2024-2025学年高二年级上学期数学期末复习试卷(三)+答案 人教A版　

2024-2025学年高二年级上学期数学期末复习试卷(三)　（人教A版） 答案解析 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A　解析　∵AB＝1，AC＝2，BC＝， AC2＝BC2＋AB2，∴AB⊥BC. ∵三棱柱为直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC. 以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则A(0，1，0)，C(，0，0).设B1(0，0，a)，则C1(，0，a)，E(0，0，)， ∴D(，，)， ∴＝(－，－，0). 显然平面BB1C1C的一个法向量为＝(0，1，0). 设直线DE与平面BB1C1C所成的角为α， 则sin α＝|cos 〈，〉|＝，∴α＝. 2．D　解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)， ∴BC1＝(－2，0，1)，＝(－2，2，0)，且为平面BB1D1D的一个法向量． ∴cos 〈BC1，〉＝ ＝＝. ∴BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为. 3．D　解析　因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，则c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，即x＝±b.所以y＝±b，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为( b， b)，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1. 4．D　解析　设P(x0，y0)，M(x，y)， 则 所以 由于y＝x0，所以4y2＝2x－2， 即y2＝(x－1). 5．D　解析　如图，以OF为直径的圆的方程为x2＋y2－cx＝0. 又圆O的方程为x2＋y2＝a2， ∴PQ所在直线方程为x＝. 把x＝代入x2＋y2＝a2，得 y＝±， 则|PQ|＝. 再由|PQ|＝|OF|，得＝c， 即2ab＝a2＋b2， ∴a＝b，解得双曲线的渐近线方程为y＝±x. 6．B　解析　由题意可知椭圆的左、右焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0).设E(x，y)，则EF1＝(－1－x，－y)，EF2＝(1－x，－y)，EF1·EF2＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，EF1·EF2有最小值7，当x＝±3时，EF1·EF2有最大值8. 7．A　解析　设双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的公共焦点为(c，0)， 则抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－c. 将x＝－c代入双曲线方程，得－＝1，解得y＝±，所以|AB|＝. 又因为双曲线的渐近线方程为y＝±x， 所以|CD|＝， 所以＝，即c＝b， 所以a2＝c2－b2＝c2， 所以双曲线的离心率e＝＝. 8．C　解析　如图，连接PD. 圆D：(x－2)2＋y2＝1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1， 则S四边形PADB＝2SRt△PAD＝|PA|. 又|PA|＝，所以当|PD|最小时，四边形PADB的面积最小． 过点P向抛物线的准线x＝－2作垂线，垂足为E，则|PD|＝|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，即|PD|最小，此时|PD|＝|PE|＝2. 故(S四边形PADB)min＝()min＝. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD　解析　由双曲线的方程为－y2＝1，可得a＝2，b＝1，且c＝＝， 所以双曲线的离心率为e＝＝，焦距2c＝2，故A，C正确． 双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，所以B错误． 双曲线的焦点为F(±，0)，代入曲线x2－＋ty2＝0，满足方程，所以D正确． 10．AB　解析　对于A，因为椭圆C：＋＝1， 所以a＝3，b＝，则c＝2， △PF1F2的周长为2a＋2c＝10，故A正确． 对于B，因为|F1F2|＝4，面积最大时高最大，为b， 所以△PF1F2面积的最大值为·2c·b＝2，故B正确． 对于C，椭圆C的焦距为4，故C错误． 对于D，椭圆C的离心率为e＝＝，故D错误． 11．BC　解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，2，0)，F(0，2，1)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，G(2，2，1). 对于A，DD1＝(0，0，2)，＝(－2，2，1)，因为DD1·＝2≠0，所以直线D1D与直线AF不垂直，故A不正确． 对于B，＝(－1，2，0)，＝(－1，0，1)，设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，即取x＝2，则n＝(2，1，2). 有A1G＝(0，2，－1)，因为n·A1G＝2－2＝0，即n⊥A1G，所以直线A1G与平面AEF平行，故B正确． 对于C，取平面ABCD的法向量u＝(0，0，1)，则cos 〈n，u〉＝，所以平面AEF与底面ABCD的夹角的余弦值为，故C正确． 对于D，＝(1，0，0)，点C到平面AEF的距离为＝，＝(－1，0，－1)，点G到平面AEF的距离为＝，故D不正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上． 12．4　解析　由x＋my＝0得y＝－x，即＝.同时平方得＝.又双曲线中a2＝m，b2＝1，故＝，解得m＝3或m＝0(舍去)，所以c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦距2c＝4. 13．　　解析　以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(0，1，1)，所以A1E＝(－1，2，－1)，＝(0，－1，1). 设异面直线A1E，CF所成角的大小为θ， 则cos θ＝＝＝. 因为θ∈(0，]，所以θ＝. A1F＝(－2，1，0)，设平面A1EF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则即令x＝1，则m＝(1，2，3). 平面A1B1C1D1的一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角为α， 则cos α＝＝＝. 14．1＋　解析　曲线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点F(，0)，F与曲线C2：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点重合，则C2的半焦距c＝.① 由对称性，不妨设A(m，n)，m>0，n＞0，B(m，－n)，C(－m，－n)，D(－m，n)， 由四边形ABCD的面积为2p2，可得4mn＝2p2，即2mn＝p2.② 又n2＝2pm，③ 则由①②③可得m＝c，n＝2c，代入双曲线的方程可得－＝1. 由e＝及b2＝c2－a2，可得e2－＝1，化为e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3＋2，可得e＝1＋. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)解　(1)|PF1|·|PF2|≤()2＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时等号成立)， ∴|PF1|·|PF2|的最大值为100. (2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝， ∴|PF1|·|PF2|＝.① 由题意知， ∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.② 由①②得c＝6，∴b＝8. 16．(15分)解　因为AO⊥BO，直线AO的斜率为2， 所以直线BO的斜率为－， 其方程为y＝－x. 把直线y＝2x代入抛物线方程解得点A的坐标为(，p)， 把直线y＝－x代入抛物线方程解得点B的坐标为(8p，－4p). 因为|AB|＝5，|AO|2＋|BO|2＝|AB|2， 所以()2＋p2＋64p2＋16p2＝25×13， 所以p2＝4. 又p>0，所以p＝2. 故抛物线的方程为y2＝4x. 17．(15分)证明　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设A1(a，0，0)，则B1(0，0，0)，C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)，G(，1，0). ∴B1D＝(0，2，2)，＝(－a，0，0)， ＝(0，2，－2). ∴B1D·＝0＋0＋0＝0， B1D·＝0＋4－4＝0. ∴B1D⊥AB，B1D⊥BD. 又AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD， ∴B1D⊥平面ABD. (2)∵＝(－a，0，0)，＝(0，2，－2)， ＝(－，0，0)，＝(0，1，－1)， ∴＝，＝. ∴GF∥AB，EF∥BD. 又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B， ∴平面EGF∥平面ABD. 18．(17分)(1)证明　圆M：x2＋(y－1)2＝5，圆心M(0，1)，半径r1＝， 圆N：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心N(2，－1)，半径r2＝， ∴圆心距|MN|＝ ＝2， ∴0＝|r1－r2|＜|MN|＜r1＋r2， ∴两圆相交． (2)解　联立两圆的方程，得方程组 两式相减得x－y－1＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程． 方法一　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组 解得或 ∴|AB|2＝[(1＋)－(1－)]2＋[－(－)]2＝12， 故|AB|＝2， 即公共弦长为2. 方法二　圆M：x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0，1)，半径r＝，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝. 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即5＝()2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2. (3)解　∵两圆半径均为，过点P所引的两条切线长均为1，∴点P到两圆心的距离|PM|＝|PN|＝＝. 设点P的坐标为(x，y)， 则 解得或 ∴点P的坐标为(1＋，)或(1－，－). 19．(17分)(1)解　由题意有C(－a，0)，D(a，0). 设M(x，y)，则kMC·kMD＝·＝－，化简得＋＝1，结合＋＝1， 可得b2＝a2. 由椭圆的焦距为2，有a2－b2＝a2－a2＝a2＝1，得a2＝4，则b2＝3， 故椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)证明　显然直线AB的斜率存在． 根据椭圆的对称性，欲证点A，H关于x轴对称， 只需证kFA＝－kFH，即证kFA＋kFH＝0. 如图所示， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋4. 由消去x，得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0， Δ＝(24m)2－4×36(3m2＋4)＞0，可得m2＞4， 所以y1＋y2＝，y1y2＝. 则kFA＋kFH＝＋ ＝ ＝. 因为y1x2＋y2x1－(y1＋y2)＝2my1y2＋3(y1＋y2)＝2m·＋3·＝0， 所以kFA＋kFH＝0，即点A，H关于x轴对称． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二年级上学期数学期末复习试卷(三)　（人教A版） (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为(　　) A． B． C． D． 2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 4．已知定点A(2，0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为(　　) A．y2＝2(x－1) B．y2＝4(x－1) C．y2＝x－1 D．y2＝(x－1) 5．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点，若|PQ|＝|OF|，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 6．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，E是椭圆C上的动点，EF1·EF2的最大值、最小值分别为(　　) A．9，7 B．8，7 C．9，8 D．17，8 7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D．3 8．已知抛物线C：y2＝8x，P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2＋y2－4x＋3＝0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线的方程为－y2＝1，则双曲线的(　　) A．离心率为 B．渐近线方程为y＝±x C.焦距为2 D．焦点在曲线x2－|x|＋ty2＝0(t∈R)上 10．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是(　　) A．△PF1F2的周长为10 B．△PF1F2面积的最大值为2 C．椭圆C的焦距为6 D．椭圆C的离心率为 11．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则(　　) A.直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF与底面ABCD的夹角的余弦值为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上． 12．(2021·高考全国乙卷理)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________． 13．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点，则异面直线A1E，CF所成角的大小为________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________． 14．已知曲线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点F与曲线C2：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点重合，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，曲线C3：y2＝－2px(p＞0)与曲线C2交于C，D两点，若四边形ABCD的面积为2p2，则曲线C2的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点． (1)求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值． 16．(15分)设抛物线y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，Rt△AOB内接于抛物线，AO⊥BO，AO所在直线的方程为y＝2x，|AB|＝5，求抛物线的方程． 17．(15分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H. (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD. 18．(17分)已知圆M：x2＋y2－2y－4＝0与圆N：x2＋y2－4x＋2y＝0. (1)求证：两圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长； (3)在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1. 19．(17分)设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为C，D，且焦距为2，F为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C，D两点．若直线MC与MD的斜率之积为－. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点P(4，0)作一条斜率不为0的直线与椭圆E相交于A，B两点(A在B，P之间)，直线BF与椭圆E的另一个交点为H，求证：点A，H关于x轴对称． 学科网（北京）股份有限公司 $$