第18章勾股定理 单元测试 2024-2025学年沪科版数学八年级下册

第18章学情评估 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝10，AO＝6，则OB的长为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 2．下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是(　　) A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝6 D．a＝1，b＝1，c＝ 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是(　　) A．8 B．16 C．20 D．25 4．若直角三角形的两边长分别为2，3，则第三边长可以是(　　) A．4 B. C. D.或 5．在△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，则AB边上的高是(　　) A. B. C. D. 6．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中，则当a＝20时，b＋c的值为(　　) a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A.100 B．200 C．240 D．360 7．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7 m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动的距离为(　　) A．3 m B．2.5 m C．2 m D．1.5 m (第7题)　　(第8题) 8．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(　　) A．3 B．6 C．3 D. 9．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为(　　) A．5 B．3 C．2 D．3 (第9题)　　(第10题) 10．如图，正方形ABCD的边长为3 ，E，F是对角线AC上的三等分点，P是边AB上一动点，则PE＋PF的最小值是(　　) A．5 B. C．3 D．2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．已知△ABC的三边长分别为，，2，则△ABC的面积为________． 12．如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射后，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为________． (第12题)　(第13题)(第14题) 13．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛藤生长在木头下端A点，缠绕木头7周，葛梢与木头上端B点刚好齐平(如图)，问葛藤有多长？则葛藤的长是__________尺．(注：1丈等于10尺，葛藤缠绕木头以最短的路径向上长，误差忽略不计) 14．如图，在四边形ABCD中，AC和BD是其对角线，∠BAD＝90°，AB＝AD＝2，∠ABC＝135°. (1)BD的长为________； (2)若BC＝，则BDAC＝________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 15．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD的长． 16．图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个△ABC，使其面积为2. (2)在图②中画一个△ABD，使其面积为4. (3)在图③中画一个四边形ABEF，使其面积为5. 四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 17．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进，乙渔船沿南偏东30°的方向以每小时15海里的速度前进，两艘渔船同时出发，2小时后，甲渔船到达M岛，乙渔船到达P岛．求P岛与M岛之间的距离． 18.如图，旗绳AC自由下垂时，比旗杆AB长2米，如果将旗绳斜着拉直，下端在地面上，距旗杆底部的距离BC＝6米，求旗杆AB的高度． 五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4 ，CD＝8. (1)求∠ADC的度数； (2)求四边形ABCD的面积． 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数． 六、(本题满分12分) 21．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，c为最长边长，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)． (1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为__________三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为__________三角形； (2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形； (3)若a＝2，b＝4，那么当c分别满足什么条件时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？ 七、(本题满分12分) 22．根据背景素材，解决下列问题． 测量风筝离地面的垂直高度(CD) 背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”． 操作步骤 如图． ①先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15 m. ②测得牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5 m. 备注：点A，B，C，D在同一平面内． 问题解决 任务一 根据手中余线长度，计算出AC的长度为17 m，求风筝离地面的垂直高度CD. 任务二 若想要风筝沿射线DC方向再上升12米，请问能否成功？请说明理由． 八、(本题满分14分) 23．综合与实践 【模型建立】 (1)如图①，在Rt△ABC与Rt△ADE中，D是BC边上的动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，AD＝AE，连接CE. ①求DE的最小值； ②判断BD，CD，AE之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 (2)如图②，已知△ABC是等边三角形，∠CDB＝120°，AD＝2，求AB的最小值． 答案 一、1.C　2.D　3.C　4.D　5.A　6.B　7.B　8.A　9.C 10．D 二、11.　12.　13.29　14.(1)2 　(2)2 三、15.解：在Rt△ACD中， CD＝＝＝5. ∵BC＝14，∴BD＝BC－CD＝14－5＝9. 16．解：(1)(答案不唯一)如图①所示，△ABC即为所求． 　　 (2)如图②所示，△ABD即为所求． (3)(答案不唯一)如图③所示，四边形ABEF即为所求． 四、17.解：由题意可知，∠MBP＝180°－60°－30°＝90°，BM＝8×2＝16(海里)，BP＝15×2＝30(海里)， ∴MP＝＝34(海里)． 答：P岛与M岛之间的距离为34海里． 18．解：设旗杆的高度为x米，根据题意，得 (x＋2)2＝x2＋62，解得x＝8. 答：旗杆AB的高度为8米． 五、19.解：(1)如图，连接BD. ∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形． ∴∠ADB＝60°，DB＝AB＝4. ∵42＋82＝(4 )2，∴DB2＋CD2＝BC2. ∴∠BDC＝90°.∴∠ADC＝60°＋90°＝150°. (2)如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E. ∵∠A＝60°，∴∠ABE＝30°. ∴AE＝AB＝2.∴BE＝＝2 . ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝×4×2 ＋×4×8＝4 ＋16. 20．解：如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，连接PE， ∴易得△PCE为等腰直角三角形，BE＝PA＝3， ∴∠CPE＝45°，PE2＝2PC2＝8，BE2＝9. 又∵PB2＝1，∴PE2＋PB2＝BE2， ∴∠BPE＝90°，∴∠BPC＝45°＋90°＝135°. 六、21.解：(1)锐角；钝角　(2)＞；＜ (3)∵c为最长边长，2＋4＝6， ∴4≤c＜6.而a2＋b2＝22＋42＝20. 当a2＋b2＞c2时，即c2＜20，易得4≤c＜2 ， ∴当4≤c＜2 时，△ABC是锐角三角形； 当a2＋b2＝c2时，即c2＝20，易得c＝2 ， ∴当c＝2 时，△ABC是直角三角形； 当a2＋b2＜c2时，即c2＞20，易得2 <c<6， ∴当2 ＜c＜6时，△ABC是钝角三角形． 七、22.解：任务一：如图，过点A作AE⊥CD于点E， 易知四边形ABDE是长方形，∴AB＝DE＝1.5 m，AE＝BD＝15 m. ∵AC＝17 m，∴CE＝＝＝8(m)， ∴CD＝DE＋CE＝1.5＋8＝9.5(m)． 故风筝离地面的垂直高度CD为9.5 m. 任务二：不能成功，理由如下： 如图，设人沿BD方向向前走到MN时，风筝沿射线DC方向再上升12 m到G处，设AM＝BN＝x m， ∴ME＝(15－x)m，EG＝CE＋CG＝8＋12＝20(m)，GM＝AC＝17 m， ∵ME2＋EG2＝GM2，∴(15－x)2＋202＝172， ∴(15－x)2＝－111<0，∴此方程无实根， 故风筝沿射线DC方向再上升12 m不能成功． 八、23.解：(1)①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，AD＝AE，∴∠ADE＝∠ABC＝45°， ∴DE＝＝AD，BC＝＝2 .要使DE最小，则AD最小，当AD⊥BC时，AD最小． 由等腰直角三角形的性质，可得此时AD＝BC＝， ∴DE＝2. ②2AE2＝BD2＋CD2. 证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝∠ACB＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD＋∠ACE＝45°＋45°＝90°. 在Rt△CDE中，由勾股定理得DE2＝CE2＋CD2. ∵BD＝CE，且易知DE＝AE， ∴2AE2＝BD2＋CD2. (2)如图，延长DB到点D′，使BD′＝CD. ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC. ∵∠CDB＝120°，∴∠BAC＋∠CDB＝180°， ∴∠DBA＋∠ACD＝180°. ∵∠DBA＋∠ABD′＝180°，∴∠ACD＝∠ABD′， ∴△ABD′≌△ACD， ∴AD′＝AD＝2，∠DAC＝∠BAD′， ∴∠DAD′＝60°，∴△DAD′是等边三角形， ∴AD＝AD′＝DD′＝2. 当AB⊥DD′时，AB最短， 由等边三角形的性质可知，BD＝BD′＝DD′＝AD＝1. 由勾股定理得AB＝＝＝， ∴AB的最小值为. ( 8 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$