精品解析：湖北省大冶市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

大冶市2024-2025学年度第一学期期中考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请仔细阅读答题卷中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卷相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值可以是（　　） A. 60 B. 72 C. 120 D. 150 5. 若关于的方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 7. 一个学习小组有人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡张，则（ ） A. B. C. D. 8. 在二次函数中，当时，y的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 已知方程的有两根m与n，则的值等于（　　） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③对于任意实数m，有；④对于实数，若，为抛物线上两点，则；其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5小题，每题3分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是____． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是________（写出一个即可）. 14. 如图，的半径为10，是的弦，，点P在弦上，则线段的最小值是____． 15. 如图，在等腰中，，，D、E分别为、上的点，且．将绕A点逆时针方向旋转，当点D恰好落在线段上时，则____ 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2） ；（配方法求解） 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 18. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值． 19. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求的半径． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，. （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画出，并写出点的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标. 22. 某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 （1）求y与x的关系式； （2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，若该商品的日销售利润不低于1500元，求销售单价的取值范围． 23. 如图，四边形是正方形，是等腰三角形，，．连接，过B作于F，连接，． （1）若，求的度数； （2）当变化时，的大小会发生变化吗?请说明理由； （3）试用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，． （1）求抛物线的解析式； （2）若M是抛物线上的一动点，且，求点M的坐标； （3）点Q在抛物线上，且Q的横坐标为，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为P，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大冶市2024-2025学年度第一学期期中考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请仔细阅读答题卷中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卷相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为；根据题意确定出所求方程即可． 【详解】，可化为，其二次项系数是2，一次项系数是，常数项是， 故选：B． 2. 中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象平移的规律：上加下减，左加右减．据此解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是 故选：D． 4. 如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值可以是（　　） A. 60 B. 72 C. 120 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】该图形被平分成五部分，， 因此旋转的整数倍，就可以与自身重合， 旋转的度数至少为， 故选：B． 5. 若关于的方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．根据一元二次方程中，当根的判别式时，一元二次方程没有实数根，据此即可列出不等式，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故的值可以是． 故选：D． 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余． 【详解】解：，， ， ， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，是基础知识比较简单． 7. 一个学习小组有人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡张，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，由这个小组有人，则每人需送出贺卡张，根据全组共送出贺卡张，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：因为这个小组有人，则每人需送出贺卡张， 依题意得：． 故选：C． 8. 在二次函数中，当时，y的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质．将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解： ∴图象的开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y取得最小值为3， ∴当时，y的取值范围是， 故选：D． 9. 已知方程的有两根m与n，则的值等于（　　） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，一元一次方程根与系数的关系，由一元二次方程的根可得出，把代入，最后再利用根与系数的关系可得出，最后代入计算即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴， ∵m，n是方程的两根， ∴， ∴原式， 故选：A 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③对于任意实数m，有；④对于实数，若，为抛物线上两点，则；其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性．利用数形结合思想是解题关键．由图象可判断，结合对称轴为直线，即得出图象还过点，，从而得出，即可判断①；将代入解析式，得出，结合，得出，可推出，可判断②；结合题意可求出该二次函数最小值，即得出，可判断③；由题意得出离抛物线对称轴越远的点函数值越大，结合离对称轴远，离对称轴近，可判断④． 【详解】解：由图可知二次函数图象开口向上， ∴． ∵对称轴为直线， ∴，即． ∵图象过点， ∴图象还过点， ∴图象与y轴的交点位于x轴下方， ∴， ∴，故①正确； ∵图象过点， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴，故②错误； 由图可知当时，该二次函数有最小值，即． ∵，， ∴， ∴对于任意实数m，都成立，故③正确； ∵，且该抛物线对称轴为直线， ∴离对称轴远，离对称轴近． 由图可知离抛物线对称轴越远的点函数值越大， ∴，故④正确． 综上可知正确的有3个． 故选C． 二、填空题（共5小题，每题3分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均取相反数作答即可． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程有实数根，则根的判别式，再结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到k的取值范围． 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 一元二次方程有实数根， ， 解得， 综上所述，k的取值范围是且． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是________（写出一个即可）. 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，y随着x的增大而减小可得m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴时，y随x增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：4（答案不唯一）． 14. 如图，的半径为10，是的弦，，点P在弦上，则线段的最小值是____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、垂线段的性质等，作于点H，连接，由垂径定理得，利用勾股定理解求出，当点P位于点H的位置时，线段取最小值． 【详解】解：如图，作于点H，连接， ，， ， 当点P位于点H的位置时，线段取最小值8， 故答案为：8． 15. 如图，在等腰中，，，D、E分别为、上的点，且．将绕A点逆时针方向旋转，当点D恰好落在线段上时，则____ 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转性质及和均为等腰直角三角形得，得，，根据得从而证明，设 ，根据勾股定理得，从而可得的值． 【详解】解： 在和中， 又由旋转的性质可得 （SAS） ， ，，和均为等腰直角三角形 ， 点D恰好落在线段上 设 ，即 ，（） 得，（舍去） 故 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，同时考查勾股定理的应用，利用数形结合的思想是解题的关键． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2） ；（配方法求解） 【答案】（1）， （2）, 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法和配方法解一元二次方程． （1）先移项得到，然后利用因式分解法解方程 （2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程 【小问1详解】 解： 解得， 【小问2详解】 解： 解得, 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 18. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值． 【答案】此时x的值为2m 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出，再根据面积相等列出一元二次方程，求出解，并舍去不合题意的解即可． 【详解】如图： ∵，矩形的面积是矩形面积的2倍， ∴， ∴，， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：此时x的值为． 19. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）连接，易得是等边三角形，推出，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，由（1）可知， ∴； 由旋转可知：，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 20. 如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，. （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画出，并写出点的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标. 【答案】（1）图如下：； （2）图如下：. （3）. 【解析】 【分析】（1）分别将OA、OB、OC绕O点逆时针旋转90°，得到A1、B1、C1,然后连接，最后直接读出C1坐标即可. （2）分别将A1、B1、C1向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到A2、B2、C2, ,然后连接，最后直接读出C2坐标即可. （3）连接A A2, B B2然后分别作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心，写出坐标即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图：点E为旋转中心，坐标为. . 【点睛】本题主要考查了旋转变换，寻找旋转后的对应点和确定旋转中心是解答本题的难点. 22. 某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 （1）求y与x的关系式； （2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，若该商品的日销售利润不低于1500元，求销售单价的取值范围． 【答案】（1）y与x的关系式为 （2）公司销售该商品获得的最大日利润为1600元 （3）销售单价的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）设函数的表达式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设公司销售该商品获得的最大日利润为w元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可； （3）求出时的的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：设函数的表达式为， 将代入上式得：， 解得， 故y与x的关系式为； 【小问2详解】 设公司销售该商品获得的最大日利润为w元， 则， ∵， ∴， ∵， 故抛物线开口向下， 故当时，w随x的增大而增大， ∴当（元）时，w的最大值为1600（元）， 故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元； 【小问3详解】 当时，， 解得， ∴， 答：销售单价的取值范围为． 23. 如图，四边形是正方形，是等腰三角形，，．连接，过B作于F，连接，． （1）若，求的度数； （2）当变化时，的大小会发生变化吗?请说明理由； （3）试用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）当变化时，的大小不变， 理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系为， 理由如下： 过C作交延长线于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 由（2）知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质求出，根据等腰三角形的判定和性质求出，根据等边三角形的判定和性质，求出； （2）先求出，根据等腰三角形性质求出，，即可得出结果； （3）过C作交延长线于G，证明，得，，有，由得是等腰直角三角形，可得，即得，故． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查正方形性质及应用，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，． （1）求抛物线的解析式； （2）若M是抛物线上的一动点，且，求点M的坐标； （3）点Q在抛物线上，且Q的横坐标为，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为P，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）， （3）P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，分两种情况：在y轴正半轴上取，在y轴负半轴上取，分别验证，求出点M的坐标即可； （3）先求出点Q的坐标为，过点Q作轴于点H，求出，得出，过点E作轴的平行线，连接并延长交直线于点，设点P的坐标为，直线的解析式为，把代入求出直线的解析式为，求出点的坐标为，根据，求出m的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在y轴正半轴上取，连接，交抛物线于一点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时点符合题意， 设直线的解析式为：，把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍）， 把代入得， ∴点； 在y轴负半轴上取，连接，交抛物线于一点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时点符合题意， 设直线的解析式为：，把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍）， 把代入得， ∴点； 综上分析可知：点，； 【小问3详解】 解：把代入得：， ∴点Q的坐标为， 过点Q作轴于点H，如图所示： ∴点H的坐标为：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴顶点E的坐标为， 过点E作轴的平行线，连接并延长交直线于点，如图所示： ∵将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为P， ∴点P在过点E平行于轴的直线上， 设点P的坐标为， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、抛物线平移，求一次函数解析式等知识，解题的关键是利用数形结合和分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $