2024-2025学年高二年级上学期数学期末复习试卷(二)+答案 人教A版　

2024-2025学年高二年级上学期数学期末复习试卷(二)　（人教A版） 答案解析 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C　解析　如图所示，由空间向量加法运算可知AC1＝＋＋AA1，故A正确； BD1＝＋＋DD1＝－＋＋AA1，故B正确； ＝＋BB1＋B1F＝＋AA1＋，故C错误； ＝＋BB1＋B1F＝＋BB1＋B1C1＝＋＋AA1，故D正确． 2．D　解析　∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1， ∴b＝(1，1，2)， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝. 又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为. 3．A　解析　∵圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，圆心为(1，4)，∴由圆心到直线x＋ay－1＝0的距离为1可知＝1，解得a＝±. 4．B　解析　在△ABC中，AB＝AC＝4，点 B(－1，3)，点 C(4，－2)，可得BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，其欧拉线为△ABC边BC的垂直平分线，可得BC的中点为(，)，直线BC的斜率为＝－1，所以边BC的垂直平分线的斜率为1，边BC的垂直平分线方程为y－＝x－，即为x－y－1＝0. 由其欧拉线与圆 (x－3)2＋y2＝r2相切，可得圆心(3，0)到欧拉线的距离d＝＝，即有半径r＝. 5．A　解析　由题意知点P关于直线AB的对称点D(4，2)，关于y轴的对称点C(－2，0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2. 6．A　解析　如图所示．∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点， ∴令x＝0，得y＝－2， 令y＝0，得x＝－2， ∴A(－2，0)，B(0，－2)，则|AB|＝＝2. ∵ 点P在圆(x－2)2＋y2＝2上， ∴点P到直线x＋y＋2＝0的距离d∈[2－，2＋](圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为2)，即d∈[，3]， ∴△ABP的面积为|AB|d＝×2d＝d∈[2，6]，∴△ABP面积的取值范围为[2，6]. 7．A　解析　由题意，曲线方程可化为(x＋2)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其轨迹为直线y＝1上方的半圆(含与y＝1的交点)，圆心为(－2，1)，半径r＝1. 直线l的方程为y－4＝k(x－1)，即kx－y－k＋4＝0. 如图，当直线l与半圆相切时， ＝1， 解得k＝或k＝(交点在y＝1下方，舍去). 当直线经过点B(－1，1)时， k＝＝. 8．A　解析　设M(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0). ∵∠AMB＝90°，即·＝0， ∴x＋y＝1，即点M在以原点O为圆心，半径为1的圆上． 又圆C的圆心为(0，4)，半径为R， 若圆C上存在点M，即圆C与x＋y＝1有交点， 则|R－1|≤|OC|≤R＋1， 即|R－1|≤4≤R＋1，∴R∈[3，5]. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD　解析　l2：a(x－2y)＋3y－1＝0过点(，)，故A正确； 当a＝1时，l1，l2重合，故B错误； 由1×a＋a×(3－2a)＝0，得a＝0或2，故C正确； 当a>0时，l1：y＝－x＋1始终过点(0，1)，斜率为负，不会过第三象限，故D正确． 10.ABD　解析　设＝a，＝b，AA1＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1，＝b－a， ∴AA1·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0， ∴AA1⊥，即AA1⊥BD.故A正确． ∵AC1＝＋CC1＝＋＋AA1＝a＋b＋c， ∴|AC1|＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝. 故B正确． 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC1，A1D〉| ＝. ∵AC1＝a＋b＋c，A1D＝b－c， ∴AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c) ＝a·b－a·c＋b2－c2 ＝0＋1＋12－22＝－2， |A1D|＝ ＝ ＝＝. ∴cos θ＝＝＝. 故D正确． 11．BC　解析　由题意得，圆C1的圆心为C1(－2，0)，半径为1，圆C2的圆心为C2(2，0)，半径为r，所以|C1C2|＝4.设动圆P的半径为R，已知两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切．①若均内切，则＝R－1，＝R－r，此时－＝r－1， 当r≠1时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，当r＝1时，点P在线段C1C2的垂直平分线上． ②若均外切，则＝R＋1，＝R＋r，此时－＝r－1， 当r≠1时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支，当r＝1时，点P在线段C1C2的垂直平分线上． ③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则＝R－1，＝R＋r， －＝r＋1. 同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，－＝r＋1. 此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上． 12．　　解析　不妨假设c＝2，设圆心为A，切点为B，则sin ∠PF1F2＝sin ∠BF1A＝＝，tan ∠PF1F2＝＝， 所以k＝.又k＝，|F1F2|＝2c＝4，所以|PF2|＝，|PF1|＝， 于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝4， 即a＝2，所以e＝＝＝. 13．(0，0)，(2，0)，(0，4)　解析　∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上． ∵|AB|＝ ＝2， ∴圆的半径为. 又圆心是线段AB的中点(1，2)， ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 当x＝0时，解得y＝0或y＝4；当y＝0时，解得x＝0或x＝2. 故点C的坐标为(0，0)，(2，0)，(0，4). 14．　相离　 解析　由C1与C2内切得＝1，即(a＋b)2＝1. 则ab≤()2＝，当且仅当a＝b＝±时等号成立，故ab的最大值为. 若两圆有四条公切线，则两圆外离， 故>3. ∴(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3. 则圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝>1， ∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)解　(1)依题意，直线BC的方程为y＋1＝(x＋3)，即x－y＋2＝0， 所以点A到直线BC的距离 h＝＝2. 又|BC|＝＝4， 所以S＝|BC|·h＝×4×2＝8. (2)由题意知过点A的直线的斜率存在，设直线l的方程为y－4＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋4＝0. 由题意得＝， 整理得|5－k|＝|3k＋1|， 解得k＝1或k＝－3， 所以直线l的方程为x－y＋6＝0或3x＋y＋2＝0. 16．(15分)解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，，1)， A1(1，0，2)，C(0，，0)， 所以AA1＝(0，0，2)，＝(0，2，0)， ＝(－1，，1). 设n＝(x，y，z)是平面ABE的法向量， 则即 取x＝1，则y＝0，z＝1， 所以n＝(1，0，1)是平面ABE的一个法向量． 则点A1到平面ABE的距离 d＝＝＝. 又因为A1B1∥平面ABE， 所以直线A1B1到平面ABE的距离为. (2)＝(0，0，1)，＝(1，，0). 设m＝(x′，y′，z′)是平面BEC的法向量， 则即 取y′＝1，则x′＝－， 所以m＝(－，1，0)是平面BEC的一个法向量． 由(1)知n＝(1，0，1)是平面ABE的一个法向量． 所以cos 〈m，n〉＝＝＝－. 所以平面ABE与平面BEC的夹角的余弦值是. 17．(15分)解　 (1)设AP的中点为M(x，y)，则由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－1，2y－1). 因为点P在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－1)2＋(2y－1)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为 (x－)2＋(y－)2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)，则在Rt△PBQ中， |PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，OP，则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y＋1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为 x2＋y2－x＋y－1＝0. 18．(17分)解　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(，0)，准线方程为x＝－. 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 －(－)＝p＝2， 所以该抛物线的方程为y2＝4x. (2)设Q(x0，y0)， 则＝9＝(9－9x0，－9y0)， 所以P(10x0－9，10y0). 由P在抛物线上可得(10y0)2＝4(10x0－9)，即x0＝， 所以直线OQ的斜率 kOQ＝＝＝. 当y0＝0时，kOQ＝0； 当y0≠0时，kOQ＝， 当y0>0时，25y0＋≥2＝30， 此时0<kOQ≤，当且仅当25y0＝，即y0＝时等号成立； 当y0<0时，kOQ<0. 综上，直线OQ斜率的最大值为. 19．(17分)解　(1)易知CA⊥PA，△PAC≌△PBC， ∴S四边形ACBP＝2S△ACP＝|AC||AP|. 又|AC|＝r＝， ∴S四边形ACBP＝·|AP|＝·， 要使四边形ACBP面积最小，则|PC|最小，当PC⊥l时，PC的长最小． 过点C(－1，0)且与l垂直的直线为y－0＝x＋1，即y＝x＋1， 将其与y＝4－x联立解得此时点P的坐标为(，)， ∴|PC|min＝＝， ∴(S四边形ACBP)min＝×＝. (2)设P(x0，4－x0). 又C(－1，0)，则|PC|＝，PC的中点坐标为(，)， 因此以PC为直径的圆的方程为 (x－)2＋(y－)2＝＝ ， 整理得x2＋y2＋(1－x0)x＋(x0－4)y－x0＝0. ∵∠PAC＝∠PBC＝， ∴这个圆也是四边形ACBP的外接圆，它与圆C方程相减，得公共弦AB所在直线的方程 (x0＋1)x＋(4－x0)y＋x0－4＝0， 则x0(x－y＋1)＋x＋4y－4＝0， 令得 ∴AB恒过定点(0，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二年级上学期数学期末复习试卷(二)　（人教A版） (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，B1C1的中点，则下列结论错误的是(　　) A．AC1＝＋＋AA1 B．BD1＝－＋＋AA1 C．＝－＋AA1 D．＝＋＋AA1 2．已知向量a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 3．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线x＋ay－1＝0的距离为1，则a＝(　　) A．± B．± C．± D．± 4．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．在平面直角坐标系中作△ABC，在△ABC中，AB＝AC＝4，点 B(－1，3)，点 C(4，－2)，且其欧拉线与圆 (x－3)2＋y2＝r2相切，则该圆的半径为(　　) A．1 B． C．2 D．2 5．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　) A．2 B．6 C．3 D．2 6．直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　) A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3] 7．过点(1，4)且斜率为k的直线l与曲线y＝＋1有公共点，则实数k的取值范围是(　　) A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 8．已知A(－1，0)，B(1，0)，圆C：x2＋(y－4)2＝R2(R>0)，若圆C上存在点M，使∠AMB＝90°，则圆C的半径R的取值范围是(　　) A．[3，5] B．[3，4] C．[4，5] D．[2，4] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，下列说法正确的是(　　) A．l2始终过定点(，) B．若l1∥l2，则a＝1或－3 C．若l1⊥l2，则a＝0或2 D．当a>0时，l1始终不过第三象限 10.如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则下列说法正确的是(　　) A．AA1⊥BD B．|AC1|＝ C．异面直线AC1与A1D所成角的余弦值是 D．异面直线AC1与A1D所成角的余弦值是 11．在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和C2：(x－2)2＋y2＝r2，其中常数r满足1≤r≤2，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是(　　) A．两个椭圆 B．两个双曲线 C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上． 12．(2021·高考浙江卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，若过点F1的直线和圆(x－c)2＋y2＝c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________． 13．已知A(－1，3)，B(3，1)两点，若点C在坐标轴上，且∠ACB＝90°，则点C的坐标为____________________． 14．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1.若圆C1与圆C2相内切，则ab的最大值为________；若圆C1与圆C2有四条公切线，则直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)三角形的三个顶点为A(－2，4)，B(－3，－1)，C(1，3). (1)求△ABC的面积S； (2)过点A作直线l，使B，C两点到l的距离相等，求直线l的方程． 16．(15分)如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝， BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点． (1)求直线A1B1到平面ABE的距离； (2)求平面ABE与平面BEC的夹角的余弦值． 17．(15分)已知圆x2＋y2＝4，点A(1，1)和B(1，－1)，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 18．(17分)(2021·高考全国乙卷文)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值． 19．(17分)已知P为直线l：x＋y－4＝0上一动点，过点P向圆C：(x＋1)2＋y2＝5作两切线，切点分别为A，B. (1)求四边形ACBP面积的最小值及此时点P的坐标； (2)直线AB是否过定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$