辽宁省名校联盟2024-2025学年高三上学期12月数学模拟考试C

绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省名校联盟2024-2025学年12月高三模拟考试C （考试范围：集合与命题、等式与不等式、复数、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、空间向量与立体几何、直线与圆、椭圆） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由题意可知，∴，故选D。 2．数学命题的证明方式有很多种。利用图形证明就是一种方式。现有如图所示图形，在等腰直角中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设、，用该图形能证明的不等式为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】由图可知，， 在中，，∴，即，故选C。 3．化简等式的结果是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】原等式可化为， 表示点与点和点的距离之和为定值， ∴原等式化简为，∴点的轨迹为焦点在轴上的椭圆， 设其标准方程为（，）， ∴、，∴，∴椭圆方程为，故选D。 4．在平面直角坐标系中，设，集合、集合，已知点、点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】集合可以看做直线：上的点的集合， 则：必过点， 集合可以看做直线：上的点的集合， 则：必过点， 则当与重合、与重合，且线段与直线、都垂直时，取得最大值， ∴，故选B。 5．设等差数列的前项积为。若，则“有最大值”是“公差”的（ ）。 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】对于等差数列，由于， 当时，若数列中小于的项为偶数项，且数列中无时，显然没有最大值， 当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值， ∴公差不能推出有最大值， 当时，，∴趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值， ∴当有最大值时，只能， 综上所述，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件，故选A。 6．如图所示，、、是圆上的不同三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则下列不等式成立的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】∵、、三点共线，∴（）， 设（），∴， ∴、，∴，∴，故选A。 另解：以为原点、为轴、的垂线为轴建系，设，圆的半径为， 则、、、，∴， ∴且，故选A。 7．蹴鞠（如图所示），年月日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录。蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球。已知某鞠（球）的表面上有四个点、、、，且球心在上，，，，则该鞠（球）的表面积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】如图所示，取中点，由，，得， 由得：， 连接并延长，交球于，连接， ∵为球的直径，∴，， 则，∴， 可得球的表面积为，故选C。 8．已知、、，则、、的大小关系为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】构造函数，定义域为，， 则在上单调递减，∴，即，即，即， 构造函数，定义域为，， ∵，∴，令，则， 构造函数，定义域为，则， ∴在上单调递减，∴，∴，则在上单调递增， ∴，即，即，即， ∴，故选D。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9． 设、、均为正数，且，则下列判断正确的是（ ）。 A、 B、当时，可能成立 C、 D、 【答案】ACD 【解析】A选项，∵、、， ∴，当且仅当时，等号成立， 又，∴，对， B选项，若，则，∵为正数，∴，错， C选项，由，且为正数，得，则，即，对， D选项， ， 当且仅当时，等号成立，∴，对， 故选ACD。 10．已知圆的圆心在直线上，且与：相切于点，过作圆的两条互相垂直的弦、，则下列说法正确的是（ ）。 A、圆的方程为 B、弦的长度最大值为 C、四边形的面积的最大值为 D、设线段、的中点分别为、，直线过定点 【答案】AD 【解析】设圆的圆心，圆的半径为，根据题意圆心到直线的距离等于圆心到的距离， 即，， ∴圆的方程为，A选项正确， 当经过圆心时，长度最长为圆的直径，B选项错误， 线段、的中点分别为、，设，， 则，， ， ， ∴时，四边形的面积最大值为，C选项错误， ∵四边形为矩形，则与互相平分，即过中点，D选项正确， 故选AD。 11．已知函数，其定义域记为集合，又，则下列结论正确的是（ ）。 A、 B、若，则 C、存在，使得 D、对任意，存在，使得 【答案】BD 【解析】由题意可知、且，解得且，∴，A选项错， 当时，， ∵且， 当时，，当时，， ∴，B选项对， ， 当时，、，∴， 又，∴，∴在内单调递减， 当时，单调递增，∴，∴， 又，∴，∴在内单调递减， 又当时，，当时，， 即当时，的图像在轴下方单调递减，当时，的图像在上方单调递减， ∴不存在，使得，C选项错， 当时，， 即对任意，存在使得，D选项对， 故选BD。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．两质点、在以坐标原点为圆心、为半径的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发。点的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，点的角速度大小为，起点为射线（）与圆的交点，则当点与点第一次重合时，点的坐标为 。 【答案】 【解析】射线（）可以看做角的终边， 设在时刻（单位：），以、为终边的角分别为、，则、， 则当点与点第一次重合时，，即（），∴（）， ∴，∴、 ，∴。 13．已知函数的定义域为，且对于任意实数、，恒成立，又，则 。 【答案】 【解析】令，则，即， ∴、，两式相加得， 则，∴的周期为， 令、，则，又，∴， 又，∴、、 、、， ∴， ∴。 14．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆：，则其蒙日圆方程为 ，若点为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则的面积的最大值为 。（本小题第一个空分，第二个空分） 【答案】 【解析】椭圆的方程为：，蒙日圆半径为， 由题意可知，∴蒙日圆方程为， 由于为其蒙日圆上一动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交、两点， 根据蒙日圆定义可知，于是为蒙日圆的直径，过点，， 可知， ∴的面积为：， 当且仅当取等号，∴的面积的最大值为。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）在斜中，角、、的对边分别为、、，向量、向量，且。 （1）求的值； （2）求的最大值。 【解析】（1）在中，，∵为斜三角形，∴、、， 1分 ∵，∴，即， ∴，∴， ∴，∴； 5分 （2）∵， 6分 又，则、， 7分 ∴， ∴的最小值为，当且仅当时取得最小值， 11分 又，则有最大值，∴的最大值为。 13分 16．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，，，，点是的中点，点在线段上。 （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角为，求二面角的余弦值。 【解析】（1）证明：连接，∵、为的中点，∴， 1分 设，则，在中，由余弦定理得：， ∴，∴，∴，∴， 4分 ∵，∴≌≌，， 又，、平面，∴平面； 6分 （2）由（1）可知为直线与平面所成的角，， ∵，∴点为线段的中点， 在中，过作交于，则，，两两垂直， 分别以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系如图所示， 9分 设，则、、、、， ∴、， 11分 设平面的法向量， ∴，则，令，则， 13分 平面的法向量， 设二面角的平面角为，经观察为锐角， ∴。 15 分 17．（本小题满分分）已知函数（）。 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：函数在内有且仅有一个零点。 【解析】（1）的定义域为，， 1分 当时，，令，解得， 当时，，∴在内单调递增， 当时，，∴在内单调递减， 3分 当时，令，解得、， 4分 当时，当时，即时，恒成立，∴在上单调递增， 5分 当时，即时，当或时，， ∴在和内单调递增， 当时，， ∴在内单调递减， 7分 当时，即时，当或时，， ∴在和内单调递增， 当时，， ∴在内单调递减， 9分 当时，，当或时，恒成立， ∴在和内单调递减， 当时，恒成立， ∴在内单调递增； 11分 （2）由（1）可知，当时，在内单调递增，而， ∴在内连续且单调递增， 13分 又、，∴，∴在内有且仅有一个零点。 15分 18．（本小题满分分）已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点。 （1）求动点的轨迹的方程； （2）设直线与（1）中的轨迹相交于、两点，直线、、的斜率分别为、、（其中），的面积为（），以、为直径的圆的面积分别为、。若、、恰好构成等比数列，求的取值范围。 【解析】（1）∵，∴， 则动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 3分 设其方程为（），∴、、， 4分 ∴轨迹的方程为； 5分 （2）设直线的方程为，、， 联立并整理得：，， ∴、， 8分 ∵、存在，∴，即，∵、、成等比数列， ∴， 整理得，则， 10分 ∵的面积，∴，∴，∵，∴， 11分 由，，，得且、， 12分 设点到直线的距离为，由、得： ， 14分 ， ∴，当且仅当时等号成立，∴不能取等号， 综上所述，。 17分 19．（本小题满分分）已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”。 （1）若等比数列（）为“阶可控摇摆数列”，求数列的通项公式； （2）若等差数列（，）为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式； （3）已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由。 【解析】（1）若，则，解得，则，与题设矛盾，舍去， 1分 若，则，解得，∴，解得或， ∴（）或（）； 4分 （2）设等差数列、、、…、（）的公差为， ∵，则，则、， 由得、、， 6分 而，∴、， 两式相减得，即，又，∴， ∴（，）； 8分 （3）记、、、……、中所有非负项之和为，负项之和为， ∵数列为“阶可控摇摆数列”，则，解得、， ∴（、、、……、），∴， 10分 若存在，使得，即， 则、、……、、、、……、， 且， 12分 假设数列也为“阶可控摇摆数列”，记数列的前项和为， 则， ∵，∴，∴，， 14分 又∵，∴、、…、， ∴， 即与不能同时成立， 16分 ∴数列不为“阶可控摇摆数列”。 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省名校联盟2024-2025学年12月高三模拟考试C （考试范围：集合与命题、等式与不等式、复数、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、空间向量与立体几何、直线与圆、椭圆） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知复数满足，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．数学命题的证明方式有很多种。利用图形证明就是一种方式。现有如图所示图形，在等腰直角中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设、，用该图形能证明的不等式为（ ）。 A、 B、 C、 D、 3．化简等式的结果是（ ）。 A、 B、 C、 D、 4．在平面直角坐标系中，设，集合、集合，已知点、点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．设等差数列的前项积为。若，则“有最大值”是“公差”的（ ）。 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件 6．如图所示，、、是圆上的不同三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则下列不等式成立的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．蹴鞠（如图所示），年月日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录。蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球。已知某鞠（球）的表面上有四个点、、、，且球心在上，，，，则该鞠（球）的表面积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．已知、、，则、、的大小关系为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9． 设、、均为正数，且，则下列判断正确的是（ ）。 A、 B、当时，可能成立 C、 D、 10．已知圆的圆心在直线上，且与：相切于点，过作圆的两条互相垂直的弦、，则下列说法正确的是（ ）。 A、圆的方程为 B、弦的长度最大值为 C、四边形的面积的最大值为 D、设线段、的中点分别为、，直线过定点 11．已知函数，其定义域记为集合，又，则下列结论正确的是（ ）。 A、 B、若，则 C、存在，使得 D、对任意，存在，使得 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．两质点、在以坐标原点为圆心、为半径的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发。点的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，点的角速度大小为，起点为射线（）与圆的交点，则当点与点第一次重合时，点的坐标为 。 13．已知函数的定义域为，且对于任意实数、，恒成立，又，则 。 14．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆：，则其蒙日圆方程为 ，若点为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则的面积的最大值为 。（本小题第一个空分，第二个空分） 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）在斜中，角、、的对边分别为、、，向量 、向量，且。 （1）求的值； （2）求的最大值。 16．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，，，，点是的中点，点在线段上。 （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角为，求二面角的余弦值。 17．（本小题满分分）已知函数（）。 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：函数在内有且仅有一个零点。 18．（本小题满分分）已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点。 （1）求动点的轨迹的方程； （2）设直线与（1）中的轨迹相交于、两点，直线、、的斜率分别为、、（其中），的面积为（），以、为直径的圆的面积分别为、。若、、恰好构成等比数列，求的取值范围。 19．（本小题满分分）已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”。 （1）若等比数列（）为“阶可控摇摆数列”，求数列的通项公式； （2）若等差数列（，）为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式； （3）已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由。 数学试题 第3页（共4页） 数学试题 第4页（共4页） 数学试题 第1页（共4页） 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省名校联盟2024-2025学年12月高三模拟考试C （考试范围：集合与命题、等式与不等式、复数、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、空间向量与立体几何、直线与圆、椭圆） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．数学命题的证明方式有很多种。利用图形证明就是一种方式。现有如图所示图形，在等腰直角中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设、，用该图形能证明的不等式为（ ）。 A、 B、 C、 D、 3．化简等式的结果是（ ）。 A、 B、 C、 D、 4．在平面直角坐标系中，设，集合、集合，已知点、点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．设等差数列的前项积为。若，则“有最大值”是“公差”的（ ）。 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件 6．如图所示，、、是圆上的不同三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则下列不等式成立的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．蹴鞠（如图所示），年月日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录。蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球。已知某鞠（球）的表面上有四个点、、、，且球心在上，，，，则该鞠（球）的表面积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．已知、、，则、、的大小关系为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9． 设、、均为正数，且，则下列判断正确的是（ ）。 A、 B、当时，可能成立 C、 D、 10．已知圆的圆心在直线上，且与：相切于点，过作圆的两条互相垂直的弦、，则下列说法正确的是（ ）。 A、圆的方程为 B、弦的长度最大值为 C、四边形的面积的最大值为 D、设线段、的中点分别为、，直线过定点 11．已知函数，其定义域记为集合，又，则下列结论正确的是（ ）。 A、 B、若，则 C、存在，使得 D、对任意，存在，使得 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．两质点、在以坐标原点为圆心、为半径的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发。点的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，点的角速度大小为，起点为射线（）与圆的交点，则当点与点第一次重合时，点的坐标为 。 13．已知函数的定义域为，且对于任意实数、，恒成立，又，则 。 14．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆：，则其蒙日圆方程为 ，若点为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则的面积的最大值为 。（本小题第一个空分，第二个空分） 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）在斜中，角、、的对边分别为、、，向量、向量，且。 （1）求的值； （2）求的最大值。 16．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，，，，点是的中点，点在线段上。 （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角为，求二面角的余弦值。 17．（本小题满分分）已知函数（）。 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：函数在内有且仅有一个零点。 18．（本小题满分分）已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点。 （1）求动点的轨迹的方程； （2）设直线与（1）中的轨迹相交于、两点，直线、、的斜率分别为、、（其中），的面积为（），以、为直径的圆的面积分别为、。若、、恰好构成等比数列，求的取值范围。 19．（本小题满分分）已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”。 （1）若等比数列（）为“阶可控摇摆数列”，求数列的通项公式； （2）若等差数列（，）为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式； （3）已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$