特训06 幂函数、指数函数和对数函数 解答压轴题（江苏精选）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第一册，江苏专用）

特训06 幂函数、指数函数和对数函数 解答压轴题（江苏精选） 一、解答题 1．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数，. (1)若函数在上为单调函数，求实数的取值范围； (2)判断并证明函数的奇偶性，并求其值域； (3)对，，使得，求实数的取值范围. 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数能表示为奇函数和偶函数的和． (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是增函数； (3)令（），对于任意，都有，求实数的取值范围． 3．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值. 4．（23-24高一上·江苏南京·期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. (1)若函数是型函数，求的值； (2)若函数是型函数，求和的值； (3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数，，定义函数 (1)设函数，，求函数的值域； (2)设函数（，为实常数），，当时，恒有，求实常数的取值范围； 6．（24-25高一上·江苏南京·期中）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求实数的值. 7．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中），则称为区间上的“倍缩函数”． (1)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围； (2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，，其中． (1)当时，求函数的定义域与值域： (2)设集合，证明：； (3)已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值． 9．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知函数． (1)求方程的解的个数（不要求详细过程，有简要理由即可）； (2)求函数在区间上的最大值； (3)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围． 10．（22-23高一上·江苏南京·期末）已知函数，. (1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数； (2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围； (3)当，判断与的大小，并注明你的结论. 11．（22-23高一上·江苏徐州·期末）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. (1)若是由“基函数和”生成的，求实数的值； (2)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于区间上的任意值，，若恒成立，求实数的最小值.（注：.） 12．（22-23高一上·江苏盐城·期末）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若是“距”增函数，求的取值范围； (3)若，其中，且为“2距”增函数，求的最小值. 13．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数，其中 k 为常数．若函数在区间 I 上，则称函数为 I 上的“局部奇函数”；若函数在区间 I 上满足，则称函数为 I 上的“局部偶函数”． (1)若为上的“局部奇函数”，当时，解不等式； (2)已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”， ，对于上任意实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 14．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”. (1)试判断是否为“局部奇函数”； (2)已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围. 15．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. (1)判断函数是否是上的有界函数并说明理由； (2)已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； (3)若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 16．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”． (1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上是“和一函数”． ①求的值； ②求的取值范围． 17．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数，，其中，. (1)证明：； (2)若，求实数的值； (3)问是否存在实数，使得函数的定义域为时，其值域恰好为？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 18．（22-23高一下·江苏扬州·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数． (1)求实数的值； (2)记， ①当时，求的值域（用表示）； ②若存在r，s，，使得，求实数的范围． 19．（21-22高一上·江苏常州·期末）在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为f(x)，双曲余弦函数为g(x)，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质： ①定义域均为R，且f(x)在R上是增函数； ②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数； ③（常数e是自然对数的底数，…）． 利用上述性质，解决以下问题： (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； (2)求函数，的值域； (3)设，若对任意的正数，，都有，，且，求实数m的取值范围． 20．（20-21高一上·江苏宿迁·期末）定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界；若，则称函数为有界函数；若函数有上界或有下界，则称函数具有有界性． （1）判断下列函数是否具有有界性：①；②；③； （2）已知函数定义域为，若为函数的上界，求的取值范围； （3）若函数定义域为，是函数的下界，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 幂函数、指数函数和对数函数 解答压轴题（江苏精选） 一、解答题 1．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数，. (1)若函数在上为单调函数，求实数的取值范围； (2)判断并证明函数的奇偶性，并求其值域； (3)对，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析，值域为 (3) 【分析】（1）求得二次函数的对称轴，可得或，求解即可； （2）利用奇偶性的定义可证明； （3）求得函数，所以只需，分类讨论可求得实数的取值范围. 【解析】（1），对称轴为， 要使函数在上为单调函数，所以或，解得或， 所以实数的取值范围为； （2）函数为偶函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， ，当且仅当，即时取等号， 所以； （3）由（2）得， 当时，在上单调递增， 所以，所以，值域为， 又对，，使得，所以， 所以，解得，满足，所以； 当时，，显然，故； 当时，在上单调递减， 所以，所以，解得，又，所以； 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ． 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数能表示为奇函数和偶函数的和． (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是增函数； (3)令（），对于任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性，列式，解方程组，即可得答案； （2）根据函数单调性的定义，即可证明结论； （3）结合函数单调性，将不等式恒成立转为函数最值问题，即对于任意成立，即得对于任意成立，结合对数函数性质，继而转化为对于任意成立，结合解不等式以及函数单调性，即可求得答案. 【解析】（1）因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且①， 所以，即②， 联立①②解得，； （2）设，则， ， 因为，所以，，，， 故， 所以，所以， 故在上单调递增． （3）由（2）知，函数在上为增函数， 当时，， 由于对于任意，使得， 所以对于任意成立， 即对于任意成立， 又需满足，对于任意成立，则， 由，可得，所以． 式可化为， 即对于任意成立，即成立， 即对于任意成立， 因为，所以对于任意成立， 即任意成立，而，所以， 又，可得，所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：函数的奇偶性以及单调性的应用，解答的难点在于第3问，根据函数不等式恒成立求解参数范围，解答时要结合函数的单调性将不等式恒成立转化为函数最值问题解决. 3．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题中定义，运用特例法进行判断即可； （2）根据题中定义，结合指数函数的单调性、二次函数的性质进行求解即可； （3）根据二次函数对称轴与所给的区间的位置关系，结合对钩函数、一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【解析】（1）对于函数的定义域内存在， 则，故不是“依赖函数”. （2）因为在递增，故，即， 由，故，得， 从而，设 当时，函数单调递增， 故； （3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若故在上单调递增， ∴，解得或（舍）. ∴存在，使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由， 得，由，可得， 又在单调递增，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据二次函数的对称轴与所给区间的位置分类进行求解. 4．（23-24高一上·江苏南京·期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. (1)若函数是型函数，求的值； (2)若函数是型函数，求和的值； (3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得. （2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得. （3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得. 【解析】（1）由是型函数，得，即， 所以. （2）由是型函数，得， 则，因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得， 所以. （3）由是型函数，得， ①当时，，而，则，满足； ②当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，于是恒成立， 而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此； ③当时，，则， 由，得， 令，则当时，， 由②知，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 5．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数，，定义函数 (1)设函数，，求函数的值域； (2)设函数（，为实常数），，当时，恒有，求实常数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合函数图象和题目要求写出函数解析式，并求出值域. （2）由当时，恒有可得: 当时， ， 即当时恒成立. 然后整理得到当时恒成立. 再根据单调性求最值，解决恒成立问题. 【解析】（1）因为在单调递增，在单调递减， 且，所以， 因为时 时，所以函数的值域为 （2）由当时，恒有可得: 当时， ， 即当时恒成立. 即当时恒成立. 即当时恒成立. 即当时恒成立. 即当时恒成立. 因为在单调递增，所以在时取得最大值， 因为在单调递减，所以在时取得最小值， 所以. 6．（24-25高一上·江苏南京·期中）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求实数的值. 【答案】(1)指数函数在上不具有性质，理由见解析； (2) (3)或或 【分析】（1）根据指数函数值域可得对于，不存在满足，可得结论； （2）利用一次函数性质以及性质，由集合间的包含关系解不等式即可得实数的取值范围； （3）对的取值分类讨论，得出函数在上的值域，再根据性质的定义得出集合间的包含关系，得出不等式的解集，再由存在唯一的实数得出等量关系即可求得实数的值. 【解析】（1）指数函数在上不具有性质. 理由如下：指数函数的定义域为， 对于，易知不存在满足题意， 因此对于，不存在满足， 即函数在上不具有性质. （2）因为函数在区间上具有性质， 所以对任意，都存在使得，即， 可得， 因为，所以，又，所以, 即，解得， 因此实数的取值范围为. （3）若函数在上具有性质， 则对任意，都存在使得，即； 因为，所以； 若，易知函数关于对称， 当时，即，此时在上单调递减，此时； 因此可得，即， 解得，若存在唯一的实数可得， 解得，符合题意； 当时，可得，此时在的最小值为， 最大值为，即； 所以，即， 解得，若存在唯一的实数可得， 解得或（舍），即符合题意； 当时，可得，此时在的最小值为， 最大值为，即； 所以，即， 解得，若存在唯一的实数可得， 解得或（舍），即符合题意； 综上可知，实数的值为或或. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次函数单调性对的取值分类讨论得出其在上的值域，再由性质定义得出集合间的包含关系解不等式可得结论. 7．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中），则称为区间上的“倍缩函数”． (1)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围； (2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；； 【分析】（1）根据函数是“倍缩函数”，结合题意中的定义即可求解； （2）由题意可得，然后分类讨论，从而求解出的值，从而求解. 【解析】（1）由题意得，为“倍缩函数”，则， 因为在其定义域上为单调递增函数， 在其定义域上单调递增， 由复合函数可得在区间上单调递增， 所以，解得， 所以为的两个解，令，， 得有两大于零的不同的根，所以，解得. 故的取值范围为. （2）存在，，，理由如下： 由题意得为区间上的“倍缩函数”， 所以， 所以当时，因为，故此种情况不符合题意； 所以当时，，此时在区间上单调递减， 所以，解得：，故此种情况不符合题意； 当时，，此时在区间上单调递增， 所以，解得， 所以是方程的两正根，所以，得， 此时：，，故此种情况符合题意； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有最小值，故此种情况不符合题意. 综上所述：存在，使为区间上的“1倍缩函数”. 8．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，，其中． (1)当时，求函数的定义域与值域： (2)设集合，证明：； (3)已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的性质求定义域； （2）由对数函数性质不等式化为关于的一元二次不等式在上有解，再转化在上有解，利用根的分布知识求解可得； （3）确定与的图象关于轴对称，由对称性得矩形的中心在轴上，得，设点坐标（），由对称性表示出的坐标，由此由对称性求得，得出，从而可得结论． 【解析】（1）由题意可得：，得， 定义域为． 当时，， ，， 值域为． （2） 又因为，所以可得 要证明：即证明在上有解 存在，使得成立 ，即为， 不等式在上有解， 设，因此在上有解， 所以，解得， 在上有解 即可证明： （3）与关于轴对称 由题意可知，矩形关于轴对称，所以，． 所以设点坐标（） 因为矩形且轴，轴 点坐标 又矩形关于轴对称 点横坐标为，同理可得点坐标 ，且该矩形的中心为点 所以可得：，消去 得： 所以，展开可得： 因式分解可得： 所以． 【点睛】方法点睛：本题第（2）小题的解法是利用对数函数性质把问题转化为不等式有解问题，然后再转化为一元二次方程在区间内有解，从而利用二次方程根的分布知识求解．第（3）小题关键是确定函数图象的对称性，得出矩形中心在轴，然后设矩形顶点坐标，利用对称性把矩形中心坐标与顶点坐标建立关系，从而求得参数值． 9．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知函数． (1)求方程的解的个数（不要求详细过程，有简要理由即可）； (2)求函数在区间上的最大值； (3)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)3个 (2) (3) 【分析】（1）由翻折变换作图可得交点个数； （2）换元法转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解，由函数图象开口向上，按轴与区间端点距离的远近分类讨论求最大值； （3）两函数图象交点的个数转化为复合方程的根的问题，再结合图象，转化为二次方程的根的情况分类讨论. 【解析】（1） 如图，由翻折变换分别作出函数与函数的图象， 因为两函数图象有个不同的交点， 所以方程的解的个数为； （2） ， 令， 化为 则函数的图象开口向上，且对称轴为， 当即时，； 当即时，， ； （3）， 令， ， ， 令， 即①， 函数的图象如图， 因为函数的图象与函数的图象有3个不同的交点， 所以①式有2个不等的实根，且一根在内，另一根为0或在内； 当一根为时，即是方程①的根，代入①式可得， 验证：此时方程①为，解得或， 故不合题意，舍去； 所以方程①的两根一根在内，另一根在内. 设， 当一根在内，另一根在内时， 由，即，解得； 当一根为时，由解得， 验证：此时方程①为，解得或， 故不合题意，舍去； 综上所述，的取值范围是. 【点睛】求解复合函数零点问题的技巧： （1）数形结合法.分别作出的图象； （2）若已知零点个数求参数的范围，则先分析关于的方程的解的个数，再根据个数与的图象特点，分配每个函数值被几个对应，从而确定每个函数值的取值范围，即方程的根的情况，进而求解参数的范围. 10．（22-23高一上·江苏南京·期末）已知函数，. (1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数； (2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围； (3)当，判断与的大小，并注明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；（2）先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数的取值范围； （3）采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小. 【解析】（1）解：， 因为，所以，，所以， 即在上是增函数. （2）解：由已知 设，由（1）得在上单调递增，即， 所以， ①时，，即，当且仅当时取等， 此时要满足恒成立，即，所以； ②时，，此时在上单调递减， 即， 此时要满足恒成立，即，化简得， 此时因为，此时恒成立 综上所述，实数的取值范围是. （3）解： 因为（当且仅当时取等），所以，即， 由已知，所以， 又因为，所以，即， 因此，所以. 11．（22-23高一上·江苏徐州·期末）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. (1)若是由“基函数和”生成的，求实数的值； (2)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于区间上的任意值，，若恒成立，求实数的最小值.（注：.） 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】(1)根据题意，可得，化简，利用对应项的系数相等即可求解； ①设，根据函数为偶函数得出，再结合，即可求出的值，进而求出函数的解析式； ②利用定义证明函数的单调，将式子化简为，然后根据条件求解即可. 【解析】（1）由已知，可得， 则，则，解得， 所以实数的值为. （2）①设， 因为为偶函数，所以， 由，可得， 整理可得，即，所以， 所以对任意恒成立，所以， 所以， 又因为，所以，所以， 故函数的解析式为. ②由①知. 在内任取，且， 则， 因为 ，， 所以，，所以， 所以，即， 所以，即， 所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数. 设， 则， 所以 ， 当且仅当或时，有最大值， 故的最小值为. 【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 12．（22-23高一上·江苏盐城·期末）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若是“距”增函数，求的取值范围； (3)若，其中，且为“2距”增函数，求的最小值. 【答案】(1)是“1距”增函数，理由见解析 (2) (3)当时，，当时，. 【分析】(1)根据定义检验即可； (2)由定义列不等式求的取值范围； (3)由条件结合定义列不等式求的范围，再求函数的最值. 【解析】（1）对任意的， 故是“1距”增函数； （2）， 又为“距”增函数， 所以恒成立， 因为， 所以恒成立， 所以，所以，故； （3）因为， 其中，且为“2距”增函数， 所以当时，恒成立， 增函数， 当时，， 即恒成立， ，解得， 当时，， 即恒成立， 所以，解得， 所以. 令，则. ①当时，即时， 当时， ②当时，即时， 当时， 综上，当时， 当时， 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 13．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数，其中 k 为常数．若函数在区间 I 上，则称函数为 I 上的“局部奇函数”；若函数在区间 I 上满足，则称函数为 I 上的“局部偶函数”． (1)若为上的“局部奇函数”，当时，解不等式； (2)已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”， ，对于上任意实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用局部奇函数的定义可得即可求得k的值，然后利用指数函数，对数函数的性质即得； （2）先利用局部奇函数和偶函数的定义求出分段函数的解析式，再由换元法结合单调性求出分段函数的最值，解不等式即可求解. 【解析】（1）若为上的“局部奇函数”，所以， 即整理可得：， 所以，解得， 所以， 由，可得， 所以，解得， 又因为，所以， 所以不等式的解集为； （2）若为上的“局部奇函数”，由（1）知，， 若为区间上是“局部偶函数”，可得， 即，整理可得：， 所以，解得， 所以， 令， 当时，，在单调递增， 当时，，当时，， 所以当时，， 当时，此时为局部偶函数， 当时，，在单调递增， 此时， 所以，，， 对于上任意实数，不等式恒成立， 可得，即， 解得：， 所以实数m的取值范围是. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 14．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”. (1)试判断是否为“局部奇函数”； (2)已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）化简，利用换元法，结合一元二次方程的解求得正确答案. （2）将问题转化为在上有解，利用换元法，结合函数的单调性来求得的取值范围. 【解析】（1）假设为“局部奇函数”， 则有解，即在上有解， 令，，则在上有解， 整理得：在上有解，解得：， 故假设成立，为“局部奇函数”； （2），在上恒成立， 对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”， 对于任意的，在上有解， 即在上有解， 整理得：在上有解， 的值域是的值域的子集， ，的值域是， 令，，则， 在上单调递减， 当时，，当时，， ，解得：. 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 15．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. (1)判断函数是否是上的有界函数并说明理由； (2)已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； (3)若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】(1)是上的有界函数；理由见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数； （2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案； （3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案. 【解析】（1）是上的有界函数，理由如下： 当时，， 当时，， 由对勾函数性质得或， 或， 或， ∴的值域为，， ∴存在，使得， 所以是上的有界函数； （2）由题意可知在上恒成立， ，， 即， ∴在上恒成立， ∴． 设，，， 由，得． ∵在上单调递减，在上是单调递增， ∴在上，，． 所以，实数a的取值范围是. （3）， ∵，， ∴在上递增， 根据复合函数的单调性可得在上递减， ∴， ∴h(x)存在上界. ①若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， ②若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， 综上，当时，； 当时，. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质. 16．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”． (1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上是“和一函数”． ①求的值； ②求的取值范围． 【答案】(1)不是“和一函数”；理由见解析 (2)①；②． 【分析】（1）举出反例即可； （2）①根据函数单调性得到，对任意，，存在，使成立，则，根据集合包含关系得到，则，②表达出，，由对勾函数单调性得到取值范围. 【解析】（1）在区间上的函数不是“和一函数”，理由如下： 在上是减函数， ， 当时，对任意，，不符合“和一函数”的定义， 故在区间上的函数不是“和一函数”； （2）①在上是增函数， ， ∴值域， 又在定义域上是“和一函数”， 对任意，，存在，使成立， 则， ，， 则，即， ，则， ②，即， ， ，解得， 则， 令，， 在上是减函数，在上是减函数， ∴在上是减函数，则， ， 故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 17．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数，，其中，. (1)证明：； (2)若，求实数的值； (3)问是否存在实数，使得函数的定义域为时，其值域恰好为？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)5 (3)存在，. 【分析】（1）由求出的范围，再结合，即可得到，从而得证； （2）依题意可得，解得即可； （3）若存在适合题意的实数，则，从而得到，则必有，根据复合函数的单调性得到函数在区间上单调递减，即可得到，即，则、是关于的方程的两个相异实根，从而将问题转化为关于的方程在区间上有两个相异实根，结合二次函数根的分布问题得到不等式组，解得即可. 【解析】（1）对于函数， 由，解得或，由于，故，所以. （2）若，则，又， 即，则，解得. （3）若存在适合题意的实数， 则由及知， 因为函数的值域恰好为， 所以，必有. 又因为在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减， 从而有，即， 所以， 这表明、是关于的方程的两个相异实根， 所以问题转化为关于的方程在区间上有两个相异实根， 令， 则应有即， 由知，故， 综上，存在适合题意的实数，其取值范围是. 【点睛】关键点睛：第三问关键是分析函数的单调性，从而转化为关于的方程在区间上有两个相异实根. 18．（22-23高一下·江苏扬州·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数． (1)求实数的值； (2)记， ①当时，求的值域（用表示）； ②若存在r，s，，使得，求实数的范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用偶函数定义可得对任意成立，即可得答案；（2）①由（1） 可得，令，由函数单调性结合范围可得答案；②由①，则问题等价于即可得答案. 【解析】（1）∵是定义在上的偶函数．∴对任意成立， 即对任意成立， 即对任意成立，即对任意成立， 即对任意成立，所以． （2）①由（1）得 当时，令，则，， 令，下面证明在上单调递减，在上单调递增， 当时，对任意，且， ， ∵，，∴，∴在上单调递减， 同理可证在上单调递增， ∴，∴， ∴的值域为 ②由①可知，，，所以， 存在实数r，s，，使得 等价于， 而若，则或，即或， 故当时，，所以， 【点睛】关键点睛：本题考查由对数型函数奇偶性求参数，求对数型函数值域及与对数函数有关的存在性问题.对于偶函数，在其定义域内，总有；求较复杂函数值域时，换元法可简化问题；本题对于存在性问题的处理是将其转化为集合间的包含关系. 19．（21-22高一上·江苏常州·期末）在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为f(x)，双曲余弦函数为g(x)，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质： ①定义域均为R，且f(x)在R上是增函数； ②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数； ③（常数e是自然对数的底数，…）． 利用上述性质，解决以下问题： (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； (2)求函数，的值域； (3)设，若对任意的正数，，都有，，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)[－1，1] 【分析】（1）由方程的思想以及奇偶性得出解析式； （2）令，由f(x)的单调性得出的范围，再由一元二次函数的单调性得出值域； （3）由分解因式得出，由化简得出，再由指数函数的性质得出实数m的取值范围． 【解析】（1）由性质③知，，所以， 由性质②知，，所以， 解得 （2）函数， 设，由性质①，在R是增函数知， 当时，， 因为， 所以原函数即：， 故值域为 （3）对任意的正数，，都有， 可知．即对一切正数x恒成立， 又，可得，即对一切正数x恒成立，所以； 由， 可得 整理得，， 两边同乘以得，， 所以， 因为，所以， 因此只需对任意恒成立， 所以，即． 综上可知，实数m的取值范围为[－1，1] 【点睛】方法点睛：对函数不等式的恒成立问题，一般是采用分离参数，结合函数的单调性求出最值，进而得出参数的范围. 20．（20-21高一上·江苏宿迁·期末）定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界；若，则称函数为有界函数；若函数有上界或有下界，则称函数具有有界性． （1）判断下列函数是否具有有界性：①；②；③； （2）已知函数定义域为，若为函数的上界，求的取值范围； （3）若函数定义域为，是函数的下界，求的最大值． 【答案】（1）①、②具有有界性，③不具有有界性；（2） （3）. 【解析】（1）分别求①，②，③的值域，根据函数具有有界性的定义即可判断； （2）根据复合函数的单调性求在的最大值，大于等于其最大值即可求解； （3）令，则，，所以，根据对勾函数的单调性可知在单调递减，单调递增，分别讨论、、求的最小值即为的最大值. 【解析】（1）对于①：是开口向下的抛物线，当时取得最大值，所以，所以①有上界， 对于②：；所以为有下界函数； 对于③值域为，所以没有上界也没有下界，不具有有届性. 综上所述：①、②具有有界性，③不具有有界性. （2）是由和复合而成， 在单调递减，为单调递增函数， 所以在单调递减， 所以时最大为，所以， 若为函数的上界，则 （3），令，因为，所以， ， 设， 当时，，， 当时，，， 所以在单调递减，单调递增， 若即时，在单调递减，此时最小值为 ，是函数的下界，所以， 若即时，在单调递减，在单调递增，此时最小值为，是函数的下界， 若即时，在单调递增，此时最小值为 ，是函数的下界，， 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是读懂题意，理解上下界的含义，对于对数型复合函数要按照复合函数单调性同增异减的原则判断单调性再求最值，对于指数复合型的要换元转化为，，再根据对勾函数的单调性判断其单调区间，注意需要讨论区间和函数单调区间的关系. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$