特训07 幂函数、指数函数和对数函数 章末复习（七大题型）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第一册，江苏专用）

特训07 幂函数、指数函数和对数函数 章末复习（七大题型） 目录： 题型1：幂函数的有关概念 题型2：幂函数的图像与性质 题型3：指数函数的有关概念 题型4：指数函数的图像与性质 题型5：对数函数的有关概念 题型6：对数数函数的图像与性质 题型7：解答题 题型1：幂函数的有关概念 1．下列函数是幂函数且在是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 3．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．幂函数与幂函数（    ） A．定义域相同 B．值域相同 C．单调性相同 D．是同一函数 题型2：幂函数的图像与性质 6．“幂函数在单调递减”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．若函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 8．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则 . 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型3：指数函数的有关概念 10．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 11．设函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 12．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 13．已知函数（，且），则函数图象过定点（   ） A． B． C． D． 14．函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 题型4：指数函数的图像与性质 15．已知函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 16．若存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 17．函数的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 18．已知函数，则不等式的解集为 ． 19．设，，，则它们的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 20．函数的大致图象是（    ） A．B． C．D． 21．已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 22．设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 题型5：对数函数的有关概念 23．已知函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 24．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 25．“”是“函数的值域为”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型6：对数数函数的图像与性质 26．函数是奇函数，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 27．设，若，则实数的取值范围是 ． 28．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 29．已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 30．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．当时，函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 ． 题型7：解答题 34．已知幂函数在上单调递增. (1)求解析式； (2)若在上的最小值为，求m的值. 35．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 36．已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. (1)求函数在上的解析式; (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 37．已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 38．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由. (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)函数表示不超过的最大整数，如.若为的“5重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训07 幂函数、指数函数和对数函数 章末复习（七大题型） 目录： 题型1：幂函数的有关概念 题型2：幂函数的图像与性质 题型3：指数函数的有关概念 题型4：指数函数的图像与性质 题型5：对数函数的有关概念 题型6：对数数函数的图像与性质 题型7：解答题 题型1：幂函数的有关概念 1．下列函数是幂函数且在是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确. 【解析】由幂函数的概念可以排除B、D选项， 而在是减函数，在是增函数， 故答案为：C. 2．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】设，代入，得，从而得，再将代入计算即可得答案. 【解析】解：因为函数是幂函数， 所以设， 代入，得，解得， 所以， 所以. 故选：C. 3．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解即可》 【解析】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 4．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【解析】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 5．幂函数与幂函数（    ） A．定义域相同 B．值域相同 C．单调性相同 D．是同一函数 【答案】B 【分析】求出函数定义域，根据幂函数性质性即可解决. 【解析】由题知 ，定义域为，单调性递增，值域为， ，定义域为,为偶函数，单调性先减后增，值域为， 所以与值域相同， 故选：B 题型2：幂函数的图像与性质 6．“幂函数在单调递减”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【解析】若为幂函数，则，解得或， 因当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意. 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的充要条件． 故选：B. 7．若函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数为幂函数，可得，求解验证即可. 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，函数，在上单调递减，符合题意， 当时，函数，在上单调递增，不符合题意. 综上所述：实数的值为. 故选：A. 8．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由幂函数的定义以及单调性列出方程，代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意：. 此时为偶函数.所以为所求. 故答案为： 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小即得. 【解析】，而函数在上单调递增，，因此， 所以. 故选：A 题型3：指数函数的有关概念 10．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解. 【解析】由指数函数的图象经过点可得 ，解得， 所以， 故选：A 11．设函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解. 【解析】解：， 则，得，解得． 故选：D 12．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【分析】根据指数函数的知识求得正确答案. 【解析】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B 13．已知函数（，且），则函数图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数，利用指数函数恒过定点求出函数图象过的定点. 【解析】函数中，当，即时，恒成立， 所以函数的图象恒过定点. 故选：C 14．函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【答案】C 【分析】由题意可知：要有意义，进而可得定义域. 【解析】由题意可知：要有意义，可得， 所以函数的定义域是. 故选：C. 题型4：指数函数的图像与性质 15．已知函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义列式计算即得. 【解析】函数的定义域为R，由函数为奇函数，得， 即， 所以. 故选：B 16．若存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用幂函数与指数函数的单调性判断得的单调性，从而利用不等式能成立问题的解法即可得解. 【解析】因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 则， 因为存在，使得成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 17．函数的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性求值域即可求解. 【解析】函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：. 18．已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【解析】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则由得，解得，即不等式的解集为． 故答案为： 19．设，，，则它们的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函函数与，利用指数函数的单调性可比较大小. 【解析】，，， 因为在上单调递增，又，所以， 所以， 又在上单调递减，又，所以， 所以. 故选：D. 20．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的性质判断函数图象 【解析】依题意，可得，则为奇函数，且当时，，则A，B，C均不正确， 故选：D． 21．已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解. 【解析】函数在上单调， 当在上单调递减时，，解得； 当在上单调递增时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 22．设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【答案】C 【分析】首先换元令，则函数等价于，根据题意能取到，分 和两种情况讨论即可. 【解析】设，则函数等价于， 因为函数函数在区间上的最小值为－8， 所以能取到， 当时，， 所以，可得， 当时，， 所以，可得， 故选：C 题型5：对数函数的有关概念 23．已知函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】代入数值，即可求解. 【解析】令，得，则. 故选：A 24．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【解析】∵， ∴函数的定义域为， 故选：A. 25．“”是“函数的值域为”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出函数的值域为时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断． 【解析】，时，，值域是， 若，则（需要函数才存在），函数的值域不可能是， 若，则的最小值是，因此，又，故解得， 综上有， 因此“”是“函数的值域为”的充分不必要条件． 故选：C． 题型6：对数数函数的图像与性质 26．函数是奇函数，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由即可求解. 【解析】是奇函数，故 ， 则，解得，经验证符合. 故选：D 27．设，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由对数函数的性质和单调性求解即可； 【解析】因为，所以函数为减函数， 又， 所以，解得， 故答案为：. 28．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较函数值的大小. 【解析】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为函数在上为减函数，所以，即， 所以. 故选：D. 29．已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用介值法比较的大小，再应用的单调性比较大小即可. 【解析】解：因为， 所以； 又因为， 所以， 又因为在上单调递减， 所以， 故选：D． 30．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，利用单调性解不等式结合对数运算即可求解 【解析】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上是减函数， ，即， 所以， 所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故选：. 31．已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案. 【解析】在单调递减，时，, 即, 另外，时，单调递减，在单调递增， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 32．当时，函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，结合题中条件即可求解. 【解析】令，解得，或， 又，则， 故，解得，或， 即的取值范围是. 故选：D. 33．已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题等价于，利用两个函数的单调性，讨论最小值即可. 【解析】对任意，存在，使， 问题等价于在指定区间内， 函数在上单调递增且恒为正， 则在上单调递增，， 在上为减函数，∴， 由，解得． 故m的取值范围为． 故答案为：. 二、解答题 34．已知幂函数在上单调递增. (1)求解析式； (2)若在上的最小值为，求m的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得，进而求解即可； （2）根据二次函数的性质讨论求解即可. 【解析】（1）由题意得，，解得， 则. （2）由，对称轴为， 当时，，则，即； 当时，， 则，即（舍去）或（舍去）； 当时，，则，即. 综上所述，或3. 35．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法，将转化为，，利用二次函数的性质即可求解， （2）换元，解一元二次不等式，进而根据对数的单调性求解， （3）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解. 【解析】（1）因为 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5， 故当时，函数的值域为． （2）由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或． （3）由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 36．已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. (1)求函数在上的解析式; (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增函数，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质求解； （2）利用单调递增函数的定义证明； （3）根据奇函数和单调递增函数的性质可得，再转化为恒成立问题求解即可. 【解析】（1）当时，， 任取，则,， 又∵为定义在上的奇函数， ∴， 又∵也符合上式， ∴； （2）任取，且， ∵ ∴∴， 又∵， ∴∴在上单调递增； （3）由得， ∴∴，即， ∴对，都有恒成立， ∴，当时， ∴，解得， ∴实数的取值范围为. 37．已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据，求出不等式的解，结合可得的值； （2）利用换元法，把函数转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解. 【解析】（1）由可得，又，所以， 又因为的解集为，所以， 因为，所以，即， 解得或，因为，所以； （2）由（1）可得， 令，则，设， ①当 时，在上单调递增， 则，解得，符合要求； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，故； ③当时，在上单调递减， ，解得，不合题意； 综上所述，存在实数或符合题意. 38．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由. (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)函数表示不超过的最大整数，如.若为的“5重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 【答案】(1)是，1； (2)； (3). 【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解； （2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得； （3）作出的图象，结合图象可解. 【解析】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数 ，使得（其中）， 即， ，且为增函数， 对于任意，都有唯一一个，使得， 是的“重覆盖函数”，； （2）可得的定义域为， 即，存在2个不同的实数，使得，其中， ， ，即， 即对任意有2个实根， 当时，已有一个根，故只需时仅有1个根. 当时，，符合题意， 当时，若对称轴， ，且， 在上单调递减，上单调递增， 则一定存在使得有两个根，舍去； 若对称轴，则无解，舍去； 若对称轴，则在上必须单调递减，且， ，解得； 当时，对称轴， 且， 时，，无解； 当时，单调递减且， 因此仅有1个根，符合题意. 综上，实数的取值范围是； （3）当时，； 当时，，其中为双勾函数， 该函数在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故 对于任意要有5个根， ，作出函数的图像，如下图： 要使有5个根，需， 又，解得， 所以正实数的取值范围. 【点睛】本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于定义域内任意实数k，直线与函数的图象有n个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$