，由勾股定理得OD＝＝＝2 . 由(1)得四边形OCED是矩形， ∴ CE＝OD＝2 ，∠OCE＝90°. 在Rt△ACE中，由勾股定理得AE＝＝＝2 . 六、21.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠BAD＝2∠CAD，∠ABC＝2∠DBC， ∴∠BAD＋∠ABC＝180°. ∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC， ∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是正方形． (2)∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD， ∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO. ∴∠ECO＋∠DEH＝90°. ∵DH⊥CE，∴∠DHE＝90°， ∴∠EDH＋∠DEH＝90°.∴∠ECO＝∠EDH. 在△ECO和△FDO中， ∴△ECO≌△FDO，∴OE＝OF. 七、22.(1)证明：由题意得CD＝2t，AE＝t. ∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°. ∵∠C＝30°，∴DF＝CD＝t，∴AE＝DF. ∵∠B＝90°，∴AB⊥BC.∵DF⊥BC，∴AE∥DF. ∴四边形AEFD是平行四边形． (2)解：四边形AEFD能够成为菱形．当t＝时，四边形AEFD为菱形． (3)解：∵∠B＝90°，BC＝5 ，∠C＝30°， ∴易得AB＝5，AC＝10. 根据题意，分三种情况讨论： ①当∠EDF＝90°时，如图①所示． ∵∠EDF＝∠DFC＝90°，∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠C，∠B＝∠AED. ∵∠B＝90°，∠C＝30°，∴∠AED＝90°，∠ADE＝30°， ∴在Rt△AED中，AD＝2AE，即10－2t＝2t，解得t＝. ②当∠EFD＝90°时，∵DF⊥BC，∴此时E与B重合， ∵AB＝5，∴t＝5.当t＝5时，CD＝2t＝10， ∵AC＝10，∴D与A重合，F与B重合，此时△DEF不存在． ③当∠FED＝90°时，如图②所示． 由(1)知四边形AEFD是平行四边形， ∴∠DFE＝∠A＝90°－30°＝60°，AD＝EF，AE＝DF. ∵DE⊥EF，∴∠EDF＝30°，∴EF＝DF， ∴AD＝AE，∴10－2t＝t，解得t＝4. 综上所述，当t＝或4时，△DEF为直角三角形． 八、23.解：【模型探索】AF＝BE 【模型应用】如图，过点C作CP∥MN交AD于点P. ∵将边长为2的正方形ABCD折叠，点B落在CD边的中点E处， ∴点B与点E关于MN对称，∴BE⊥MN，∴CP⊥BE. ∵点E是CD边的中点，∴CE＝CD＝1， ∴BE＝＝. 结合【模型探索】知CP＝BE＝. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC. 又∵CP∥MN， ∴四边形CPMN是平行四边形，∴MN＝CP＝. 【迁移应用】设BB′与AF交于点H. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°. ∵BC＝12，CE＝5，∴BE＝＝13. ∵将△ABF沿AF折叠，点B落在点B′处， ∴点B与点B′关于AF对称，∴BE⊥AF，BB′＝2BH. 由【模型探索】知，AF＝BE＝13， ∴BF＝＝5. ∵S△ABF＝AB·BF＝AF·BH， ∴BH＝＝＝， ∴BB′＝，∴EB′＝13－＝. 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