精品解析： 河北省张家口市宣化区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题（人教版）

宣化区2024—2025学年度第一学期阶段性检测 九年级数学试卷（人教版） （考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于x的方程中，一定为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的辨别．熟练掌握一元二次方程的概念，是解题的关键．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（a、b、c常数，）． 根据一元二次方程的概念对各选项分析判断，即得． 【详解】A、当时，不是一元二次方程； B、∵不是整式，∴不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、∵是三次式，∴不是一元二次方程． 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了顶点式，顶点坐标是，对称轴是． 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故答案为：D． 3. 方程x2=x的解是（　　） A. x=1 B. x1=﹣1，x2=1 C. x1=0，x2=1 D. x=0 【答案】C 【解析】 【分析】先将x移项到等号的左边，使右边为0，再分解因式，计算即可． 【详解】∵x2＝x，∴x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x＝0或1． 故选C． 【点睛】解方程x2＝x，一般不用方程两边都除以x来计算，容易漏掉x＝0这个解． 建议都移项到等号的另一边，使等号的一边为0，再解方程． 4. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ， 或， 二次项系数不能为0， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键． 5. 以2和﹣3为两根的一元二次方程为(     ) A. （x+2）（x﹣3）=0 B. x2﹣x+6=0 C. x2﹣5x﹣1=0 D. x2+x﹣6=0 【答案】D 【解析】 【分析】本题我们可以将一元二次标准方程两边都除以a, 令二次项x2项的系数为1.则一次项系数和常数项系数分别和,即为-（）和，可得出原方程. 【详解】解:设符合条件的方程为: x2+ax+b=0. =2,=-3, a=-()=1,b==-6, 符合条件的方程可以是: x2+x﹣6=0. 因此, 本题正确答案是: x2+x﹣6=0. 【点睛】本题考查了一元二次方程的韦达定理, 对于一元二次方程x2+ax+b=0,设,是其两个根，则:. 6. 抛物线y＝－3(x－2)2－3可以由抛物线y＝－3x2＋1平移得到，则下列平移过程正确的是() A. 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝－3x2＋1向右平移2个单位可得到抛物线y=-（x-2）2+1， 由“上加下减”的原则可知，抛物线y=-（x-2）2+1向下平移4个单位可得到抛物线y=（x+3）2-3， 故选C． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 7. 已知是方程的一个根，则代数式（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2022 D. 2020 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，代数式求值，理解一元二次方程的相关知识是解答关键． 将代入方程中求出，再代入中进行计算求解． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， ， ． 故选：D． 8. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，找出一次函数图象位于二次函数图象下方对应的自变量的取值范围即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象位于二次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或， 故选：． 9. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，则方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0的根为（　　） A. x1＝3，x2＝5 B. x1＝﹣1，x2＝0 C. x1＝﹣2，x2＝0 D. x1＝11，x2＝15 【答案】B 【解析】 【分析】利用整体思想可得2x+5＝3或2x+5＝5，从而求出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5， ∴方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0中2x+5＝3或2x+5＝5， 解得：x＝﹣1或x＝0， 即x1＝﹣1，x2＝0， 故选：B． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的特殊解法，掌握整体思想是解决此题的关键． 10. 某厂今年3月的产值为40万元，5月上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程是(　　) A. 40(1+x)＝72 B. 40(1+x)+40(1+x)2＝72 C. 40(1+x)×2＝72 D. 40(1+x)2＝72 【答案】D 【解析】 【分析】可先表示出4月份的产值，那么4月份的产量×（1+增长率）=5月份的产值，把相应数值代入即可． 【详解】4月份的产量为40×（1+x），5月份的产量在4月份产量的基础上增长x，为40×（1+x）×（1+x），则列出的方程是40（1+x）2=72． 故选D． 【点睛】本题考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 11. 已知二次函数自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 下列说法中正确的是（ ） A. 函数图像开口向下 B. 函数图像与x轴的交点坐标是 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：把，代入得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为：， ∵， ∴函数图像开口向上，故选项错误； 令，解得，， ∴函数图像与x轴的交点坐标是，，故选项错误； ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标是，故选项正确； ∴当时，随的增大而增大，故选项错误. 故选：. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，的值只能为；⑤，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口向上得到，由与轴的交点为()得到，而对称轴为，得，进一步得到，由此判定①；根据抛物线与轴有两个不同交点，则方程有两个不等实数根，即可判断②；由，，由此判定③；由得到，由此确定判定④；根据图象可得，当时的函数值小于，即可判定⑤正确． 【详解】解：由图象可得，，， ，故①错误， 抛物线与轴有两个不同交点，则方程有两个不等实数根， ，故②正确 =，， ，， ， ，故③正确； 对称轴为， 点()和()关于对称轴对称， 当时，的值为和，故④错误； 根据函数图象可得，时，，故⑤错误． 综上，可得正确结论的个数是个：②③． 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上） 13. 二次函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的最值，准确掌握二次函数的解析式的顶点式是解题的关键． 把二次函数解析式整理成顶点式，然后写出最小值即可． 【详解】解：， 当时，二次函数取得最小值为． 故答案为：． 14. 若关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0 有实数根，则 m 取值范围是____． 【答案】m≤2且m≠1 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0有实数根， ∴∆＝（-2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，且m-1≠0， 解得m≤2且m≠1． 故答案为m≤2且m≠1． 15. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：∵抛物线y=-2（x-2）2+3的开口向下，对称轴是直线x=2， ∴当x＜2时，y随x的增大而增大， ∵-4＜-1＜2， ∴y1＜y2＜y3， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 16. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象不经过第___象限． 【答案】二##2 【解析】 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴ 则一次函数经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键． 17. 一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息条，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得一个人发送信息条，则人发送信息条，即可求解. 【详解】解：∵每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息， ∴一个人发送信息条， 则人发送信息条， ∴ 故答案为：. 18. 对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）2，把（0，3）代入可得a的值，即可求出二次函数的解析式．. 【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x+2）2， 把（0，3）代入可得4a=3，解得a=， 所以抛物线解析式为y=， 故答案为y=． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式． 三、解答题（本大题共7小题，共58分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法、直接开平方法等解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， 解得：，． 20. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】 （1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 21. 图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线． （1）以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； （2）当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：需要，理由如下： ， 将代入，得：， 解得， 水面宽度为， 需要采取紧急措施． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）计算出时对应的x的值，进而计算出水面宽度，即可判断． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ，，顶点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 拱桥所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 22. 我校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长42米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为a米．（捆扎处绳子长度忽略不计） （1）设边的长为x米，则边的长为________米，展览区（矩形）的面积为________；（用含x的代数式表示） （2）当时，所围成的展览区总面积为144平方米，求的长； （3）能否围成总面积为的展览区？请说明理由． 【答案】（1）, （2） （3）不能围成总面积为的展览区 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与几何图形的应用、列代数式等知识点，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）根据图形可表示出的长，再根据矩形面积公式表示出矩形面积即可； （2）由围成总面积为144平方米以及代入（1）所得的展览区面积求出x的值，再检验，进而求得的长即可； （3）根据围成总面积为的展览区列方程，判断方程解的情况即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得：,即， ∴矩形的面积为． 故答案为：,． 【小问2详解】 解：若，能围成展览区总面积144平方米,李依如下： 根据题意得：，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． ∴的长为． 【小问3详解】 解：不能围成总面积为的展览区，理由如下： 根据题意得：，整理得：， ∵， ∴方程无实数解， ∴不能围成总面积为的展览区． 23. 杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． （1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； （2）试通过计算判断此球能否过网． 【答案】（1） （2）能， 理由： 当时，， ， 此球能过网． 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入可得出的值，继而得出抛物线解析式； （2）令，求出的值与比较即可． 本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般． 【小问1详解】 解：根据题意设抛物线解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上的一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线上是否存在点，使得的面积等于．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，（1）将点，代入，可直接求出二次函数的解析式． （2）先求出点坐标，进而得到，再根据三角形面积计算公式求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可． 【小问1详解】 将点，代入， 可得，解得， ． 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，解得， ，， 的面积等于， ，即， ，， 当时，，即， 其中，方程无解，不符合题意， 当时，，即， 解得， 点的坐标为． 存在点，使得的面积等于，点的坐标为． 25. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 100 110 120 130 … 销售量（件） 180 160 140 120 … （1）由表知，每月的销售量（件）与售价（元）成一次函数，请直接写出这个一次函数的解析式为______； （2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 【答案】（1）； （2）售价定为128元时，月销售利润达到最大． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意正确列出对应的二次函数关系是解题的关键． （1）设与的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设利润为，根据利润（售价进价）数量，列出关于的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设与的解析式为 把，代入，得 解得：， 设与的解析式为 故答案为：． 【小问2详解】 解：设利润为元，则， 当时，取最大值， 获利不得高于进价的，即售价不得高于（元）， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，最大， 答：售价定为128元时，月销售利润达到最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣化区2024—2025学年度第一学期阶段性检测 九年级数学试卷（人教版） （考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于x的方程中，一定为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 方程x2=x的解是（　　） A. x=1 B. x1=﹣1，x2=1 C. x1=0，x2=1 D. x=0 4. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 5. 以2和﹣3为两根的一元二次方程为(     ) A. （x+2）（x﹣3）=0 B. x2﹣x+6=0 C. x2﹣5x﹣1=0 D. x2+x﹣6=0 6. 抛物线y＝－3(x－2)2－3可以由抛物线y＝－3x2＋1平移得到，则下列平移过程正确的是() A. 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 7. 已知是方程的一个根，则代数式（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2022 D. 2020 8. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 或 9. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，则方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0的根为（　　） A. x1＝3，x2＝5 B. x1＝﹣1，x2＝0 C. x1＝﹣2，x2＝0 D. x1＝11，x2＝15 10. 某厂今年3月的产值为40万元，5月上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程是(　　) A. 40(1+x)＝72 B. 40(1+x)+40(1+x)2＝72 C. 40(1+x)×2＝72 D. 40(1+x)2＝72 11. 已知二次函数自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 下列说法中正确的是（ ） A. 函数图像开口向下 B. 函数图像与x轴的交点坐标是 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标是 12. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，的值只能为；⑤，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上） 13. 二次函数的最小值为______． 14. 若关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0 有实数根，则 m 取值范围是____． 15. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系是______． 16. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象不经过第___象限． 17. 一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息条，则可列方程______． 18. 对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共58分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 21. 图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线． （1）以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； （2）当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 22. 我校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长42米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为a米．（捆扎处绳子长度忽略不计） （1）设边的长为x米，则边的长为________米，展览区（矩形）的面积为________；（用含x的代数式表示） （2）当时，所围成的展览区总面积为144平方米，求的长； （3）能否围成总面积为的展览区？请说明理由． 23. 杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． （1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； （2）试通过计算判断此球能否过网． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上的一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线上是否存在点，使得的面积等于．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 100 110 120 130 … 销售量（件） 180 160 140 120 … （1）由表知，每月的销售量（件）与售价（元）成一次函数，请直接写出这个一次函数的解析式为______； （2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $